El signo de $$f=\vec F\cdot \vec T$$ depende del ángulo $$\theta$$ entre $$\vec F$$ y $$\vec T$$ . ¿Cuál afirmación es correcta?

Si $$\vec F$$ es perpendicular a la curva, entonces $$f=0$$ .

Si $$\theta=\pi/2$$ , entonces $$f>0$$ .

Si $$\theta=0$$ , entonces $$f=0$$ .

Para todo $$\theta\in[0,\pi]$$ , $$f

El elemento diferencial de posición a lo largo de la curva satisface $$d\vec r=\vec r$$ . ¿Cuál relación conecta este elemento con el vector tangente unitario $$\vec T$$ y la longitud de arco?

$$d\vec r=\vec T\, ds$$ con $$ds=|\vec r$$

$$d\vec r=\vec T\, dt$$ con $$ds=dt$$

$$d\vec r=|\vec T|\, ds$$ con $$ds=|\vec r$$

$$d\vec r=\vec n\, ds$$ con $$ds=|\vec r$$

Si se invierte la orientación de la curva C, ¿qué relación correcta se cumple para la integral de línea de un campo vectorial F a lo largo de C?

∫_{−C} F·dr = − ∫_C F·dr

∫_{−C} F·dr = 2 ∫_C F·dr

Si C es suave a trozos C = C1 ∪ … ∪ Ck, con cada Cj suave, ¿cómo se calcula ∫_C F·T ds según la propiedad de aditividad?

Es la suma de las integrales en cada tramo

Es el producto de las integrales en cada tramo

Es la integral sobre el primer tramo únicamente

Al evaluar el campo F(x,y) sobre la curva C2 se obtiene F(r(t)) = (−√2/2 sen t, √2/2 cos t). ¿Cuál es el producto punto F(r(t)) · ṙ(t) que aparece en la integral de línea?

−√2 sen t · (−√2 sen t) + √2 cos t · (√2 cos t) = $$sen^2 t$$ + $$cos^2 t$$

−(√2/2) sen t − (√2/2) cos t

Sea C una curva cerrada que es la frontera de una región, formada por C = C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4, donde C4 es el segmento dirigido desde (0,2) hasta (2,2). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta según la construcción?

C es cerrada al unir los arcos y segmentos indicados

C es abierta porque C4 no vuelve al punto inicial

C4 es un arco circular centrado en el origen

En el tramo C*, que es una elipse cerrada parametrizada por r(t) = ⟨√2 cos t, √2 sen t⟩ con t ∈ [0, 2π], ¿cuál es r′(t)?

⟨−√2 sen t, √2 cos t⟩

⟨−√2 cos t, −√2 sen t⟩

Según la observación final, ¿qué afirmación describe mejor la relación entre que C* sea cerrada y el valor de la circulación del campo F a lo largo de C*?

Aunque C* es cerrada, la circulación de F a lo largo de C* puede ser distinta de cero.

Toda curva cerrada tiene circulación cero para cualquier campo.

Una curva cerrada siempre produce circulación positiva.

Si la curva es cerrada, la circulación es indefinida.

Se considera el campo vectorial F(x,y,z) = ⟨xz^{−2}, z, y⟩ y la curva C1 dada por $$4y = x^2$$ y $$z = y$$ , orientada desde (2,1,1) hasta (4,4,4). ¿Qué afirmación describe correctamente la orientación de −C1?

Misma trayectoria que C1 pero de (4,4,4) a (2,1,1)

Trayectoria distinta en el espacio que conecta los mismos puntos

Una curva cerrada que inicia y termina en (2,1,1)

Una curva en el plano xy con z = 0

Usando la propiedad de cambio de signo al invertir la orientación, ¿cuál es el valor de ∫_{−C1} F · dr?

Depende de la elección de parametrización y no es determinable

Para verificar el resultado en −C1, se usa la parametrización $$r(t) = \langle−t, t^2/4, t\rangle$$ con t ∈ [−4,−2]. ¿Cuál es el papel de los límites de integración en esta verificación?

Aseguran que el recorrido vaya de (4,4,4) a (2,1,1) siguiendo la misma curva

Cambian el valor de la integral sin afectar la orientación

Hacen que la integral valga cero por simetría

En el Ejemplo 4, se pide calcular ∮_C (z cos α + y cos β − x cos γ) ds. El campo vectorial asociado F(x,y,z) equivalente para usar la fórmula de trabajo F(r(t))·r'(t) es:

F(x,y,z) = ⟨cos α, cos β, cos γ⟩

Según la interpretación física presentada, ¿cómo se define el trabajo realizado por un campo de fuerzas F sobre una partícula que se desplaza a lo largo de una trayectoria C?

Como la integral de línea W = ∫_C F · T ds.

Como la integral doble de F sobre la región D.

Como el producto escalar F · r entre los puntos inicial y final.

Como la derivada temporal de la energía cinética.

Las componentes del campo F(x,y) son polinómicas y las curvas consideradas son suaves. ¿Qué conclusión se extrae sobre las integrales de línea de trabajo en el ejemplo?

Existen para todas las trayectorias listadas.

No existen para ninguna trayectoria.

Existen solo para curvas cerradas.

Existen únicamente para el segmento de recta.

En el inciso c), la curva es suave a trozos: $$C3=C3^{(1)}∪C3^{(2)}$$ con $$C3^{(1)}: r⃗ (t)=⟨0,−t⟩, t∈[−4,0]$$ y $$C3^{(2)}: r⃗ (t)=⟨t,0⟩, t∈[0,2]$$ . Para , ¿cuál es ?

⟨t,0⟩ porque F=⟨−y,x⟩ y x=0

⟨t,0⟩ con t sustituido por y

Integral de línea de un campo vectorial: Definición y Notación

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Sea C con parametrización suave r= r(t), t∈[a,b], y sea F un campo vectorial continuo. ¿Cuál es la forma correcta para calcular la integral de línea de la componente tangencial usando la parametrización?

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Integral de línea de un campo vectorial: Definición y Notación

Sea C con parametrización suave r= r(t), t∈[a,b], y sea F un campo vectorial continuo. ¿Cuál es la forma correcta para calcular la integral de línea de la componente tangencial usando la parametrización?

En el desarrollo que muestra el paso de ∫_C f ds a una integral respecto a t, ¿qué operación entre vectores aparece explícitamente en el integrando?

Si se invierte la orientación de la curva C, ¿qué relación correcta se cumple para la integral de línea de un campo vectorial F a lo largo de C?

Cuando la curva C es cerrada, ¿cómo se denomina la integral de línea ∫_C F·dr y cuál es la notación habitual que enfatiza que la curva es cerrada?

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