Μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της αν υπάρχουν $$x_1,\ x_2\ \in\ Δ$$ με $$x_1<x_2$$ ισχύει: $$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$$

Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα, σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της τότε λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.

Αν για μια συνάρτηση ισχύει $$f\left(1\right)=1\ και\ f\left(2\right)=4$$ τότε αυτή είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της και ισχύει f(2)=3 και f(3)=6 τότε αυτή θα είναι γνησίως άυξουσα

Αν μία συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της τότε θα είναι γνησίως φθίνουσα

Έστω μια συνάρτηση f και Δ ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της. Αν για οποιαδήποτε $$x_1,x_2\ \in\ Δ$$ με $$x_1\ \ne\ x_2$$ ισχύει $$f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\$$ τότε η f είναι σταθερή στο Δ.

Έστω μια συνάρτηση f και Δ ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της. Αν υπάρχουν $$x_1,x_2\ \in\ Δ$$ για τα οποία ισχύει $$x_1<x_2\Rightarrow\ f\left(x_1\right)\ge\ f\left(x_2\right)$$ τότε

Δίνεται η συνάρτηση $$f\left(x\right)=\frac{\ 1}{x},\ x\in\ \left(-\infty\ ,\ 0\right)\cup\left(0,+\infty\ \right)$$ . Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της.

Δίνεται η συνάρτηση $$f:R\rightarrow\ R$$ της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. H f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της.