ДЗ5 "Застосування похідної"

Знайти проміжки зростання та спадання функції f(x) = x³ - 6x² - 15x.

• (-1;5) спадає; (-∞; -1) U (5; +∞) - зростає

• (-1;5) спадає; (-∞; -1) U (5; +∞) - спадає

• (-1;5) спадає; (5; +∞) - зростає

• (-1;5) зростає; (5; +∞) - спадає

Answer explanation

Обчислюємо похідну функції

f'(x) = 3x² - 12x - 15

Прирівняємо похідну до нуля та визначимо стаціонарні точки

x² - 4x - 5 = 0

x1 = -1

x2 = 5

Розтавляємо знаки, як в методі інтервалі та маємо наступне:

На інтервалі (-1;5) функція спадає, а на двох інших зростає

Дослідити функцію f(x) = x⁴ - 8x² - 5 та знайти проміжки зростання. У відповідь вказати найменше ціле число, що належить цьому проміжку

(a)  

Answer explanation

Знайдемо інтервали монотонності функції. Для цього обчислимо похідну

f'(x) = 4x³ - 16x

4x³ - 16x = 0

x³ - 4x = 0

x(x² - 4) = 0

x1 = 0, x2 = 2, x3 = -2

Числова вісь розбита на 4 інтервали.

Розтавивши знаки, як в методі інтервалів маємо 2 проміжки зростання: (-2; 0) U (2; +∞)

Найменше ціле число з такого проміжку буде -1, його вносимо до бланку

Знайдіть найбільше значення функції f(х) = х⁴ - 2х² + 3 на відрізку [-1; 3]

(a)  

Answer explanation

Обчислимо похідну:

f'(x) = 4x³ - 4x

4x³ - 4x = 0

4x(x² - 1) = 0

x1 = 0, x2 = -1, x3 = 1

Функція має дві точки локального екстремуму, отже потрібно шукати значення функції в 4 точках – в знайдених і краях проміжку. Виконуємо обчислення

f(-1) = 1 - 2 + 3 = 2;

f(0) = 3;

f(3) = 81 - 2 * 3² + 3 = 84 - 18 = 66

Максимум функції досягається на краю проміжку і рівний 66

Знайдіть найбільше значення функції у = х³- 3х² + 2 на проміжку [-1; 1]

(a)  

Answer explanation

Обчислюємо похідну

y' = 3x² - 6x

3x² - 6x = 0

x(x - 2) = 0

x1 = 0, x2 = 2

Знаючи критичні точки знаходимо значення функції на краях проміжку та в 0

y(-1) = -1 - 3 + 2 = -2

y(0) = 2

y(1) = 1 - 3 + 2 = 0

Максимум досягається в точці локального екстремуму і максимум рівний 2

Знайдіть найменше значення функції у = 2х² - х + 7 на проміжку [-2; 2]

(a)  

Answer explanation

y = 2х² - х + 7

Знаходимо похідну:

y' = 4x - 1

4x - 1 = 0

x = 0,25

Підставляємо критичні точки і кінці відрізку:

y(-2) = 2 * 4 + 2 + 7 = 17

y(0,25) = 2 * 0,0625 - 0,25 + 7 = 6,875

y(2) = 8 - 2 + 7 = 13

На малюнку зображено графік функції f(x), яка визначена на проміжку [-5; 6]. За малюнком знайдіть кількість коренів рівняння f'(x) = 0

(a)  

Answer explanation

Оскільки на графіку функції вона змінює свій напрям в двох точках (-2; -3) і (3; 2), а це точки екстремуму функції, тобто розв'язки рівняння f'(x) = 0, то маємо відповідь 2

Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = х³ + Зх² - 9х - 10 на проміжку [-4; 4]. У відповідь запишіть сумму одержаних значень

(a)  

Answer explanation

f'(х) = Зх² + 6х - 9 = 3(х + 3)(х - 1)

Критичні точки:

х1 = -3, х2 = 1

Знайдемо значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка

f(-4) = 10,

f(-3) = 17,

f(1) = -15,

f(4) = 66

Максимум 66, мінімум -15

-15 + 66 = 51

Знайти найбільше і найменше значення функції f(x) = 2x³ - 3x² - 36x на відрізку [–1; 4]. У відповідь запишіть суму отриманих значень

(a)  

Answer explanation

2x³ - 3x² - 36x

f'(x) = 6x² - 6x - 36

6(x² - x - 6) = 0

x1 = 3, x2 = -2

-2 не належить відрізку [–1; 4]

Знаходимо значення функції в критичних точках і в кінцях відрізку:

f(-1) = 2 * (-1) - 3 * 1 + 36 = 31

f(3) = 2 * 27 - 3 * 9 - 36 * 3 = -81

f(4) = 2 * 64 - 3 * 16 - 36 * 4 = -64

Найменше значення = -81

Найбільше значення = 31

-81 + 31 = -50

Задача із зірочкою) Є квадратний лист жерсті зі стороною 60 см. Знайдіть розміри квадратів, які треба вирізати в кутах цього листа, щоб з одержаної заготовки зробити коробку найбільшого об’єму

(a)  

Answer explanation

Щоб одержати коробку (у формі прямокутного паралелепіпеда), треба вирізати рівні квадрати в кутах цього листа. Нехай х — довжина сторони такого квадрата. Тоді висота коробки дорівнює х, а сторона основи 60 - 2х

Об’єм коробки V(х) = (60 - 2х)² * х — функція від х. Маємо дослідити математичну модель задачі: при якому значенні х функція V(х) = (60 - 2х)² * х на проміжку (0; 30) набуває найбільшого значення.

V'(x) = 3600 - 480x + 12x²

3600 - 480x + 12x² = 0

x² - 40x + 300 = 0

x1 = 10, x2 = 30

Значення х = 30 не належить проміжку (0; 30). Тому х = 10

Оскільки V'(х) > 0 при х < 10, а V'(х) < 0 при х > 10, то х = 10 — точка максимуму. Отже, в цій точці функція V(х) набуває найбільшого значення. Треба вирізати квадрати, сторони яких дорівнюють 10 см

У відповідь записуємо число 10