Bilangan ganjil tidak dapat dinyatakan dengan jumlahan dari tiga bilangan genap Afni membuat argumen untuk membuktikan kalimat di atas sebagai berikut: 1. Andaikan ada bilangan ganjil sebut saja $$x$$ , dengan $$x=a+b+c$$ ,dengan $$a,b,c$$ adalah bilangan genap. 2. Misalkan $$a=2k$$ , $$b=2l$$ , dan $$c=2p$$ untuk suatu $$k,l,p$$ bilangan bulat 3. Sehingga $$x=a+b+c=2k+2l+2p=2\left(k+l+p\right)$$ 4. Maka diperoleh $$x$$ bilangan genap, yang mana adalah kontradiksi 5. Jadi dapat disimpulkan tidak ada bilangan ganjil yang dapat dinyatakan ke dalam jumlahan tiga bilangan genap. Jawablah pertanyaan berikut berdasarkan bacaan di atas: Apakah yang dimaksud dengan kontradiksi pada baris ke-4?

$$x$$ diandaikan ganjil tetapi hasil perhitungan $$x$$ genap

Pengandaian bahwa $$x$$ genap bernilai benar

Pernyataan $$x=2\left(k+l+p\right)$$ salah

Bilangan ganjil tidak dapat dinyatakan dengan jumlahan dari tiga bilangan genap Afni membuat argumen untuk membuktikan kalimat di atas sebagai berikut: 1. Andaikan ada bilangan ganjil sebut saja $$x$$ , dengan $$x=a+b+c$$ ,dengan $$a,b,c$$ adalah bilangan genap. 2. Misalkan $$a=2k$$ , $$b=2l$$ , dan $$c=2p$$ untuk suatu $$k,l,p$$ bilangan bulat 3. Sehingga $$x=a+b+c=2k+2l+2p=2\left(k+l+p\right)$$ 4. Maka diperoleh $$x$$ bilangan genap, yang mana adalah kontradiksi 5. Jadi dapat disimpulkan tidak ada bilangan ganjil yang dapat dinyatakan ke dalam jumlahan tiga bilangan genap. Jawablah pertanyaan berikut berdasarkan bacaan di atas: Manakah pernyataan berikut, ringkasan yang paling tepat untuk pembuktian di atas?

Diasumsikan ada bilangan ganjil $$x$$ tapi hasil penjumlahan $$a$$ , $$b$$ , dan $$c$$ genap, sehingga terjadi kontradiksi maka asumsi salah

Dimisalkan $$x$$ ganjil tetapi nyatanya $$x$$ genap, sehingga terjadi kontradiksi

Asumsi $$x$$ ganjil salah karena jumlah dari $$a$$ , $$b$$ , dan $$c$$ menunjukkan $$x$$ genap, sehingga $$x$$ bernilai salah karena mempunyai 2 nilai

$$x$$ diasumsikan ganjil. Jika $$x$$ dapat dihasilkan dari penjumlahan bilangan genap $$a$$ , $$b$$ , dan c maka $$x$$ pastilah genap, hal ini kontradiksi

Bilangan ganjil tidak dapat dinyatakan dengan jumlahan dari tiga bilangan genap Afni membuat argumen untuk membuktikan kalimat di atas sebagai berikut: 1. Andaikan ada bilangan ganjil sebut saja $$x$$ , dengan $$x=a+b+c$$ ,dengan $$a,b,c$$ adalah bilangan genap. 2. Misalkan $$a=2k$$ , $$b=2l$$ , dan $$c=2p$$ untuk suatu $$k,l,p$$ bilangan bulat 3. Sehingga $$x=a+b+c=2k+2l+2p=2\left(k+l+p\right)$$ 4. Maka diperoleh $$x$$ bilangan genap, yang mana adalah kontradiksi 5. Jadi dapat disimpulkan tidak ada bilangan ganjil yang dapat dinyatakan ke dalam jumlahan tiga bilangan genap. Jawablah pertanyaan berikut berdasarkan bacaan di atas: Apakah maksud dari kalimat ”Andaikan ada bilangan ganjil sebut saja $$x$$ ...“ pada baris pertama?

Dimisalkan ada sebuah bilangan ganjil, hasil dari jumlahan 3 bilangan genap

Memang ada sebuah bilangan yang ganjil hasil dari jumlahan 3 bilanga genap, lalu dipilih $$x$$

$$x$$ adalah bilangan genap namun dimisalkan ganjil

pemberian nama $$x$$ pada bilangan ganjil

Bilangan ganjil tidak dapat dinyatakan dengan jumlahan dari tiga bilangan genap Afni membuat argumen untuk membuktikan kalimat di atas sebagai berikut: 1. Andaikan ada bilangan ganjil sebut saja $$x$$ , dengan $$x=a+b+c$$ ,dengan $$a,b,c$$ adalah bilangan genap. 2. Misalkan $$a=2k$$ , $$b=2l$$ , dan $$c=2p$$ untuk suatu $$k,l,p$$ bilangan bulat 3. Sehingga $$x=a+b+c=2k+2l+2p=2\left(k+l+p\right)$$ 4. Maka diperoleh $$x$$ bilangan genap, yang mana adalah kontradiksi 5. Jadi dapat disimpulkan tidak ada bilangan ganjil yang dapat dinyatakan ke dalam jumlahan tiga bilangan genap. Jawablah pertanyaan berikut berdasarkan bacaan di atas: Apakah kaitan antara baris 3 dan baris 4?

