ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1

Αν οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 είναι παραγωγίσιμες στο 𝑥0 ∈ ℝ,

τότε η συνάρτηση 𝑓 ⋅ 𝑔 είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0 και

ισχύει:

(𝑓 ∙ 𝑔)′(𝑥0 ) = 𝑓′(𝑥0 ) ∙ 𝑔′(𝑥0 )

Η παράγωγος της συνάρτησης 𝑓 με τύπο

$$f\left(x\right)=x^2+t^2$$ 𝑥 ∈ ℝ, είναι η:

𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 2𝑡

Η συνάρτηση 𝑓 με τύπο $$f\left(x\right)=\sqrt[]{x}\ ,\ \ x\ge0$$ , είναι

παραγωγίσιμη στο [0, +∞).

Η παράγωγος της συνάρτησης 𝑓 με τύπο $$f\left(x\right)=3e^x,\ 𝑥∈ℝ$$ ,

στο σημείο $$x_0=\ln2$$ ισούται με 2.

Αν οι συναρτήσεις 𝑓 και 𝑔 δεν είναι παραγωγίσιμες στο

$$𝑥_0∈ℝ$$ , τότε η 𝑓 + 𝑔 δεν είναι παραγωγίσιμη στο $$𝑥_0$$

Δίνεται η συνάρτηση 𝑓 με τύπο:

𝑓(𝑥) =𝑥 + 1, 𝑥 < 0

και

𝑓(𝑥) =𝑥 , 𝑥 ≥ 0.

Τότε, 𝑓′(0) = 1.

Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής σε ένα σημείο $$x_0$$ του πεδίου ορισμού της,

τότε είναι σίγουρα και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

Η συνάρτηση 𝑓 με τύπο 𝑓(𝑥) = |𝑥|, 𝑥 ∈ ℝ

Η συνάρτηση 𝑓 είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [𝒂, 𝜷 ] ⊆ 𝜟, όταν

είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο $$x_0\in\left(α,β\right)$$ και επιπλέον ισχύει: