Qu'est-ce qu'une probabilité conditionnelle ?

• La probabilité qu'un événement se produise, indépendamment de tout autre événement

• La probabilité d'un événement, étant donné qu'un autre événement s'est déjà produit

• La probabilité que deux événements se produisent en même temps

• La probabilité qu'un événement ne se produise pas

Answer explanation

Illustration : P(Cancer du poumon | Fumeur) = P(Cancer du poumon et Fumeur) / P(Fumeur)

• P(Cancer du poumon | Fumeur) est la probabilité qu'une personne développe un cancer du poumon sachant qu'elle fume.

• P(Cancer du poumon et Fumeur) est la probabilité conjointe qu'une personne soit fumeuse et développe un cancer du poumon.

P(Fumeur) est la probabilité qu'une personne soit fumeuse.

Deux événements A et B sont indépendants si :

• P(A ∩ B) = P(A)* P(B)

• P(A ∩ B) = P(A)*P(B|A)

• P(A ∩ B) = P(A) + P(B)

• P(B | A) = P(B) + P(A)

Answer explanation

Illustration : P(Maladie cardiaque | Nombre de chaussures) = P(Maladie cardiaque)

• Si P(Maladie cardiaque | Nombre de chaussures) = P(Maladie cardiaque), cela signifie que le nombre de chaussures (A) et le fait de développer une maladie cardiaque (B) sont des événements indépendants.

• L'indépendance signifie que la probabilité de B ne change pas, que A se produise ou non.

Utilisation du théorème de Bayes dans un contexte médical

Supposons qu'un nouveau test de dépistage pour une maladie rare a été développé. Ce test a une sensibilité de 95% (probabilité de tester positivement si la personne a la maladie). La prévalence de la maladie dans la population est de 0.5% (Probabilité de la maladie). Le taux de positivité lié au test est de 0.75% (Probabilité d’un test positif). Quelle est la probabilité qu'une personne testée positivement ait réellement la maladie ?

Answer explanation

Formule du Théorème de Bayes : P(Maladie | Test positif) = P(Test positif | Maladie) × P(Maladie)/ P(Test positif)

Données :

• Sensibilité (P(Test positif | Maladie)) = 95% ou 0,95

• Prévalence de la maladie P(Maladie) = 0,5% ou 0,005

• Taux de positivité du test P(Test positif) = 0.75% ou 0,0075

Calcul de P(Maladie | Test positif) :

• P(Maladie | Test positif) = [0,95 × 0,005] / 0,0075 = 0.63

Quelle est la différence entre une loi de probabilité discrète et une loi de probabilité continue ?

Answer explanation

• Une loi de probabilité discrète s'applique à des variables qui prennent des valeurs distinctes (comme le lancer de dés), tandis qu'une loi de probabilité continue s'applique à des variables qui peuvent prendre une infinité de valeurs dans un intervalle (comme la mesure de la température).

Qu'est-ce que le théorème central limite implique?

• La distribution des moyennes d'échantillon est toujours normale

• La distribution des moyennes d'échantillon tend vers une distribution normale

• La moyenne de l'échantillon est égale à la moyenne de la population

• La variance de l'échantillon diminue avec la taille de l'échantillon

Quelles sont les étapes correctes à suivre lors de la réalisation d'un test d'hypothèse ? (à replacer dans l'ordre)

• Calculer la statistique de test

• Choisir le niveau de signification (alpha)

• Formuler les hypothèses

• Prendre une décision

Answer explanation

1. 1.Formuler les hypothèses : Définir l'hypothèse nulle (H0) et l'hypothèse alternative (H1).

3. 2.Choisir le niveau de signification (alpha) : Déterminer le seuil de risque pour rejeter l'hypothèse nulle.

5. 3.Calculer la statistique de test : Utiliser les données pour calculer la valeur qui sera comparée au seuil critique.

7. 4.Prendre une décision : Rejeter ou ne pas rejeter l'hypothèse nulle en fonction de la comparaison entre la statistique de test et le seuil critique.

Qu'est-ce qu'une erreur de type I dans le contexte des tests d'hypothèses ?

• Accepter à tort l'hypothèse nulle

• Rejeter à tort l'hypothèse nulle

• Accepter à tort l'hypothèse alternative

• Ne pas pouvoir conclure sur l'hypothèse testée

Dans quel cas utiliseriez-vous un test non-paramétrique ?

• Lorsque les données suivent une distribution normale

• Lorsque les échantillons sont de grande taille

• Lorsque les données ne respectent pas les hypothèses des tests paramétriques

• Lorsque les données sont catégorielles

Questions avec applications sur R

Utilisation de la base de données cancer de la librairie survival : contient des données sur les patients atteints de cancer du poumon avancé. Les variables incluent l'âge, le sexe, le statut de performance ECOG, la perte de poids, le temps de survie.

Pour un seuil de 1%, existe-t-il une dépendance significative entre le sexe des patients et leur statut de survie (décès ou non) ?

Answer explanation

# Installation du package et chargement du jeu de données

install.packages("survival")

library(survival)

cancer <- cancer

?cancer

## exploration succincte (structure)

str(cancer)

Test du Chi-carré d'Indépendance (Relation entre deux variables catégorielles)

 

## vérification de la classe des variables d'intérêt

is.factor(cancer$status)

cancer$status <- as.factor(cancer$status)

 

is.factor(cancer$sex)

cancer$sex <- as.factor(cancer$sex)

 

# Création d'un tableau de contingence

tab_contingence <- table(cancer$sex, cancer$status)

 

# Test du chi-carré

test_chi2 <- chisq.test(tab_contingence)

test_chi2

Pour un seuil de 5%, y a-t-il une différence significative de moyenne d'âge des patients survivants et décédés?

Answer explanation

Test t de Student (Relation entre variable catégorielle et variable continue)

# Test t de Student

 t.test(age ~ status, data = cancer)