Baris ke-4 bergantung dengan pernyataan dari baris ke-3

Keduanya tidak saling berkaitan

Baris ke-4 menjelaskan baris ke-3

Baris ke-3 bergantung dengan pernyataan dari baris ke-4

Bilangan ganjil tidak dapat dinyatakan dengan jumlahan dari tiga bilangan genap Afni membuat argumen untuk membuktikan kalimat di atas sebagai berikut: 1. Andaikan ada bilangan ganjil sebut saja $$x$$ , dengan $$x=a+b+c$$ ,dengan $$a,b,c$$ adalah bilangan genap. 2. Misalkan $$a=2k$$ , $$b=2l$$ , dan $$c=2p$$ untuk suatu $$k,l,p$$ bilangan bulat 3. Sehingga $$x=a+b+c=2k+2l+2p=2\left(k+l+p\right)$$ 4. Maka diperoleh $$x$$ bilangan genap, yang mana adalah kontradiksi 5. Jadi dapat disimpulkan tidak ada bilangan ganjil yang dapat dinyatakan ke dalam jumlahan tiga bilangan genap. Jawablah pertanyaan berikut berdasarkan bacaan di atas: Pada baris ke-4, apa pernyataan yang mendasari “diperoleh $$x$$ bilangan genap”?

$$x=2\left(k+l+p\right)$$ , sehingga habis dibagi 2

$$x$$ merupakan jumlahan dari a,b, dan c

$$x$$ dimisalkan ganjil di awal pembuktian

karena $$x$$ dapat dinyatakan dengan penjumlahan tiga bilangan

Bilangan ganjil tidak dapat dinyatakan dengan jumlahan dari tiga bilangan genap Afni membuat argumen untuk membuktikan kalimat di atas sebagai berikut: 1. Andaikan ada bilangan ganjil sebut saja $$x$$ , dengan $$x=a+b+c$$ ,dengan $$a,b,c$$ adalah bilangan genap. 2. Misalkan $$a=2k$$ , $$b=2l$$ , dan $$c=2p$$ untuk suatu $$k,l,p$$ bilangan bulat 3. Sehingga $$x=a+b+c=2k+2l+2p=2\left(k+l+p\right)$$ 4. Maka diperoleh $$x$$ bilangan genap, yang mana adalah kontradiksi 5. Jadi dapat disimpulkan tidak ada bilangan ganjil yang dapat dinyatakan ke dalam jumlahan tiga bilangan genap. Jawablah pertanyaan berikut berdasarkan bacaan di atas: Manakah alasan yang paling tepat dari pernyataan “tidak ada bilangan ganjil yang dapat dinyatakan ke dalam jumlahan tiga bilangan genap”? (baris ke-5)

Karena permisalan bahwa $$x$$ bilangan ganjil telah gagal sebab $$x$$ adalah genap

Karena jumlahan dari 3 bilangan genap pasti selalu genap

Karena bilangan ganjil hanya dapat diperoleh dari jumlahan 3 bilangan ganjil

Karena 3 bilangan genap jika dijumlahkan tidak akan memperoleh bilangan ganjil

Bilangan ganjil tidak dapat dinyatakan dengan jumlahan dari tiga bilangan genap Afni membuat argumen untuk membuktikan kalimat di atas sebagai berikut: 1. Andaikan ada bilangan ganjil sebut saja $$x$$ , dengan $$x=a+b+c$$ ,dengan $$a,b,c$$ adalah bilangan genap. 2. Misalkan $$a=2k$$ , $$b=2l$$ , dan $$c=2p$$ untuk suatu $$k,l,p$$ bilangan bulat 3. Sehingga $$x=a+b+c=2k+2l+2p=2\left(k+l+p\right)$$ 4. Maka diperoleh $$x$$ bilangan genap, yang mana adalah kontradiksi 5. Jadi dapat disimpulkan tidak ada bilangan ganjil yang dapat dinyatakan ke dalam jumlahan tiga bilangan genap. Jawablah pertanyaan berikut berdasarkan bacaan di atas: Kesimpulan yang salah dari pembuktian diatas adalah?

