ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Έστω f μία συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα [α , β].

Αν η f είναι συνεχής στο [α , β] και f(α) ^. f(β) < 0 ,

τι από τα παρακάτω δεν είναι σίγουρα σωστό;

• η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (α , β).

• η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία ακριβώς λύση στο διάστημα (α , β).

• Σ Ω Σ Τ Ο

• Λ Α Θ Ο Σ

• Ν Α Ι

• Ο Χ Ι

• Σ Ω Σ Τ Ο

• Λ Α Θ Ο Σ

Answer explanation

. . . γιατί αν δε διατηρoύσε πρόσημο σε όλο το διάστημα, τότε

θα υπήρχε ένα τουλάχιστον ζεύγος α , β στο Δ με f(α)^.f(β) < 0.

Τότε όμως, θα ίσχυε το Θ.BOLZANO και η f θα είχε ρίζα, που είναι ΆΤΟΠΟ.

Αν f είναι μία συνάρτηση συνεχής στο διάστημα Δ = [0 , 1]

και η εξίσωση f(x) = 0 έχει λύσεις μόνο τα άκρα 0 και 1,

τότε η f διατηρεί πρόσημο στο εσωτερικό του διαστήματος.

• Σ Ω Σ Τ Ο

• Λ Α Θ Ο Σ

• Σ Ω Σ Τ Ο

• Λ Α Θ Ο Σ

Answer explanation

• Σ Ω Σ Τ Ο

• Λ Α Θ Ο Σ

Answer explanation

Βλέποντας τα δύο σχήματα,

καταλαβαίνουμε ότι μπορεί η f να παίρνει την τιμή π αλλά μπορεί και όχι.

Σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ μπορούμε να είμαστε σίγουροι μόνο για τις ΕΝΔΙΑΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ των τιμών f(α) και f(β).

Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο Δ = [α , β],

τότε η εικόνα του Δ μέσω της f είναι

f(Δ) = [f(α) , f(β)].

• Σ Ω Σ Τ Ο

• Λ Α Θ Ο Σ

Answer explanation

Η εικόνα f(Δ) του διαστήματος Δ

είναι f(Δ) = [f(β) , f(α)].

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και μη σταθερή σε ένα διάστημα Δ,

τότε η εικόνα του Δ μέσω της f είναι επίσης ένα διάστημα.

• Σ Ω Σ Τ Ο

• Λ Α Θ Ο Σ

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ, με εξαίρεση ένα σημείο του x_o ,

τότε η εικόνα του Δ μέσω της f είναι σίγουρα ένωση διαστημάτων.

• Σ Ω Σ Τ Ο

• Λ Α Θ Ο Σ

Answer explanation

Στα δύο σχήματα, η f παρουσιάζει ΑΣΥΝΕΧΕΙΑ σε ένα σημείο x_o.

Στο αριστερό σχήμα, το f(Δ) είναι ένωση διαστημάτων ενώ στο δεξί σχήμα, το f(Δ) είναι ένα διάστημα.

Άρα δε μπορούμε να είμαστε σίγουροι αν το f(Δ) θα είναι ένα διάστημα ή ένωση διαστημάτων.