3ο ΚΕΦ (Ι) ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Ισχύει $$\int_α^β\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)dx=\int_α^βf\left(x\right)dx+\int_α^βg\left(x\right)dx$$ .

Ισχύει $$\int_α^β\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)dx=\int_α^βf\left(x\right)dx\cdot\int_α^βg\left(x\right)dx$$ .

Αν α=β τότε $$\int_α^βf\left(x\right)dx=0$$ .

Αν $$\int_α^βf\left(x\right)dx=0$$ τότε κατ' ανάγκη θα είναι $$f\left(x\right)=0$$ για κάθε $$x\in\left[α,β\right]$$ .

Αν $$f\left(x\right)\ge0$$ για κάθε $$x\in\left[α,β\right]$$ τότε $$\int_α^βf\left(x\right)dx\ge0$$ .

Αν $$\int_α^βf\left(x\right)dx\ge0$$ τότε κατ' ανάγκη θα είναι $$f\left(x\right)\ge0$$ για κάθε $$x\in\left[α,β\right].$$

Ισχύει $$\int_{-α}^α\left(x^4+1\right)dx<\int_{-α}^α\left(x^4+x^2+1\right)dx$$ για κάθε $$α>0.$$

Ισχύει $$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln\left(1-ημ^2x\right)dx=2\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln\left(συνx\right)dx$$ .

Ισχύει $$\int_1^e\ln xdx=\int_e^1\ln\left(\frac{1}{t}\right)dt$$ .

Αν $$\int_α^β\ f\left(x\right)dx=0$$ και η f δεν είναι παντού μηδέν στο $$\left[α,β\right]$$ τότε η f παίρνει δύο, τουλάχιστον, ετερόσημες τιμές.