Bilangan ganjil hanya dapat diperoleh dari jumlahan bilangan ganjil saja

Jumlahan dari 3 bilangan genap pasti selalu genap

Bilangan ganjil tidak akan dapat diperoleh dengan menjumlahkan 3 bilangan genap

Tiga bilangan genap jika dijumlahkan tidak akan menghasilkan bilangan ganjil

Bilangan ganjil tidak dapat dinyatakan dengan jumlahan dari tiga bilangan genap Afni membuat argumen untuk membuktikan kalimat di atas sebagai berikut: 1. Andaikan ada bilangan ganjil sebut saja $$x$$ , dengan $$x=a+b+c$$ ,dengan $$a,b,c$$ adalah bilangan genap. 2. Misalkan $$a=2k$$ , $$b=2l$$ , dan $$c=2p$$ untuk suatu $$k,l,p$$ bilangan bulat 3. Sehingga $$x=a+b+c=2k+2l+2p=2\left(k+l+p\right)$$ 4. Maka diperoleh $$x$$ bilangan genap, yang mana adalah kontradiksi 5. Jadi dapat disimpulkan tidak ada bilangan ganjil yang dapat dinyatakan ke dalam jumlahan tiga bilangan genap. Jawablah pertanyaan berikut berdasarkan bacaan di atas: Jika anda mempunyai bilangan p genap, q genap, r juga genap. Apakah yang dapat diperoleh jika ketiganya dijumlahkan?

Bilangan yang bisa genap ataupun ganjil

Bukan bilangan ganjil ataupun genap

Bilangan ganjil tidak dapat dinyatakan dengan jumlahan dari tiga bilangan genap Afni membuat argumen untuk membuktikan kalimat di atas sebagai berikut: 1. Andaikan ada bilangan ganjil sebut saja $$x$$ , dengan $$x=a+b+c$$ ,dengan $$a,b,c$$ adalah bilangan genap. 2. Misalkan $$a=2k$$ , $$b=2l$$ , dan $$c=2p$$ untuk suatu $$k,l,p$$ bilangan bulat 3. Sehingga $$x=a+b+c=2k+2l+2p=2\left(k+l+p\right)$$ 4. Maka diperoleh $$x$$ bilangan genap, yang mana adalah kontradiksi 5. Jadi dapat disimpulkan tidak ada bilangan ganjil yang dapat dinyatakan ke dalam jumlahan tiga bilangan genap. Jawablah pertanyaan berikut berdasarkan bacaan di atas: Mengapa a dinyatakan dengan 2k , b dinyatakan dengan 2l , dan c dinyatakan dengan 2p ?

Karena a,b,c adalah bilangan genap

Karena a,b,c nilainya 2 kali lebih besar dari k,l,m

Karena a,b,c nilainya 2 kali lebih kecil dari k,l,m

Karena a,b,c adalah bilangan ganjil

Pertanyaan 18 sampai 28 berdasarkan teorema kedua. Teorema 2: “Jika $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ , maka $$n$$ genap jika dan hanya jika $$3n^2+8$$ genap” Bukti: 1. Diketahui $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ . 2. Dari definisi, jika $$n$$ genap maka $$\exists k\in Z$$ sehingga $$n=2k$$ . 3. Maka, $$3n^2+8=3\left(2k\right)^2+8=12k^2+8=2\left(6k^2+4\right)$$ . 4. Untuk itu, $$3n^2+8$$ genap 5. Sekarang, asumsikan $$n$$ ganjil dan akan ditunjukkan $$3n^2+8$$ ganjil 6. Dari definisi, jika $$n$$ ganjil $$\exists a\in Z$$ sehingga $$n=2a+1$$ 7. Maka, $$3n^2+8=3\left(2a+1\right)^2+8=3\left(4a^2+4a+1\right)+8=2\left(6a^2+6a+5\right)+1$$ yang mana adalah bilangan ganjil 8. Sehingga, jika $$3n^2+8$$ genap maka $$n$$ genap. ∎ Menurut teorema, manakah pernyataan yang paling sesuai dengan definisi n ?

n adalah bilangan bulat positif

n adalah bilangan bulat negatif

Pertanyaan 18 sampai 28 berdasarkan teorema kedua. Teorema 2: “Jika $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ , maka $$n$$ genap jika dan hanya jika $$3n^2+8$$ genap” Bukti: 1. Diketahui $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ . 2. Dari definisi, jika $$n$$ genap maka $$\exists k\in Z$$ sehingga $$n=2k$$ . 3. Maka, $$3n^2+8=3\left(2k\right)^2+8=12k^2+8=2\left(6k^2+4\right)$$ . 4. Untuk itu, $$3n^2+8$$ genap 5. Sekarang, asumsikan $$n$$ ganjil dan akan ditunjukkan $$3n^2+8$$ ganjil 6. Dari definisi, jika $$n$$ ganjil $$\exists a\in Z$$ sehingga $$n=2a+1$$ 7. Maka, $$3n^2+8=3\left(2a+1\right)^2+8=3\left(4a^2+4a+1\right)+8=2\left(6a^2+6a+5\right)+1$$ yang mana adalah bilangan ganjil 8. Sehingga, jika $$3n^2+8$$ genap maka $$n$$ genap. ∎ Alasan manakah yang menjelaskan mengapa $$3n^2+8=2\left(6m^2+4\right)$$ mengakibatkan $$3n^2+8$$ genap?

