Analysis I - Übungsstunde 5

Sei D = R, $$x\ \mapsto\ x^n$$ ist streng monoton wachsend falls

Sei $$D=\left[0,\infty\right)$$ , $$x\ \mapsto\ x^{2k}$$ , für $$k\ \ge1$$ , ist streng monton wachsend

Für $$x_0\in D$$ und $$f\ :\ D\ \rightarrow\ R$$ , sind die zwei Aussagen äquivalent?

$$\forall\ \epsilon\ >0,\ \exists\ \delta\ >0\ :\ \forall\ x\ \in\ \left(-\delta\ +x_0\ ,\ \delta\ +\ x_0\right),\ \left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|<\epsilon\$$

und

$$\exists\ \left(a_n\right)_{n\ge1}$$ mit $$a_n\ \in D\ \quad\ \forall\ n$$ wobei $$\lim a_n=x_0\ \Rightarrow\ \lim f\left(a_n\right)=f\left(x_0\right)$$

Wann ist $$f:\ x\ \mapsto\ \lceil x\rceil\$$ stetig?

$$\sum_{\ n=0}^{\infty}\ \left(n+1\right)z^n=?$$

Tipp für Serie 5

Sei $$f:\ D\ \rightarrow\ R$$ monoton. Was sagt den Zwischenwertsatz über $$f$$ ?

Falls $$\lim_{\left\{x\rightarrow\ a^-\right\}}f\left(x\right)=\lim_{\left\{x\rightarrow\ a^+\right\}}f\left(x\right)$$ ist $$f$$ in a stetig?

Falls $$a_{n\ },\ b_n\ge\ 0$$ und $$\sum_{\ }^{ }a_n$$ und $$\sum_{ }^{ }b_n$$ konvergieren dann gilt

$$\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j=0}^na^jb^{\left\{n-j\right\}}=\left(\sum_{\ }^{ }a_n\right)\left(\sum_{\ }^{ }b_m\right)$$