Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα σύνολο της μορφής $$\left(a,\ x_0\right)\cup\left(x_0,\ \text{β}\right)$$ και $$\ell\$$ ένας πραγματικός αριθμός. Τότε ισχύει η ισοδυναμία: $$\lim_{x\rightarrow\ x_0}f\left(x\right)=\ell\ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{x\rightarrow\ x_0}\left(f\left(x\right)-\ell\ \right)=0$$ .

Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο $$x_0$$ και . $$\lim_{x\rightarrow\ x_0}\left|f\left(x\right)\right|=0\ τότε\ \lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=0$$

$$Αν\ \lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)>0\ τότε\ f\left(x\right)>0\ κοντά\ στο\ x_0$$

$$Αν\ \lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)<0\ τότε\ f\left(x\right)<0\ κοντά\ στο\ x_0$$

Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο $$x_0$$ και ισχύει $$f\left(x\right)\le\ g\left(x\right)$$ κοντά στο $$x_0$$
$$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)\le\ \lim_{x\rightarrow\ x_0}g\left(x\right)$$

Αν υπάρχει το $$\lim_{x\rightarrow\ x_0}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)$$ , τότε κατ’ ανάγκη υπάρχουν τα $$\lim_{x\rightarrow\ x_0}f\left(x\right)$$ και $$\lim_{x\rightarrow\ x_0}g\left(x\right)$$

Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων $$f:R\rightarrow\ R$$ και $$g:R\rightarrow\ R$$ αν $$\lim_{x\rightarrow\ x_0}f\left(x\right)=0$$ και $$\lim_{x\rightarrow\ x_0}g\left(x\right)=+\infty\$$ τότε $$\lim_{x\rightarrow\ x_0}\left[f\left(x\right)\cdot\ g\left(x\right)\right]=0$$

Αν υπάρχει το όριο της f στο $$x_0$$ τότε $$\lim_{x\rightarrow x_0}\sqrt[k]{f\left(x\right)}=\sqrt[k]{\lim_{x\rightarrow\ x_0}f\left(x\right)}$$ εφόσον $$f\left(x\right)\ge\ 0$$ κοντά στο $$x_0$$ με $$k\ \in\ N\ και\ k\ge\ 2$$

Αν $$\lim_{x\rightarrow\ x_0}f\left(x\right)=0$$ και $$f\left(x\right)>0$$ κοντά στο $$x_0$$ , τότε $$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\ 1}{f\left(x\right)}=+\infty\$$ .

Αν $$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=+\infty\ ή\ -\infty\$$ τότε $$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\ 1}{f\left(x\right)}=0$$

Αν $$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=-\infty\$$ τότε $$\lim_{x\rightarrow x_0}\left(-f\left(x\right)\right)=+\infty\$$

Αν είναι $$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=+\infty\$$ τότε $$f\left(x\right)<0$$ κοντά στο $$x_0$$

Αν είναι $$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=-\infty\$$ τότε $$f\left(x\right)>0$$ κοντά στο $$x_0$$

Αν είναι $$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=-\infty\$$ τότε $$\lim_{x\rightarrow x_0}\left|f\left(x\right)\right|=+\infty\$$

$$\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{\ 1}{x^{2ν+1}}\ \right)=+\ \infty\$$ για κάθε $$ν\ \in\ N$$

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα σύνολο της μορφής $$\left(a,\ x_0\right)\cup\left(x_0,\ \text{β}\right)$$ . Iσχύει η ισοδυναμία: $$\lim_{x\rightarrow\ x_0}f\left(x\right)=-\infty\ \ \Leftrightarrow\left(\ \ \lim_{x\rightarrow\ x_0^-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow\ x_0^+}f\left(x\right)=-\infty\ \right)$$ .

Αν $$α>1$$ τότε $$\lim_{x\rightarrow\ -\infty}α^x=0$$

Αν $$0<α<1$$ τότε $$\lim_{x\rightarrow\ -\infty}α^x=+\infty\$$

$$\lim_{x\rightarrow\ -\infty}e^x=-\infty\$$

$$\lim_{x\rightarrow\ 0}\frac{\ συνx-1}{x}=1\$$

Ισχύει ότι $$\lim_{x\rightarrow\ +\infty\ }\frac{\ ημx}{x}=1\$$

Ισχύει ότι $$\lim_{x\rightarrow\ 0\ }\frac{\ ημx}{x}=0\$$

Ισχύει ότι $$\left|ημx\right|\le\ \left|x\right|$$ για κάθε $$x\in\ R$$

Ισχύει ότι $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ 1-συνx}{x}=0$$