№19 ОГЭ

Какое из следующих утверждений верно?

• Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

• Диагонали ромба равны.

• Тангенс любого острого угла меньше единицы.

Answer explanation

1) верно, это утверждение — один из признаков подобия треугольников.
2) неверно, диагонали у ромба равны только в частном случае ромба - квадрате.
3) неверно, тангенс может быть больше единицы.

Какое из следующих утверждений верно?

• В параллелограмме есть два равных угла.

• Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

• Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

Answer explanation

1)  верно, в параллелограмме есть 2 пары равных углов.
2) неверно, верным будет утверждение «Каждая из биссектрис равностороннего треугольника является его медианой».
3) неверно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.

Какие из следующих утверждений верны?

• Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

  
  

• Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.

• Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

Answer explanation

1) верно, это аксиома планиметрии.
2) неверно, так как в общем случае диагонали у ромба не равны.
3) верно по определению.

Какое из следующих утверждений верно?

• Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

• Все углы ромба равны.

• Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

Answer explanation

1) верно, выпуклый четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов этого четырёхугольника равна 180°, а в любом прямоугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
2) неверно, т. к. равны только противоположно лежащие углы.
3) неверно, т.к. для того, чтобы существовал треугольник, сумма любых его двух сторон должна быть больше третьей стороны.

Какие из следующих утверждений верны?

• В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.

• Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.

• Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

Answer explanation

1) неверно, в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна корню квадратному из суммы квадратов катетов.
2) верно, т. к. если один из углов ромба равен 90°, то и остальные равны 90°.
3) верно по определению.

Какие из следующих утверждений верны?

• Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

• Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

• Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Answer explanation

1) верно, так как площадь треугольника равна ¹/₂ab sin α , где α  — угол между сторонами a и b треугольника. Синус угла всегда меньше единицы, поэтому площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
2) неверно, средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
3) верно, это утверждение — один из признаков подобия треугольников.

Какое из следующих утверждений верно?

• Все хорды одной окружности равны между собой.

• Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равных треугольника.

• Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

Answer explanation

1) неверно, так как длина хорды зависит от ее удаленности от центра окружности.
2) неверно, треугольники не равны.
3) верно для любого треугольника.

Какие из следующих утверждений верны?

• Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

• Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

• Внешний угол треугольника больше не смежного с ним внутреннего угла.

Answer explanation

1) неверно, можно провести бесконечно много прямых.
2) верно, из свойства диагоналей прямоугольника.
3) верно, внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним - теорема о внешнем угле треугольника.

Какое из следующих утверждений верно?

• Основания любой трапеции параллельны.

• Тангенс любого острого угла меньше единицы.

• Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.

Answer explanation

1) верно, трапеция - четырёхугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами.
2) неверно, тангенс может быть больше единицы.
3) неверно, сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.

Какие из следующих утверждений верны?

• Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

• Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

• Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

Answer explanation

1) верно по свойству любого треугольника.
2) верно, выпуклый четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов этого четырёхугольника равна 180°, а в любом прямоугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
3) неверно, можно провести бесконечно много прямых.