SIMULADO OBMEP 1ªFASE NIVEL 2

Quantos quadrados têm seus lados sobre as linhas

do quadriculado, mas não contêm o quadradinho cinza?

• 26

• 24

• 15

• 19

• 18

Answer explanation

Solução: No total são 16 quadrados de lado 1, 9 quadrados de lado 2, 4 quadrados de lado 3 e

1 quadrado de lado 4. Desse total, 4 quadrados contêm o quadradinho cinza: um de lado 4, um

de lado 3, um de lado 2 e o próprio quadradinho.

Temos, então, que a quantidade total procurada é:

(16 + 9 + 4 + 1) – (1 + 1 + 1 + 1) = 30 – 4 = 26.

Na adição a seguir, as letras A, B, C e D

representam algarismos diferentes de zero. Qual é o

valor de A + B + C + D?

• 21

• 26

• 16

• 31

• 11

Answer explanation

Solução: Como o algarismo das unidades de 2331 é 1, segue que A + B + C + D tem 1 como seu algarismo das

unidades. Por outro lado, o algarismo dos milhares de 2331 é 2, o que mostra que “vai 2” quando se efetua a soma

A + B + C + D na casa das centenas. Logo A + B + C + D = 21.

Outra solução: Seja x = A + B + C + D. A resultado da conta armada pode ser escrito como 100x + 10x + x = 2331,

ou seja, 111x = 2331. Logo x = = 21.

Ladrilhos quadrados com 1 metro de lado, como o

da figura, foram utilizados para fazer um piso retangular. Quando se juntam quatro desses ladrilhos com um vértice em comum, sem sobreposição, forma-se um quadrado preto central. Se o piso mede 20 metros por 30 metros, qual é o número de quadrados pretos formados nesse piso?

• 551

• 600

• 580

• 504

• 560

Answer explanation

Solução: Como o ladrilho é quadrado de lado 1 m, precisamos de

20 x 30 = 600 ladrilhos para cobrir o piso.

Observe inicialmente a situação mais simples com apenas 6 ladrilhos:

Temos 2 quadrados pretos, ou seja, só os encontros de quatro vértices

formam os quadrados pretos que são (2 – 1) x ( 3 – 1) = 2. Situação

análoga vale para qualquer número de linhas e colunas.

Para o nosso problema com 20 x 30 ladrilhos, temos

(20 – 1) x (30 – 1) = 551 quadrados pretos.

Outra solução: Podemos pensar que 20 x 30 ladrilhos determinam um quadriculado com 21 x 31 = 651 pontos.

Devemos descontar todos os pontos do bordo desse quadriculado, pois eles não são vértices de 4 ladrilhos

necessários para formar quadrados pretos. Os pontos do bordo totalizam 2 x 21 + 2 x 29 = 100 pontos. Logo, são

formados 651 – 100 = 551 quadrados pretos.

Pedro colocou os números 1, 2, 3, 4 e 5 nas casas

do tabuleiro abaixo, um número em cada casa, sem

repetir números nas linhas e nas colunas. Em seguida,

ele somou os oito números colocados na primeira e na

última coluna. Qual dos números abaixo não pode ser

um resultado para a soma que Pedro fez?

• 20

• 23

• 26

• 25

• 21

Quatro blocos retangulares de madeira idênticos

são colocados em uma mesa e no chão, de acordo com

a figura. Qual é a medida, em centímetros, da altura da

mesa?

• 62

• 60

• 58

• 64

• 56

Answer explanation

Então, (altura da mesa) = (x + 54 – y) = (y + 66 – x)

Então, 2 × (altura da mesa) = x + 54 – y + y + 66 – x = 54 + 66 = 120 cm.

Logo, (altura da mesa) = 120 ÷ 2 = 60 cm.

O trenzinho da OBMEP tem 30 metros de

comprimento e anda com velocidade constante. Ele

demora um minuto para passar completamente pela

entrada de um túnel e, depois que passou, dez minutos

para começar a sair do túnel. Qual é o comprimento do túnel?

• 330 metros

• 390 metros

• 270 metros

• 360 metros

• 300 metros

Answer explanation

Solução: Como o trem gasta 1 minuto para passar pela entrada do túnel, então a cada minuto ele percorre 30

metros. Após este 1 minuto, o trem ainda gasta 10 minutos para chegar começar a sair do túnel. Desde o momento

em que ele começa a entrar, até o momento em que ele começa a sair, o trem gasta 1 + 10 = 11 minutos para

atravessar o túnel todo.

Logo, o túnel tem 11 × 30 = 330 metros de comprimento.

