Font size
WorksheetsΕλεγχος γνώσεων Θεωρημα Bolzano
Total questions: 15
Worksheet time: 9mins
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και ισχύει f(α)f(β) > 0, τότε είναι πάντοτε σωστή η παρακάτω πρόταση:
f(x) μεγαλύτερη ή ίση του 0 για κάθε x που ανήκει στο [α, β].
δεν υπάρχει ξ που να ανήκει στο (α, β) ώστε f(ξ) = 0.
η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [α, β].
καμία από τις προηγούμενες προτάσεις δεν είναι πάντοτε σωστή.
Αν f είναι συνεχής στο [α, β] με f(α) μικρότερο του μηδενός και υπάρχει ξ που ανήκει στο (α, β) ώστε f(ξ) = 0, τότε κατ’ ανάγκη f(β) μεγαλύτερο του μηδενός.
δεν υπάρχει ξ που να ανήκει στο (α, β) ώστε f(ξ) = 0.
η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [α, β].
καμία από τις προηγούμενες προτάσεις δεν είναι πάντοτε σωστή.
Έστω μια συναρτηση f ορισμένη στο [α,β]
Ποιές είναι οι δύο προυποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano ;
a)H f συνεχής [α,β] και
β)f(α)f(β)>0
a)H f συνεχής [α,β] και
β)f(α)f(β)<0
a)H f συνεχής [α,β] και
β)f(α)f(β)=0
Έστω μια συναρτηση f ορισμέμη στο [α,β]
και
a)H f συνεχής [α,β] και
β)f(α)f(β)<0
Τοτε
Υπάρχει τουλάχιστον ενα x ∈ (α,β) τέτοιο ώστε f(x)=0
Υπάρχει μοναδικό ενα x ∈ (α,β) τέτοιο ώστε f(x)=0
Δεν υπάρχει κανένα ενα x ∈ (α,β) τέτοιο ώστε f(x)=0
Γεωμετρικά το θεώρημα Bolzano
Υπάρχει τουλάχιστον ενα σημείο Μ(x,f(x)) με x ∈ (α,β) στο οποίο η γραφική παρασταση της f τέμνει τον άξονα x'x .
Υπάρχει μοναδικό ενα σημείο Μ(x,f(x)) με x ∈ (α,β) στο οποίο η γραφική παρασταση της f τέμνει τον άξονα x'x .
Δεν υπάρχει σημείο Μ(x,f(x)) με x ∈ (α,β) στο οποίο η γραφική παρασταση της f τέμνει τον άξονα x'x .
Αν δηλαδή μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε διάστημα [α, β] και υπάρχει x0 ∈ (α, β), ώστε f(x0) = 0, δεν έπεται ότι η f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και f(α)f(β) < 0.
Σωστό
Λάθος
Αν ισχύει ότι f(α)f(β) < 0 αλλά η f είναι ασυνεχής, τότε ξέρουμε η f(x) = 0 έχει λύση
Σωστό
Λάθος
Αν η f είναι συνεχής αλλά ισχύει ότι f(α)f(β) > 0, τότε ξέρουμε η f(x) = 0 έχει λύση
Σωστό
Λάθος
Το θεώρημα Bolzano εξασφαλίζει την ύπαρξη μίας τουλάχιστον ρίζας της f(x) = 0 σε διάστημα (α, β), είναι όμως δυνατόν να υπάρχουν και περισσότερες.
Σωστό
Λάθος
Με το θεώρημα Bolzano δεν μπορούμε να εντοπίσουμε ούτε τη ρίζα μιας εξίσωσης αλλά ούτε το πλήθος των λύσεων, απλά διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν. Γι’ αυτό άλλωστε ανήκει και στην κατηγορία των θεωρημάτων ύπαρξης .
Σωστό
Λάθος
Έστω μια συνάρτηση f για την οποία εφαρμόζεται το θεώρημα Βolzano στο [α, β].
Αν η f είναι γνησίως μονότονη στο [α, β], τότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία μόνο ρίζα στο (α, β).
Σωστό
Λάθος
Έστω μία συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν:
η f είναι συνεχής στο [α, β] και, επιπλέον, ισχύει
f(α) f(β) < 0,
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον x ∈ (α,β) τετοιο ώστε (a)
Έστω μία συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν:
η f είναι συνεχής στο [α, β] και, επιπλέον, ισχύει (a)
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x0 ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε f(x0) = 0
Έστω μία συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν:
η f είναι.......... στο .......... και, επιπλέον, ισχύει
f(α) f(β) < 0,
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x0 ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε f(x0) = 0
(a)
Πόσες ρίζες εχει η εξίσωση ;
Τουλάχιστον 1
3 ρίζες
2 ρίζες
καμία ρίζα