$$6m^2+4$$ hanya suatu bilangan bulat, misalkan $$k$$ , sehingga dari definisi $$3n^2+8$$ genap karena $$3n^2+8=2k$$

$$6m^2+4$$ genap karena plus 4, sehingga $$3n^2+8$$ pastilah genap

$$6m^2+4$$ genap maka $$2\left(6m^2+4\right)$$ juga genap

$$6m^2+4$$ genap karena plus 4, sehingga dari definisi $$3n^2+8$$ genap karena plus 8

Pertanyaan 18 sampai 28 berdasarkan teorema kedua. Teorema 2: “Jika $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ , maka $$n$$ genap jika dan hanya jika $$3n^2+8$$ genap” Bukti: 1. Diketahui $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ . 2. Dari definisi, jika $$n$$ genap maka $$\exists k\in Z$$ sehingga $$n=2k$$ . 3. Maka, $$3n^2+8=3\left(2k\right)^2+8=12k^2+8=2\left(6k^2+4\right)$$ . 4. Untuk itu, $$3n^2+8$$ genap 5. Sekarang, asumsikan $$n$$ ganjil dan akan ditunjukkan $$3n^2+8$$ ganjil 6. Dari definisi, jika $$n$$ ganjil $$\exists a\in Z$$ sehingga $$n=2a+1$$ 7. Maka, $$3n^2+8=3\left(2a+1\right)^2+8=3\left(4a^2+4a+1\right)+8=2\left(6a^2+6a+5\right)+1$$ yang mana adalah bilangan ganjil 8. Sehingga, jika $$3n^2+8$$ genap maka $$n$$ genap. ∎ Alasan manakah yang menjelaskan mengapa $$3n^2+8=2\left(6m^2+4\right)$$ mengakibatkan $$3n^2+8$$ genap?

$$6m^2+4$$ hanya suatu bilangan bulat, misalkan $$k$$ , sehingga dari definisi $$3n^2+8$$ genap karena $$3n^2+8=2k$$

$$6m^2+4$$ genap karena plus 4, sehingga $$3n^2+8$$ pastilah genap

$$6m^2+4$$ genap maka $$2\left(6m^2+4\right)$$ juga genap

$$6m^2+4$$ genap karena plus 4, sehingga dari definisi $$3n^2+8$$ genap karena plus 8

Pertanyaan 18 sampai 28 berdasarkan teorema kedua. Teorema 2: “Jika $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ , maka $$n$$ genap jika dan hanya jika $$3n^2+8$$ genap” Bukti: 1. Diketahui $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ . 2. Dari definisi, jika $$n$$ genap maka $$\exists k\in Z$$ sehingga $$n=2k$$ . 3. Maka, $$3n^2+8=3\left(2k\right)^2+8=12k^2+8=2\left(6k^2+4\right)$$ . 4. Untuk itu, $$3n^2+8$$ genap 5. Sekarang, asumsikan $$n$$ ganjil dan akan ditunjukkan $$3n^2+8$$ ganjil 6. Dari definisi, jika $$n$$ ganjil $$\exists a\in Z$$ sehingga $$n=2a+1$$ 7. Maka, $$3n^2+8=3\left(2a+1\right)^2+8=3\left(4a^2+4a+1\right)+8=2\left(6a^2+6a+5\right)+1$$ yang mana adalah bilangan ganjil 8. Sehingga, jika $$3n^2+8$$ genap maka $$n$$ genap. ∎ Berikut ini adalah alasan yang paling tepat mengapa menunjukkan “jika n ganjil maka 3n 2 + 8 ganjil” membantu pembuktian teorema?

Teorema telah ditunjukkan pada bagian awal pembuktian (baris 1-4). Sisanya adalah membuktikan teorema dengan kontradiksinya. Sehingga pembuktian menjadi lengkap

Karena bilangan dapat berupa bilangan ganjil maupun genap sehingga jika 3n 2 +8 ganjil karena n ganjil, sehingga jika 3n 2 + 8 genap, n haruslah genap

Karena telah ditunjukkan pada bagian pertama pembuktian bahwa jika n genap maka 3n 2 +8 genap. Untuk itu, dengan menunjukkan jika n ganjil maka 3n 2 +8 juga ganjil, dapat disimpulkan bahwa n genap jika 3n 2 +8 juga genap

Karena telah ditunjukkan pada bagian pertama pembuktian bahwa jika n genap maka 3n 2 +8 genap. Dengan menunjukkan jika n ganjil maka 3n 2 +8 juga ganjil, sama saja membuktikan jika 3n 2 +8 genap maka n genap. Sehingga bukti sudah lengkap

Pertanyaan 18 sampai 28 berdasarkan teorema kedua. Teorema 2: “Jika $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ , maka $$n$$ genap jika dan hanya jika $$3n^2+8$$ genap” Bukti: 1. Diketahui $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ . 2. Dari definisi, jika $$n$$ genap maka $$\exists k\in Z$$ sehingga $$n=2k$$ . 3. Maka, $$3n^2+8=3\left(2k\right)^2+8=12k^2+8=2\left(6k^2+4\right)$$ . 4. Untuk itu, $$3n^2+8$$ genap 5. Sekarang, asumsikan $$n$$ ganjil dan akan ditunjukkan $$3n^2+8$$ ganjil 6. Dari definisi, jika $$n$$ ganjil $$\exists a\in Z$$ sehingga $$n=2a+1$$ 7. Maka, $$3n^2+8=3\left(2a+1\right)^2+8=3\left(4a^2+4a+1\right)+8=2\left(6a^2+6a+5\right)+1$$ yang mana adalah bilangan ganjil 8. Sehingga, jika $$3n^2+8$$ genap maka $$n$$ genap. ∎ Pernyataan yang paling tepat menggambarkan hubungan antara baris 3, 4 dan 5 adalah...

