ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Έστω f μία συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα [α , β].

Αν η f είναι συνεχής στο [α , β] και f(α) ^. f(β) < 0 ,

τι από τα παρακάτω δεν είναι σίγουρα σωστό;

Έστω f μία συνάρτηση ορισμένη σε ανοικτό διάστημα (α , β).

Αν η f είναι συνεχής στο (α , β) και τα όρια $$\lim_{x\rightarrowα^+}f\left(x\right)$$ , $$\lim_{x\rightarrowβ^-}f\left(x\right)$$ είναι ετερόσημοι αριθμοί

τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x_o στο διάστημα (α , β) με f(x_o) = 0.

Έστω f μία συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα [α , β].

Είναι ΑΛΗΘΕΙΑ ότι

αν f(α) ^. f(β) $$\le$$ 0 και η f είναι συνεχής στο [α , β] ,

τότε υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της f στο κλειστό διάστημα [α , β];

Έστω f συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

Αν f(x) $$\ne$$ 0, για κάθε x $$\in$$ Δ, τότε η f διατηρεί πρόσημο σε όλο το διάστημα Δ.

Αν f είναι μία συνάρτηση συνεχής στο διάστημα Δ = [-1 , 1] με f(0) = -1

και η εξίσωση f(x) = 0 έχει λύσεις μόνο τα άκρα -1 και 1,

τότε η f(x) $$\le$$ 0, για κάθε x $$\in$$ [-1 , 1].

Έστω f μία συνάρτηση που είναι συνεχής στο [α , β].

Αν f(α) = 2 και f(β) = 3,

τότε υπάρχει σίγουρα ένα τουλάχιστον x_o $$\in$$ (α , β) με f(x_o) = 3.

Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο Δ = [α , β],

τότε η εικόνα του Δ μέσω της f είναι

f(Δ) = [f(α) , f(β)].

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και μη σταθερή σε ένα διάστημα Δ,

τότε η εικόνα του Δ μέσω της f είναι επίσης ένα διάστημα.

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ, με εξαίρεση ένα σημείο του x_o ,

τότε η εικόνα του Δ μέσω της f είναι σίγουρα ένωση διαστημάτων.