Ana, Bia e Carla visitaram a floricultura de seu bairro. O vendedor separou as 5 flores mostradas na

figura e disse que iria presentear cada uma com uma dessas flores. Carla escutou a seguinte conversa entre Bia e Ana:

— Bia disse: “Oi Ana, eu e Carla sabemos a cor de cada uma das flores que vamos ganhar, mas nem eu nem ela

sabemos as quantidades de pétalas das flores que cada uma de nós irá ganhar”.

— Ana disse: “Eu sei a quantidade de pétalas da flor que vou ganhar, mas não sei a cor”.

A partir dessa conversa, Carla descobriu a flor que Ana vai ganhar. Qual é essa flor?

• 
• 
• 
• 
• 

Answer explanation

Temos cinco flores, que podem ter três, quatro, cinco ou seis pétalas, que podem ser da cor laranja (as

quais chamaremos de flores laranjas) ou roxo (as quais chamaremos de flores roxas).

Bia diz que ela e Carla sabem as cores das flores que ganharão, mas não sabem quantas pétalas elas têm. Em

princípio as duas flores podem ser: duas flores laranjas, duas flores roxas, uma flor laranja e uma flor roxa.

Ana responde que sabe quantas pétalas tem sua flor, mas não sabe a cor. Isso indica que a flor de Ana tem três

pétalas, pois se tivesse quatro, cinco ou seis pétalas ela saberia exatamente que flor iria ganhar.

A partir dessa conversa Carla descobre que flor vai ganhar. Note que se as cores das flores de Bia e Carla fossem

laranjas seria impossível determinar qual flor Ana iria ganhar. Por exemplo, elas poderiam ter recebido as flores de

quatro e cinco pétalas. O mesmo acontece se as flores fossem uma laranja e uma roxa. Por exemplo, elas poderiam

ter recebido uma flor de cinco pétalas (laranja) e uma de seis pétalas (roxa). Como Carla foi capaz de deduzir a cor

da flor que Ana irá ganhar, concluímos que Bia e Carla irão ganhar duas flores roxas, o que inclui uma flor de três

pétalas, necessariamente. A conclusão é que Ana ganhará uma flor laranja de três pétalas.

Uma competição de matemática consiste de uma

prova com três problemas. Cada aluno pode obter

nota 0, 1 ou 2 em cada problema. Após a correção das

provas, constatou-se que não existiam dois alunos com

notas iguais nos mesmos dois problemas. Qual é o

número máximo de alunos que podem ter participado da competição?

• 8

• 12

• 6

• 16

• 9

Answer explanation

Solução: Para os primeiros dois problemas, temos 3 × 3 = 9 escolhas possíveis de notas sem repetir um par de

pontuações neles. Daí, se tivermos mais do que 9 alunos, pelo menos 2 deles terão as mesmas notas nos dois

primeiros problemas.

Na figura observamos três caminhos A, B e C, destacados em vermelho. Eles ligam o topo de uma pirâmide regular de base quadrada a um vértice em sua base, passando por arestas e trechos paralelos à base.

Se a distância percorrida no caminho A é a, no caminho B é b e no caminho C é c, qual das seguintes afirmações é verdadeira?

• a = b = c

• c < b < a

• a < b < c

• a < c < b

• c < a < b

Answer explanation

Nos três caminhos, os segmentos ao longo das arestas laterais da pirâmide têm, no total, comprimento

igual ao de uma aresta lateral. Representando por x o comprimento dos segmentos paralelos à base mais próximos

aos vértices e por y o comprimento dos mais distantes, temos: a = x + y + aresta lateral da pirâmide

b = 2y + aresta lateral da pirâmide

c = 2x + aresta lateral da pirâmide

Como x < y, temos 2x < x + y < 2y e, portanto, c < a < b.

Jessé tem três dados com faces numeradas de 1 a

6. Nesses dados, a soma dos números em faces opostas

é sempre 7. Ele empilhou os dados de tal forma que os

números em cada par de faces em contato somam 5 e o

número 1 ficou visível, como indicado na figura. Qual é o

número que ficou na face superior da pilha?

• 4

• 3

• 6

• 2

• 5

Answer explanation

Solução: A soma de faces opostas é sempre 7. Assim, se somarmos a face inferior da pilha

(em contato com o chão) com sua oposta, as duas faces opostas (inferior e superior) do dado

intermediário e a face superior da pilha ecom sua face oposta temos 7 + 7 + 7 = 21. Mas a soma

de cada par de faces em contato é 5, assim, a soma dessas quatro faces em contato entre si é 5 +

5 = 10, fazendo com que a soma da face inferior da pilha com a face superior da pilha seja 11. As

únicas possibilidades são: face inferior 5 e face superior 6 ou face inferior 6 e face superior 5. Mas

como estamos vendo o 1 no dado mais baixo, do lado oposto está o 6 e concluímos que na face

inferior só pode estar o 5. Finalmente, a face superior é o número 6.