Baris 4 bergantung pada pernyataan pada baris 3 namun tidak berkaitan dengan baris 5

Baris-baris tersebut berdiri sendiri-sendiri, tidak ada kaitan satu sama lain

Baris 5 bergantung pada pernyataan pada baris 3 dan 4

Baris 5 bergantung pada pernyataan pada baris 4 namun tidak berkaitan dengan baris 3

Pertanyaan 18 sampai 28 berdasarkan teorema kedua. Teorema 2: “Jika $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ , maka $$n$$ genap jika dan hanya jika $$3n^2+8$$ genap” Bukti: 1. Diketahui $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ . 2. Dari definisi, jika $$n$$ genap maka $$\exists k\in Z$$ sehingga $$n=2k$$ . 3. Maka, $$3n^2+8=3\left(2k\right)^2+8=12k^2+8=2\left(6k^2+4\right)$$ . 4. Untuk itu, $$3n^2+8$$ genap 5. Sekarang, asumsikan $$n$$ ganjil dan akan ditunjukkan $$3n^2+8$$ ganjil 6. Dari definisi, jika $$n$$ ganjil $$\exists a\in Z$$ sehingga $$n=2a+1$$ 7. Maka, $$3n^2+8=3\left(2a+1\right)^2+8=3\left(4a^2+4a+1\right)+8=2\left(6a^2+6a+5\right)+1$$ yang mana adalah bilangan ganjil 8. Sehingga, jika $$3n^2+8$$ genap maka $$n$$ genap. ∎ Pernyataan berikut yang paling tepat menjelaskan mengapa pembuktian tidak berhenti pada baris 4 adalah ...

Karena pembuktian akan menjadi tidak lengkap karena harus membuktikan arah sebaliknya yaitu menunjukkan jika $$3n^2+8$$ genap maka $$n$$ juga genap

Karena pembuktian akan menjadi tidak lengkap karena masih perlu menunjukkan jika $$3n^2+8$$ ganjil maka $$n$$ juga ganjil

Karena pembuktian akan menjadi tidak lengkap karena masih perlu menunjukkan jika $$n$$ ganjil maka $$3n^2+8$$ juga ganjil

Bukti sebenarnya sudah lengkap sampai baris 4 namun baris berikutnya adalah informasi penting tambahan untuk memberikan pemahaman yang lebih detail.

Pertanyaan 18 sampai 28 berdasarkan teorema kedua. Teorema 2: “Jika $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ , maka $$n$$ genap jika dan hanya jika $$3n^2+8$$ genap” Bukti: 1. Diketahui $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ . 2. Dari definisi, jika $$n$$ genap maka $$\exists k\in Z$$ sehingga $$n=2k$$ . 3. Maka, $$3n^2+8=3\left(2k\right)^2+8=12k^2+8=2\left(6k^2+4\right)$$ . 4. Untuk itu, $$3n^2+8$$ genap 5. Sekarang, asumsikan $$n$$ ganjil dan akan ditunjukkan $$3n^2+8$$ ganjil 6. Dari definisi, jika $$n$$ ganjil $$\exists a\in Z$$ sehingga $$n=2a+1$$ 7. Maka, $$3n^2+8=3\left(2a+1\right)^2+8=3\left(4a^2+4a+1\right)+8=2\left(6a^2+6a+5\right)+1$$ yang mana adalah bilangan ganjil 8. Sehingga, jika $$3n^2+8$$ genap maka $$n$$ genap. ∎ Metode pembuktian apa yang digunakan pada baris 5-8?

Pembuktian dengan induksi matematika

Pertanyaan 18 sampai 28 berdasarkan teorema kedua. Teorema 2: “Jika $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ , maka $$n$$ genap jika dan hanya jika $$3n^2+8$$ genap” Bukti: 1. Diketahui $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ . 2. Dari definisi, jika $$n$$ genap maka $$\exists k\in Z$$ sehingga $$n=2k$$ . 3. Maka, $$3n^2+8=3\left(2k\right)^2+8=12k^2+8=2\left(6k^2+4\right)$$ . 4. Untuk itu, $$3n^2+8$$ genap 5. Sekarang, asumsikan $$n$$ ganjil dan akan ditunjukkan $$3n^2+8$$ ganjil 6. Dari definisi, jika $$n$$ ganjil $$\exists a\in Z$$ sehingga $$n=2a+1$$ 7. Maka, $$3n^2+8=3\left(2a+1\right)^2+8=3\left(4a^2+4a+1\right)+8=2\left(6a^2+6a+5\right)+1$$ yang mana adalah bilangan ganjil 8. Sehingga, jika $$3n^2+8$$ genap maka $$n$$ genap. ∎ Penjelasan berikut yang paling tepat meringkas pembuktian baris 5-8 adalah ...?

