WorksheetsExphys2_Quiz9
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Worksheet time: 6mins
In einem endlich hohen Kasten zwischen x = 0 und x = a (Potential V0 außerhalb des Kastens)
ist die Schrödingergleichung ℏ22m(E−V(x))ψ(x) + ψ′′(x)=0
für x < 0, 0 ≤ x ≤ a und x > a separat zu lösen
ergeben sich als Lösung stehende Wellen innerhalb und außerhalb des Kastens, wobei die Amplitude der Welle außerhalb kleiner ist
ist die Wellenfunktion außerhalb des Kastens überall Null
ist die Wellenfunktion außerhalb des Kastens eine reelle Exponentialfunktion
entspricht die Schrödingergleichung außerhalb des Kastens der Schwingungs-DGL
Die Lösung der Schrödingergleichung im Inneren eines endlich hohen Kastens zwischen x=0 und x=a
ist dieselbe wie für den unendlich hohen Kasten
ist mit demselben Ansatz wie für den unendlich hohen Kasten zu erhalten
ist eine stehende Welle mit derselben Wellenlänge wie im unendlich hohen Kasten λn=n2a
ist eine stehende Welle mit derselben Amplitude wie im unendlich hohen Kasten
führt aufgrund der Randbedingungen zur Quantenzahl n des Zustands eines Teilchens im Kasten
Die Lösung der Schrödingergleichung eines endlich hohen Kastens zwischen x=0 und x=a
muss bei x = 0 und x = a stetig differenzierbar sein
ist für x < 0 eine Exponential-Funktion mit negativem Exponenten
ist für x > a eine Exponential-Funktion mit negativem Exponenten
ist außerhalb des Kastens charakterisiert durch die Abklinglänge l mit l1=q= ℏ22m(V0−E)
hat für E > V0 nur Sinus- oder Cosinusfunktionen als Lösung
Tunneleffekt
ein Teilchen kann eine Potentialbarriere von endlicher Höhe auch dann überwinden, wenn seine Energie geringer als die „Höhe“ der Barriere ist
Die Tunnelwahrscheinlichkeit ergibt sich aus dem Quotienten der Quadrate der Wellenfunktionen hinter und vor der Barriere
Die Tunnelwahrscheinlichkeit nimmt exponentiell mit der Dicke der Barriere ab
Die Tunnelwahrscheinlichkeit nimmt mit der Masse des Teilchens zu
Das Teilchen hat in der Barriere die Aufenthaltswahrscheinlichkeit Null
Ein Wasserstoffatom
besteht aus 1 Positron und 1 Elektron
ist ein 3-dimensionaler Kasten mit V(r)=−4πε0e2r1 (Coulombpotential)
hat eine kugelsymmetrische Wellenfunktion mit den Kugelkoordinaten (r, φ, z)
hat aufgrund der Dreidimensionalität 3 Quantenzahlen (qz): Haupt-qz n, Bahndrehimpuls-qz l und magnetische Qz ml
hat zusätzlich die Spinquantenzahl ms, die nur die beiden Werte +1 und -1 annehmen kann
Energien im Wasserstoffatom
Die Energien im Wasserstoffatom nehmen quadratisch mit der Hauptquantenzahl n zu
Die Energien im Wasserstoffatom nehmen mit der Hauptquantenzahl n zu (∝−n1)
Die Energieniveaus liegen für kleine n näher zusammen als für große n
Die Rydberg-Energie -13,6 eV entspricht der Energie auf dem ersten Energieniveau (n=1)
Energien im Wasserstoffatom
Die Energie im Wasserstoffatom wird in erster Näherung nur von der Drehimpulsquantenzahl l bestimmt
Aufgrund der Wechselwirkung von Bahndrehimpuls und Spindrehimpuls (d.h. magnetisches Moment) der Elektronen kommt es zu einer Feinstruktur im optischen Spektrum
Aufgrund der Wechselwirkung von Bahndrehimpuls des Kerns und Spindrehimpuls der Elektronen kommt es zu einer Hyperfeinaufspaltung der Energiezustände
Aufgrund des Spins der Elektronen und des Protons und dem damit verbundenen magnetischen Moment haben Zustände mit unterschiedlichem l, ml und ms nicht die exakt gleichen Energien
Bei Übergängen in das Niveau mit Energiequantenzahl n=2 (Balmer-Serie) liegen die Emissionslinien im sichtbaren Bereich
Drehimpulsquantenzahl und magnetische Quantenzahl
Alle möglichen l und ml für ein n aufaddiert ergibt 2n2 Zustände
Auf einem Energieniveau mit Hauptquantenzahl n können sich gleichzeitig 2n2 Elektronen aufhalten
l kann die Werte -n, n+1, …, 0, 1, …, n annehmen
ml kann 2l+1 Werte annehmen und erklärt, warum es nur 1 s-Orbital (mit l=0), aber 3 p-Orbitale mit l = 1) gibt
l bestimmt den Betrag des Drehimpulses und ml die Richtung bzw. z-Komponente
