Examen final Cálculo II

¿Cómo se calcula una derivada direccional?

• Como el producto de las derivadas parciales de la función

• Como el producto escalar del gradiente de la función y el vector de dirección.

• Como la suma de las derivadas parciales en todas las direcciones.

• Como el producto vectorial del gradiente de la función y el vector de dirección.

Para calcular la derivada direccional respecto a un vector u, éste vector debe ser:

• perpendicular a la gradiente

• no hay restricción

• de magnitud uno

• su producto escalar con la gradiente debe ser distinto de cero

¿Qué es el gradiente de una función f(x,y,z)?

• La suma de las derivadas parciales de f respecto a "x" e "y"

• El vector formado por las derivadas parciales de f respecto a "x" e "y"

• El producto interior de las derivadas parciales de f respecto a "x" e "y" evaluadas en un punto dado

• Es una función que mide la variacion de una variable dejando las otras como constantes

las derivadas mixtas f_xy y f_yx

• son diferentes

• siempre son iguales

• son iguales si
  f_x = f_y

• son iguales en extremos relativos

para hallar los puntos criticos de una función f(x,y,z)

• se debe igualar la gradiente de f(x,y,z) a cero

• se debe usar el criterio de la segunda derivada

• se debe igualar cada componente de la gradiente igual a cero y resolver un sistema de ecuaciones

• se debe evaluar la gradiente donde f(x,y,z) es igual a cero

El criterio de la segunda derivada sirve para analizar si:

• la función es creciente

• hay puntos crIticos

• un punto crítico es extremo absoluto

• un punto critico es extremo relativo

Si el discriminante en el criterio de la segunda derivada
D=f_xx(a,b)f_yy(a,b)-[f_xy(a,b)]^2
es igual a cero

• (a,b) se trata de un mínimo local

• (a,b) se trata de un máximo local

• el criterio no dice nada

• (a,b) no es un punto crítico

Consideremos el discriminante en el criterio de la segunda derivada
D=f_xx(a,b)f_yy(a,b)-[f_xy(a,b)]^2

• si D distinto de cero, hay que analizar el signo de f_xx, si es menor que 0, (a,b) se trata de maximo

• si D distinto de cero, hay que analizar el signo de f_yy, si es menor que 0, (a,b) se trata de mínimo

• si D distinto de cero, hay que analizar el signo de f_xx, si es menor que 0, (a,b) se trata de mínimo

• si D distinto de cero, hay que analizar el signo de f_yy, si es menor que 0, (a,b) se trata de maximo

Un punto silla es un punto:

• donde las derivadas parciales de la funcion no existen

• donde las derivadas parciales son nulas

• donde la derivada parcial respecto a una variable tiene máximo y respecto a otra tiene un mínimo

• donde la función se intersecta con los ejes

Para hallar la integral iterada de una función de dos variables

• No importa el orden de integración mientras se respeten los límites de integración de las variables

• hay que verificar si es de tipo I o tipo II

• No se puede intercambiar el orden de integración

• Se debe de hacer un cambio de variable que transforme los límites