Diasumsikan n ganjil sehingga n= 2a+1. n disubstitusi dengan 2a+1, selanjutnya dijabarkan sampai diperoleh 2(6a 2 +6a+5)+1 yang bernilai ganjil sebab 6a 2 +6a+5 hanya bilangan bulat yang dapat dinyatakan sebagai k. Untuk itu 2(6a 2 +6a+5)+1=2k+1 menunjukkan 3n 2 + 8 ganjil. Sehingga dengan kontraposisi diperoleh jika 3n 2 + 8 genap maka n genap

Diasumsikan n ganjil sehingga n= 2a+1. n disubstitusi dengan 2a+1, selanjutnya dijabarkan sampai diperoleh 2(6a 2 +6a+5)+1 yang bernilai ganjil sebab plus 1. Dengan kontradiksi, diperoleh jika n genap maka 3n 2 +8 genap.

Diasumsikan n ganjil sehingga n= 2a+1. n disubstitusi dengan 2a+1, selanjutnya dijabarkan sampai diperoleh 2(6a 2 +6a+5)+1 yang bernilai ganjil sebab plus 1. Dengan kontraposisi, diperoleh jika n genap maka 3n 2 +8 genap.

Diasumsikan n ganjil sehingga n= 2a+1. n disubstitusi dengan 2a+1, selanjutnya dijabarkan sampai diperoleh 2(6a 2 +6a+5)+1 yang bernilai ganjil sebab 6a 2 +6a+5 hanya bilangan bulat yang dapat dinyatakan sebagai k. Untuk itu 2(6a 2 +6a+5)+1=2k+1 menunjukkan 3n 2 + 8 ganjil. Namun hal ini berlawanan dengan yang akan dibuktikan yaitu 3n 2 + 8 genap. Jadi terjadi kontradiksi, yang benar adalah jika 3n 2 + 8 genap maka n genap.

Pertanyaan 18 sampai 28 berdasarkan teorema kedua. Teorema 2: “Jika $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ , maka $$n$$ genap jika dan hanya jika $$3n^2+8$$ genap” Bukti: 1. Diketahui $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ . 2. Dari definisi, jika $$n$$ genap maka $$\exists k\in Z$$ sehingga $$n=2k$$ . 3. Maka, $$3n^2+8=3\left(2k\right)^2+8=12k^2+8=2\left(6k^2+4\right)$$ . 4. Untuk itu, $$3n^2+8$$ genap 5. Sekarang, asumsikan $$n$$ ganjil dan akan ditunjukkan $$3n^2+8$$ ganjil 6. Dari definisi, jika $$n$$ ganjil $$\exists a\in Z$$ sehingga $$n=2a+1$$ 7. Maka, $$3n^2+8=3\left(2a+1\right)^2+8=3\left(4a^2+4a+1\right)+8=2\left(6a^2+6a+5\right)+1$$ yang mana adalah bilangan ganjil 8. Sehingga, jika $$3n^2+8$$ genap maka $$n$$ genap. ∎ Pernyataan berikut ini yang paling tepat menjawab mengapa kita tidak membuktikan bagian “ n>0 dan n∈ ℤ ” yang tertulis di teorema?

Karena sudah jelas n>0 dengan n∈Z. Bekerja di bilangan n>0 lain katakan n∈R, akan memerlukan pembuktian yang lebih kompleks.

Karena diperbolehkan memilih sembarang bilangan n>0 dengan n∈Z.

Karena bilangan n>0 dengan n∈Z hanya himpunan semesta yang dipakai

Karena yang dibuktikan adalah n genap jika dan hanya jika 3n 2 +8 genap, bukan n>0 dengan n∈Z.

Pertanyaan 18 sampai 28 berdasarkan teorema kedua. Teorema 2: “Jika $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ , maka $$n$$ genap jika dan hanya jika $$3n^2+8$$ genap” Bukti: 1. Diketahui $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ . 2. Dari definisi, jika $$n$$ genap maka $$\exists k\in Z$$ sehingga $$n=2k$$ . 3. Maka, $$3n^2+8=3\left(2k\right)^2+8=12k^2+8=2\left(6k^2+4\right)$$ . 4. Untuk itu, $$3n^2+8$$ genap 5. Sekarang, asumsikan $$n$$ ganjil dan akan ditunjukkan $$3n^2+8$$ ganjil 6. Dari definisi, jika $$n$$ ganjil $$\exists a\in Z$$ sehingga $$n=2a+1$$ 7. Maka, $$3n^2+8=3\left(2a+1\right)^2+8=3\left(4a^2+4a+1\right)+8=2\left(6a^2+6a+5\right)+1$$ yang mana adalah bilangan ganjil 8. Sehingga, jika $$3n^2+8$$ genap maka $$n$$ genap. ∎ Menurut teorema, jika 3n 2 +8 adalah bilangan ganjil, akankah hal ini berakibat n juga ganjil?

