Δύο συναρτήσεις f, g με ίδιο πεδίο ορισμού και διαφορετικό τύπο είναι πάντα άνισες

Δύο συναρτήσεις f, g είναι ίσες όταν:

Έχουν ίδιο πεδίο ορισμού Α

Ισχύει $$f\left(x\right)=g\left(x\right)\$$ για κάθε $$x\in\ A$$

Έστω δύο συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού Α, Β αντίστοιχα και Γ ένα υποσύνολο των Α και Β

Οι συναρτήσεις f και g θα λέγονται ίσες στο Γ αν ισχύει $$f\left(x\right)=g\left(x\right)\$$ για κάθε $$x\in\ Γ$$

Έστω δύο συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού Α, Β αντίστοιχα ορίζουμε ως πηλίκο $$\frac{\ f}{g}$$ των συναρτήσεων την συνάρτηση με τύπο $$\ \text{}\left(\frac{\ f}{g}\right)\left(x\right)=\frac{\ f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$$ και πεδίο ορισμού το $$Α\capΒ$$

Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με gof, τη συνάρτηση με τύπο $$\left(g\circ\ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$$ και πεδίο ορισμού

A₁ = { x ϵ A   |   f(x) ϵ Β}.

Γενικά, αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι $$g\circ\ f$$ και $$f\circ\ g$$ , τότε αυτές ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες.

Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η $$h\circ\ \left(g\circ\ f\right)$$ , τότε ορίζεται και η $$\left(h\circ\ g\right)\circ\ f$$ και ισχύει

$$h\circ\ \left(g\circ\ f\right)=\left(h\circ\ g\right)\circ\ f$$

Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει $$f\left(x\right)\cdot\ g\left(x\right)=0\$$ για κάθε $$x\in\ A\$$ τότε $$f\left(x\right)=0\ για\ κάθε\ x\in\ A$$ ή $$g\left(x\right)=0\ για\ κάθε\ x\in\ A$$

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Α. Αν $$f^2\left(x\right)=0\ για\ κάθε\ x\in\ A$$ τότε $$f\left(x\right)=0\ για\ κάθε\ x\in\ A$$

Έστω συναρτήσεις $$f,g:\left[1,2\right]\rightarrow\ \left[3,4\right]$$ . Ορίζεται η σύνθεση του f με τη g, $$g\circ\ f$$ και έχει Πεδίο Ορισμού $$\left[1,2\right]$$