Zadania z ciągów matematycznych

Ciąg arytmetyczny (an) jest określony wzorem an = 2n + 1. Różnica tego ciągu jest równa:

• 1

• 2

• 3

• 4

Answer explanation

Różnica ciągu arytmetycznego to stała wartość, która jest różnicą między kolejnymi wyrazami. Wzór an = 2n + 1 ma różnicę równą 2, ponieważ dla n+1 mamy a(n+1) - an = (2(n+1) + 1) - (2n + 1) = 2.

Ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem an = 3 * 2^n. Iloraz tego ciągu jest równy:

• 2

• 3

• 4

• 6

Answer explanation

Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy jako stosunek kolejnych wyrazów: q = a(n+1) / a(n). Dla an = 3 * 2^n, mamy q = (3 * 2^(n+1)) / (3 * 2^n) = 2. Jednak iloraz to stała wartość 3, co jest błędem. Poprawnie: q = 2.

Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) o wyrazie ogólnym an = n + 1 jest równa:

• 55

• 65

• 75

• 85

Answer explanation

Ciąg arytmetyczny ma wyraz ogólny an = n + 1. Suma dziesięciu początkowych wyrazów to S10 = 10/2 * (a1 + a10) = 5 * (2 + 11) = 5 * 13 = 65. Jednakże, poprawna suma to 55, ponieważ a1 = 2, a10 = 11, a więc S10 = 5 * 13 = 65.

Ciąg (an) jest określony wzorem an = n^2 - 1. Liczba 80 jest wyrazem tego ciągu o numerze:

• 8

• 9

• 10

• 11

Answer explanation

Aby znaleźć numer wyrazu ciągu, podstawiamy 80 do wzoru: 80 = n^2 - 1. Rozwiązując, mamy n^2 = 81, więc n = 9. Zatem liczba 80 jest wyrazem ciągu o numerze 9.

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an) jest równa 21. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 3. Iloraz tego ciągu jest równy:

• 2

• 3

• 4

• 5

Answer explanation

Ciąg geometryczny ma pierwszy wyraz a1 = 3 i iloraz q. Suma trzech wyrazów to a1 + a1*q + a1*q^2 = 21. Podstawiając a1, otrzymujemy 3(1 + q + q^2) = 21, co prowadzi do 1 + q + q^2 = 7. Rozwiązując, q = 4.

Dany jest ciąg arytmetyczny (an) o wyrazie ogólnym an = 2n - 1. Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:

• 400

• 420

• 440

• 460

Answer explanation

Suma n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego oblicza się jako S_n = n/2 * (a_1 + a_n). Dla n=20, a_1=1, a_20=39, więc S_20 = 20/2 * (1 + 39) = 10 * 40 = 400. Poprawna suma to 440, ponieważ a_n = 2n - 1.

Dany jest ciąg geometryczny (an) o pierwszym wyrazie a1 = 2 i ilorazie q = 3. Piąty wyraz tego ciągu jest równy:

• 162

• 164

• 166

• 168

Answer explanation

Piąty wyraz ciągu geometrycznego obliczamy jako a5 = a1 * q^(n-1). Tutaj a1 = 2, q = 3, n = 5. Zatem a5 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 81 = 162. Odpowiedź to 162.

Ciąg (an) jest określony wzorem an = 3n + 2. Który wyraz tego ciągu jest równy 20?

• 5

• 6

• 7

• 8

Answer explanation

Aby znaleźć wyraz równy 20, rozwiązujemy równanie 3n + 2 = 20. Odejmujemy 2, co daje 3n = 18, a następnie dzielimy przez 3, co daje n = 6. Zatem 6-ty wyraz ciągu to 20.

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) jest określona wzorem Sn = n^2 + 2n. Różnica tego ciągu jest równa:

• 1

• 2

• 3

• 4

Answer explanation

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego to Sn = n^2 + 2n. Różnica d ciągu arytmetycznego to d = S(n) - S(n-1). Obliczając, otrzymujemy d = 2, co oznacza, że różnica tego ciągu wynosi 2.

Ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem an = 2^n. Iloraz tego ciągu jest równy:

• 1

• 2

• 3

• 4

Answer explanation

Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy jako stosunek kolejnych wyrazów: q = a(n+1)/a(n). Dla an = 2^n, mamy q = 2^(n+1)/2^n = 2. Zatem iloraz tego ciągu wynosi 2.