Ya, karena hal ini hanya kontraposisi dari teorema saja.

Tidak, karena teorema hanya membicarakan bilangan genap saja, bukan bilangan ganjil.

Ya, karena jika dipilih bilangan 3n 2 +8=11 maka diperoleh n=1 yang ganjil semua.

Ya, namun bukan karena teorema melainkan karena fakta bahwa jika sembarang bilangan ganjil dikuadratkan, dikali 3 ditambah 8 akan menghasilkan bilangan ganjil

Pertanyaan 18 sampai 28 berdasarkan teorema kedua. Teorema 2: “Jika $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ , maka $$n$$ genap jika dan hanya jika $$3n^2+8$$ genap” Bukti: 1. Diketahui $$n\in Z$$ dan $$n>0$$ . 2. Dari definisi, jika $$n$$ genap maka $$\exists k\in Z$$ sehingga $$n=2k$$ . 3. Maka, $$3n^2+8=3\left(2k\right)^2+8=12k^2+8=2\left(6k^2+4\right)$$ . 4. Untuk itu, $$3n^2+8$$ genap 5. Sekarang, asumsikan $$n$$ ganjil dan akan ditunjukkan $$3n^2+8$$ ganjil 6. Dari definisi, jika $$n$$ ganjil $$\exists a\in Z$$ sehingga $$n=2a+1$$ 7. Maka, $$3n^2+8=3\left(2a+1\right)^2+8=3\left(4a^2+4a+1\right)+8=2\left(6a^2+6a+5\right)+1$$ yang mana adalah bilangan ganjil 8. Sehingga, jika $$3n^2+8$$ genap maka $$n$$ genap. ∎ Skema pembuktian teorema “Jika n∈Z dan n>0, maka n genap jika dan hanya jika 3n 2 +8 genap” diatas adalah ... note : jhj=jika dan hanya jika

Untuk membuktikan operator “jhj” dibuat 2 tahap pembuktian, Baris 1-4 membuktikan “jika n genap maka 3n 2 +8 genap” dan baris 5-8 akan membuktikan “jika 3n 2 +8 genap maka n genap” melalui kontraposisi pembuktian “jika n ganjil maka 3n 2 +8 ganjil”. Jika 2 tahap digabung diperoleh kesimpulan “n genap jhj 3n 2 +8 genap”.

Untuk membuktikan operator “jhj” dibuat 2 tahap pembuktian, Baris 1-4 membuktikan “3n 2 +8 genap” (baris 4) dan baris 5-8 membuktikan “n genap” (baris 8). Jika “n genap” dan “3n 2 +8 genap” digabungkan diperolehlah kesimpulan “n genap jhj 3n 2 +8 genap”.

Untuk membuktikan operator “jhj” dibuat 2 tahap pembuktian, Baris 1-4 membuktikan “jika n genap maka 3n 2 +8 genap” dan baris 5-8 membuktikan “jika n ganjil maka 3n 2 +8 ganjil”. Jika 2 tahap digabung diperoleh kesimpulan “n genap jhj 3n 2 +8 genap”.

Untuk membuktikan operator “jhj” dibuat 2 tahap pembuktian, Baris 1-4 membuktikan “jika n genap maka 3n 2 +8 genap” dan baris 5-8 ingin membuktikan “jika 3n 2 +8 genap maka n genap” namun melalui pembuktian “jika n ganjil maka 3n 2 +8 ganjil” untuk memudahkan. Jika 2 tahap digabung diperoleh kesimpulan “n genap jhj 3n 2 +8 genap”.

Memahami Pembuktian Matematis

Authored by Mohamad Waluyo

Computers

Professional Development

AI Actions

Add similar questions

Adjust reading levels

Convert to real-world scenario

Translate activity

More...

Content View

Student View

30 questions

Show all answers

MULTIPLE CHOICE QUESTION

1 min • Ungraded

Ali, Budi, Cita, Dedi, Eva dan Fia mencoba membuktikan pernyataan berikut ini benar atau salah:
“Dua bilangan genap jika dijumlahkan akan selalu menghasilkan bilangan genap”
Dari jawaban-jawaban diatas manakah jawaban yang mirip dengan jawabanmu jika kamu diminta untuk menjawab pertanyaan itu

Jawaban Budi

2+2=4 4+2=6

2+4=6 4+4=8

2+6=8 4+6=10

Jadi Budi menjawab benar

Jawaban Cita

Bilangan genap adalah bilangan yang dapat dibagi dua.

Jika bilangan genap ditambah dengan bilangan genap, maka hasilnya akan tetap habis dibagi 2.

Jadi Cita menjawab benar

Jawaban Dedi

Bilangan genap mempunyai akhiran 0, 2, 4, 6, atau 8. Jika kamu menjumlahkan 2 bilangan ini maka jawabannya tetap memiliki akhiran 0,2,4,6, atau 8.

Maka Dedi menjawab benar.

