구 테셀레이션과 축구공

구 테셀레이션이란 구면기하학과 테셀레이션을 융합시킨 것이다. 우선 테셀레이션이란 동일한 모양을 이용해 틈이나 포개짐 없이 평면이나 공간을 완전하게 덮는 것을 말하는 것으로 우리말로 ‘쪽매 맞춤’이라고 한다. 구 테셀레이션은 테셀레이션에 구면기하학의 특징을 이용한다. 구 테셀레이션의 선은 정다면체를 구 내부에 넣고 중심에서 빛을 쏘았을 때, 구의 표면에 생기는 정다면체의 그림자를 의미한다. 구 테셀레이션을 그릴 때에는‘쌍대’를 이용하는데, 쌍대란 예를 들어 쉽게 말하자면 정팔면체의 꼭지점의 개수가 6개, 면의 개수가 8개일 때, 구상에서 정팔면체 각각의 삼각형에 중심을 찍어서 이으면 정육면체 모양이 되고 정팔면체의 한 꼭지점이 정육면체의 한 면이 되면서 정팔면체의 꼭지점의 개수가 정육면체의 면의 개수로 바뀌고 정팔면체의 면의 개수가 정육면체의 꼭지점의 개수가 되는 관계를 의미한다.

축구공의 구조는 천연고무, 라텍스 등으로 만들어진 천연고무를 폴리에스터와 면으로 이루어진 내피가 덮고 있다. 이 내피를 오각형 12개, 육각형 20개로 이루어진 패널(바늘땀)이 덮고 있다. 이것이 기본적인 축구공의 구조이다. 사실, 축구 초창기에는 축구공으로 돼지나 소의 오줌보 등이 사용되었고 이 때문에 제대로 된 축구공을 만들기 위해 수학자들의 노력으로 19세기 후반에 축구공 조각의 수가 많을수록 구에 가깝다는 결론이 나왔다. 따라서 이 세상에 존재하는 정다면체는 총 5개이고 그중 정삼각형 20개로 이루어진 가장 면이 많은 정이십면체의 모양이 축구공의 제작에 응용되었다.

기 위해 수학자들의 노력으로 19세기 후반에 축구공 조각의 수가 많을수록 구에 가깝다는 결론이 나왔다. 따라서 이 세상에 존재하는 정다면체는 총 5개이고 그중 정삼각형 20개로 이루어진 가장 면이 많은 정이십면체의 모양이 축구공의 제작에 응용되었다. 정이십면체의 한 면인 삼각형의 각 변을 삼등분하여 꼭짓점을 잘라낸다면 정이십면체의 12개의 꼭짓점에서 12개의 정오각형이 생기고 20개의 정육각형이 생기면서 깎은 정이십면체가 만들어진다. 현재까지 흔히 사용되는 축구공인 준정다각형의 깎은 정이십면체 모양이다.

이러한 축구공이 18세기 스위스 수학자 오일러의 정리에 성립된다. 도형이 정다면체가 되려면 오일러의 다면체 정리 ‘V(꼭짓점)-E(선)+F(면)=2’를 만족해야 한다. 깎은 정이십면체는 꼭짓점이 ‘(3×20)÷5=12’개에서 60개로 늘어나고 모서리의 개수도 ‘(3×20)÷2=30’개에서 90개로 늘어나고 따라서 깎은 정이십면체도 ‘60-90+32=2’로 오일러의 정리가 성립한다.

이렇게 만들어진 축구공의 역사를 간단하게 살펴보면 1970년 멕시코 월드컵의 '텔스타'는 우리가 축구공이라고 흔히 알고 있는 오각형 12개에 육각형 20개의 다각형으로 이루어진 모양(깎은 정이십면체)이다. 2002년 한일월드컵의 피버노바까지 텔스타에서 디자인만 살짝 바꾼 형태로 계속 지속된다.

2006년 독일 월드컵의 '팀 가이스트'는 신소재 개발과 컴퓨터 그래픽으로 구인 축구공에 대한 재도전으로 단 14조각으로 축구공을 만드는 데 성공하였고 이 축구공부터 오일러의 정리가 성립되지 않게 된다.

2010년 남아공 월드컵의 '자블라니'는 12조각으로 축구공을 만들었으나 선수들의 적응 문제로 호평은 받지 못했다. 축구공으로 슛 정확도나 드리블이 떨어지면서 월드컵 경기력 자체를 망쳐버렸다는 평을 받게 되었다.

2010년 남아공 월드컵의 '자블라니'는 몇 조각으로 축구공을 만들었나요?

• 12조각

• 14조각

• 6조각

• 32조각

아르키메데스 다면체는 몇 종류가 있나요?

• 13종류

• 15종류

• 20종류

• 7종류

플라톤 다면체는 모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어져 있습니다. 맞습니까?

• 맞다

• 아니다