Homogeneous Differential Equations

Apa bentuk umum dari persamaan diferensial linear homogen orde kedua?

• y'' + y' + c = 0

• a(x)y'' + b(x)y' + c(x)y = 0

• y'' + b(x)y' + c(x)y'' = 0

• a(x)y'' + b(x)y' + y = 0

Selesaikan persamaan homogen: y'' - 5y' + 6y = 0.

• y(t) = C1 * e^(2t) + C2 * e^(3t)

• y(t) = C1 * e^(0) + C2 * e^(2t)

• y(t) = C1 * e^(3t) + C2 * e^(5t)

• y(t) = C1 * e^(t) + C2 * e^(4t)

Tentukan persamaan karakteristik untuk persamaan diferensial: y'' + 4y = 0.

• r^2 - 4 = 0

• r^2 + 4 = 0

• y'' + 4y' = 0

• r^2 + 2 = 0

Apa akar dari persamaan karakteristik untuk y'' + 2y' + y = 0?

• r = -1 (akar ganda)

• r = -2 (akar tunggal)

• r = 1 (akar ganda)

• r = 0 (akar tunggal)

Jelaskan signifikansi Wronskian dalam konteks persamaan homogen.

• Wronskian membantu menentukan ketergantungan linier solusi untuk persamaan homogen.

• Wronskian menunjukkan jumlah solusi untuk persamaan diferensial.

• Wronskian mengukur konvergensi solusi deret.

• Wronskian digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-homogen.

Temukan solusi umum untuk persamaan: y'' + 3y' + 2y = 0.

• y(t) = C1 * cos(t) + C2 * sin(t)

• y(t) = C1 * e^(t) + C2 * e^(2t)

• y(t) = C1 * e^(-3t) + C2 * e^(t)

• y(t) = C1 * e^(-t) + C2 * e^(-2t)

Apa metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial homogen orde kedua dengan koefisien konstan?

• Integrasikan persamaan secara langsung untuk menemukan solusi.

• Gunakan metode numerik untuk mendekati solusi.

• Gunakan transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan.

• Gunakan persamaan karakteristik untuk menemukan akar dan membangun solusi umum.

Identifikasi jenis akar untuk persamaan karakteristik: r^2 + 2r + 5 = 0.

• Akar real dan berbeda

• Akar imajiner

• Akar kompleks konjugat

• Akar real dan berulang

Bagaimana solusi berubah jika akar dari persamaan karakteristik adalah kompleks?

• Solusi menjadi nilai konstan.

• Solusi mencakup istilah osilasi yang melibatkan fungsi sinus dan kosinus.

• Solusi tidak memiliki akar real.

• Solusi disederhanakan menjadi persamaan linier.

Manakah persamaan berikut yang merupakan persamaan Euler-Cauchy

• y'' + ay' + by =0

• x^3 y'' + ax^2 y' + bxy =0

• x^2 y'' + ax y' + by =0