MULTIPLE CHOICE QUESTION

1 min • Ungraded

Ali, Budi, Cita, Dedi, Eva dan Fia mencoba membuktikan pernyataan berikut ini benar atau salah:
“Dua bilangan genap jika dijumlahkan akan selalu menghasilkan bilangan genap”
Dari jawaban-jawaban diatas manakah jawaban yang akan dinilai guru paling bagus?

Jawaban Budi

2+2=4 4+2=6

2+4=6 4+4=8

2+6=8 4+6=10

Jadi Budi menjawab benar

Jawaban Cita

Bilangan genap adalah bilangan yang dapat dibagi dua.

Jika bilangan genap ditambah dengan bilangan genap, maka hasilnya akan tetap habis dibagi 2.

Jadi Cita menjawab benar

Jawaban Dedi

Bilangan genap mempunyai akhiran 0, 2, 4, 6, atau 8. Jika kamu menjumlahkan 2 bilangan ini maka jawabannya tetap memiliki akhiran 0,2,4,6, atau 8.

Maka Dedi menjawab benar.

MULTIPLE CHOICE QUESTION

5 mins • 1 pt

Bilangan prima

Bilangan bulat yang tak habis dibagi 2

Bilangan bulat yang habis dibagi 2

Bilangan yang dapat dinyatakan dengan 2n+1, dengan n bilangan asli

MULTIPLE CHOICE QUESTION

1 min • 1 pt

Bilangan positif kelipatan dua

Bilangan bulat yang tak habis dibagi 2

Bilangan bulat yang habis dibagi 2

Bilangan yang dapat dinyatakan dengan 2n+1, dengan n bilangan asli

MULTIPLE CHOICE QUESTION

1 min • 1 pt

-5, 2/3, 117

0, 39, 2019

-12, 13, 2341

-35, 25, 303

MULTIPLE CHOICE QUESTION

2 mins • 1 pt

MULTIPLE CHOICE QUESTION

3 mins • 1 pt

Access all questions and much more by creating a free account

Create resources

Host any resource

Get auto-graded reports

Continue with Google

Continue with Email

Continue with Microsoft

or continue with

Facebook

Apple

Others

Already have an account?

Similar Resources on Wayground

35 questions

Quiz Seleksi Karyawan

Quiz

•

Professional Development

35 questions

Modul 3 simulation (2)

Quiz

•

Professional Development

25 questions

PRE - Quiz J&T Hari 3

Quiz

•

Professional Development

25 questions

Project Management

Quiz

•

Professional Development

28 questions

Kuis Jaringan Komputer tkj2

Quiz

•

Professional Development

33 questions

Quiz Proses Bisnis dan Desain Grafis

Quiz

•

Professional Development

31 questions

KK ATS Jaringan Komputer

Quiz

•

Professional Development

Popular Resources on Wayground

5 questions

A Home on the Shore

Quiz

•

3rd Grade

28 questions

US History Regents Review

Quiz

•

11th Grade

6 questions

A Horse Tale

Quiz

•

3rd Grade

20 questions

Math Review

Quiz

•

3rd Grade

10 questions

Juneteenth History and Significance

Interactive video

•

5th - 8th Grade

20 questions

Dividing Fractions

Quiz

•

5th Grade

55 questions

A Long Walk to Water Final Review

Quiz

•

6th - 8th Grade

10 questions

Equation Word Problems

Quiz

•

7th Grade

Discover more resources for Computers

40 questions

Flags of the World

Quiz

•

KG - Professional Dev...

Memahami Pembuktian Matematis

Ali, Budi, Cita, Dedi, Eva dan Fia mencoba membuktikan pernyataan berikut ini benar atau salah:“Dua bilangan genap jika dijumlahkan akan selalu menghasilkan bilangan genap”Dari jawaban-jawaban diatas manakah jawaban yang mirip dengan jawabanmu jika kamu diminta untuk menjawab pertanyaan itu

Ali, Budi, Cita, Dedi, Eva dan Fia mencoba membuktikan pernyataan berikut ini benar atau salah:“Dua bilangan genap jika dijumlahkan akan selalu menghasilkan bilangan genap”Dari jawaban-jawaban diatas manakah jawaban yang akan dinilai guru paling bagus?

Access all questions and much more by creating a free account

Similar Resources on Wayground

Popular Resources on Wayground

Discover more resources for Computers

Ali, Budi, Cita, Dedi, Eva dan Fia mencoba membuktikan pernyataan berikut ini benar atau salah:
“Dua bilangan genap jika dijumlahkan akan selalu menghasilkan bilangan genap”
Dari jawaban-jawaban diatas manakah jawaban yang mirip dengan jawabanmu jika kamu diminta untuk menjawab pertanyaan itu

Ali, Budi, Cita, Dedi, Eva dan Fia mencoba membuktikan pernyataan berikut ini benar atau salah:
“Dua bilangan genap jika dijumlahkan akan selalu menghasilkan bilangan genap”
Dari jawaban-jawaban diatas manakah jawaban yang akan dinilai guru paling bagus?