Rovnice s neznámou pod odmocninou

Řešíme rovnici s neznámou pod druhou odmocninou. Co určitě během řešení musíme pokaždé udělat?

(Vyberte všechny správné odpovědi.)

• Odstranit z rovnice zlomky

• Zavést substituci

• Umocnit obě strany rovnice na druhou

• Dosadit předpokládaná řešení rovnice do původního zadání

• Převést všechny členy na jednu stranu rovnice, aby na druhé zůstala pouze 0

Answer explanation

Umocnění obou stran rovnice na druhou je neekvivalentní úprava, může "přidat" do výsledku "kořeny", které ve skutečnosti nejsou řešením původní iracionální rovnice. Proto musíme provést pro všechna řešení (kořeny), která nám vyšla, zkoušku a ověřit, jestli vyhovují původní rovnici, která byla zadána.

Co je důležité dodržet při umocnění rovnice s neznámou pod odmocninou?

• Všechny odmocniny shromáždit na jedné straně rovnice

• Umocnit pouze stranu rovnice, která neobsahuje odmocninu

• Umocnit obě strany rovnice jako celek

• Umocnit pouze stranu rovnice, která obsahuje odmocninu

• Převést všechny nenulové členy rovnice na jednu stranu

Answer explanation

Rovnici umocňujeme na druhou tak, že vždy celou stranu rovnice dáme do závorky, kterou umocníme na druhou (často podle vzorečku, např. jako dvojčlen). Toto není nutné zapisovat, ale vždy je potřeba se tím řídit.

• 16

• -16

• 2

• -4

• rovnice nemá řešení

• -1

• -7

• 1

• 2

• Rovnice nemá řešení

Answer explanation

Z uvedených čísel vyhovuje pouze 1. Pozor, odmocnina je definována pouze pro nezáporná čísla, tudíž se pod ní nemůže objevit číslo se záporným znaménkem (např. dosazení -7 za x nedává smysl, protože by pod odmocninou vyšlo -4).

• Řešením jsou všechna přirozená čísla

• Nekonečně mnoho

• Právě jedno

• Právě dvě

• Rovnice nemá řešení

• Odmocnění celé rovnice

• Umocnění obou stran rovnice člen po členu

• Osamostatnění jediné odmocniny na jedné straně rovnice

• Přesunutí všech členů na levou stranu rovnice

• Vydělení rovnice číslem 2

Během řešení rovnice s neznámou pod odmocninou jsme dospěli ke kvadratické rovnici, jejíž diskriminant je kladný. Kolik řešení bude, mít původní rovnice s neznámou pod odmocninou?

• Právě jedno řešení

• Právě dvě řešení

• Rovnice nebude mít řešení

• Rovnice bude mít nekonečně mnoho řešení

• Z uvedeného zadání nelze rozhodnout

Answer explanation

Kvadratická rovnice sice bude mít dva kořeny (kladný diskriminant), ale my musíme ještě ověřit, jestli tyto kořeny kvadratické rovnice jsou i kořeny původního zadání (iracionální rovnice) - tedy provést zkoužku. A to není možné udělat bez znalosti konkrétního zadání.

• Zadání není dostatečné, nelze rozhodnout

• Právě dvě

• Právě jedno

• Rovnice nebude mít řešení

• Nekonečně mnoho

Answer explanation

Protože je diskriminant kvadratické rovnice záporný, nemá tato kvadratická rovnice řešení a tím pádem ho nebude mít ani původní rovnice iracionální.