Exphys1_Quiz17

Die freie Schwingung (DGL=Differentialgleichung)

• ist die Schwingung (z.B. eines Pendels) ohne Reibung/Dämpfung

• ist die Schwingung (z.B. eines Pendels) mit Federkonstante Null

Die freie Schwingung

• hat eine inhomogene, lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit zeitunabhängigen Koeffizienten

• wird durch eine Linearkombination aus Sinus- und Cosinusfunktion mit charakteristischer Frequenz ω₀ beschrieben

• benötigt für ihre Beschreibung nur eine Anfangsbedingung, z.B. die Auslenkung zum Zeitpunkt t₀

Bei der gedämpften Schwingung

• wirkt zusätzlich zur Federkraft eine Reibungskraft, die in der DGL auftaucht

• kann die Reibungskraft nur proportional zur Geschwindigkeit sein

• eines Drehpendels dämpft eine Wirbelstrombremse, deren Wirkung von der Geschwindigkeit der Drehscheibe abhängt

Die Differentialgleichung der Schwingung mit linearer Dämpfung

• ist homogen, linear, 1. Ordnung mit zeitunabhängigen Koeffizienten

• enthält einen Reibungsfaktor (Γ), der von der Masse des Federpendels bzw. dem Trägheitsmoment des Drehpendels abhängt (indirekt proportional)

• führt mit geeignetem Ansatz zu einer quadratischen Gleichung, die abhängig von Γ und ω₀, genau 1, 2 reelle oder 2 imaginäre Lösungen hat

Die Lösung der DGL der gedämpften Schwingung

• kann abhängig von Γ und ω₀ in 3 Fälle unterschieden werden

• ist bei zu großer Dämpfung gar keine wirkliche Schwingung

• ist bei zu großer Dämpfung nur x(t)=0

• ist bei geringer Dämpfung eine Schwingung mit der Frequenz ω₀ der ungedämpften Schwingung und abnehmender Amplitude

• ist bei geringer Dämpfung eine Schwingung mit Frequenz ω<ω₀ und gleichbleibender Amplitude

Im Fall der überdämpften Schwingung

• bildet sich eine sehr langsame Schwingung aus

• kann die Bewegung nicht über die „Null-Auslenkung“ hinaus gehen

• kann die Bewegung nicht ihre Richtung ändern

• gibt es zwei reelle Lösungen, einen schnell und einen langsam (exponentiell) abfallenden Anteil

• benötigt die partikuläre Lösung 2 Anfangsbedingungen

• nimmt die Auslenkung für lange Zeiten exponentiell mit der Zeit ab, schneller als bei jeder überdämpften Schwingung

• kann es einen „Null-Durchgang“ geben

• gibt es nur eine Lösung für γ und damit nur einen durch die Anfangsbedingungen bestimmten Parameter

• nimmt die Auslenkung exponentiell mit der Zeit ab, wobei die Abklingrate γ = ω₀ nur von der Federkonstante und nicht von der Dämpfung abhängt

Im Schwingfall der gedämpften Schwingung

• schwingt das Pendel mit der Frequenz ω₀ der ungedämpften Schwingung und die Amplitude nimmt mit der Zeit exponentiell ab

• wird aufgrund der exponentiell abnehmenden Amplitude die Schwingung immer langsamer (d.h. die Periode immer länger)

Im Schwingfall der gedämpften Schwingung

• erhält man nur dann eine eindeutige Lösung, wenn man die Auslenkung und die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=0 kennt

• nimmt die Schwingungsfrequenz exponentiell mit der Zeit ab

• nimmt die Schwingungsfrequenz mit zunehmender Dämpfung ab

• nimmt die Schwingungsfrequenz mit zunehmender Federkonstante zu