ДЗ7 "Застосування первісної"

Маємо настуну формулу для обчислення:

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}\cos xdx=\sin x\left|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}=\sin\frac{\pi}{6}-\left(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=\frac{3}{2}=1,5\right|$$

Синя парабола у = 2 + 4х - х²

Зелена -- у = х² - 2х + 2

З рисунку бачимо межі інтегрування: 2 і 3. В цьому можна впевнитись розв'язавши рівняння

2 + 4х - х² = х² - 2х + 2

2х² - 6х = 0

x(x - 3) = 0

x1 = 0, x2 = 3

Формула для обчислення площі має вигляд:

$$\int_0^3\left(2+4х-х^2-\left(х^2-2х+2\right)\right)dx=\int_0^3\left(8x-2x^2\right)dx=\left(4x^2-\frac{2}{3}x^3\right)\left|_0^3=4\cdot9-\frac{2}{3}\cdot27-0+0=36-27=9\ кв.\ од.\right|$$

Синя парабола: у = 2х - х²

Зелена -- у = х²

З малюнку видно межі інтегрування: 0 і 1. В цьому можна впевнитись, розв'язавши рівняння

2х - х² = х²

2x² - 2x = 0

x(x - 1) = 0

x1 = 0, x2 = 1

Формула для обчислення площі має вигляд:

$$S\ =\int_0^1\left(2х-х^2-x^2\right)dx=\int_0^1\left(2x-2x^2\right)dx=\left(x^2-\frac{2}{3}x^3\right)\left|\ _0^1=1-\frac{2}{3}-0+0=\frac{1}{3}\right|$$

У відповідь запишемо 3S = 3 * 1/3 = 1

Розв'яжемо рівняння

x(х - 2) = 0

x1=0, x2=2

Знаючи точки перетину, а також, що верхня крива це вісь або 0, а нижня задана рівнянням параболи, обчислюємо площу за допомогою інтегралу

$$S=\int_0^2\left(0-x\left(x-2\right)\right)dx=\int_0^2x\left(2-x\right)dx$$

З малюнку бачимо межі інтегрування -2 і 1. Можна в цьому впевнитись, розв'язавши рівняння

6 - x² = x + 4

x² + x - 2 = 0

За т. Вієта(або дискримінантом) маємо корені

x1 = -2, x2 = 1

Формула обчислення площі має вигляд

$$S=\int_{-2}^1\left(6-x^2-\left(x+4\right)\right)dx=\int_{-2}^1\left(6-x^2-x-4\right)dx=\int_{-2}^1\left(2-x-x^2\right)dx=\left(2x-\frac{1}{2}x^2-\frac{2}{3}x^3\right)\left|_{-2}^1=2-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}-\left(-4-2+\frac{8}{3}\right)=2-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+4+2-\frac{8}{3}=8-3-\frac{1}{2}=4,5\right|$$

$$s\left(t\right)=\int_{ }v\left(t\right)dt$$

$$S=\int_0^{10}\left(3t+1\right)dt=\left(\frac{3}{2}t^2+t\right)\left|_0^{10}=\frac{3}{2}\cdot100+10=160\ м\right|$$

З малюнку маємо межі інтегрування 0 і 1

Формула обчислення площі має вигляд:

$$S=\int_0^1x^2dx=\frac{1}{3}x^3\left|_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\ \right|$$

У відповідь маємо записати 6S = 6 * 1/3 = 2

$$V=\pi\int_a^bf^2\left(x\right)dx$$

Маємо межі від 0 до 2

$$V=\pi\int_0^2\left(x^3\right)^2dx=\pi\int_0^2x^6dx=\pi\frac{x^7}{7}\left|_0^2=\frac{128\pi}{7}\ куб.\ од.\right|$$

У відповідь запишемо 128

З малюнку видно, що шукана площа однакова з двох сторін. Така задача має два розв'язки:

1) За властивістю інтегралів

2) За міркування з графіків

Пропоную розглянути другий варіант. Оскільки дві частини графіу абсолютно ідентичні, то достатньо знайти площу однієї частинки і домножити на 2

Запишемо це так:

$$S=2\int_0^1xdx=2\left(\frac{x^2}{2}\right)\left|_0^1=2\left(\frac{1}{2}-0\right)=1\ кв.\ од.\right|$$

З малюнку видно, що межі знаходяться в точках 0 і 4, а далі маємо від верхнього графіку (y = 3) відняти нижній. Тому відповідь $$\int_0^4\left(3-f\left(x\right)\right)dx$$