Se toma una cuerda de 5 metros de longitud y se unen los extremos. Entonces podemos construir con ella triángulos isósceles de diferentes medidas. Calcula, de manera razonada, las dimensiones del que tiene mayor área.

Considera la curva de ecuación y el punto . a)¿Cuál es el punto de la curva más cercano a ? b)Deduce de forma razonada si existe o no un punto en la curva que sea el que está más lejos de .

En la orilla de un río de 100 metros de ancho está situada una planta eléctrica y en la orilla opuesta a 500 metros río arriba se ha construido una fábrica. Sabiendo que el río es rectilíneo entre la planta y la fábrica, que el tendido de cables a lo largo de la orilla cuesta 1.200 ptas. el metro y que el tendido sobre el agua cuesta 2.000 ptas. el metro, ¿cuál es la longitud del tendido más económico posible entre la planta eléctrica y la fábrica?

El alcalde de un pueblo quiere cercar un recinto rectangular cerrado para celebrar las fiestas. Para ello aprovecha una tapia existente como uno de los lados y dispone de 300 m. de tela metálica para hacer los otros tres. a)¿Podrías indicar las dimensiones del recinto acotado de esa forma cuya área es la mayor posible? b)La comisión de fiestas del pueblo ha calculado que para montar las atracciones, pista de baile, etc., necesitan 8000 m2. Teniendo en cuenta los cálculos realizados en el apartado anterior, ¿será suficientemente grande el recinto que quiere preparar el alcalde?

Desde la Tierra, que suponemos situada en el origen de coordenadas del plano, se observa un objeto que sigue una trayectoria de ecuación ( donde las distancias se miden en años-luz).¿Cuáles son las coordenadas del punto de la trayectoria cuya distancia a la Tierra es mínima y cuánto vale dicha distancia?

Dada una circunferencia de radio r, se divide uno de sus diámetros en dos partes que se toman como diámetros de dos circunferencias tangentes interiores a la circunferencia dada. ¿Qué longitud debe tener cada uno de estos diámetros para que sea máxima el área de la región comprendida entre las circunferencias interiores y la exterior ( la región rayada en la figura)?

Dado un triángulo isósceles de base 8 cm. Y altura 5 cm., calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse dentro de dicho triángulo como se indica en la figura.

a)Si el precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso, demuestra que siempre se pierde valor al partirlo en dos trozos. b)Como puedes suponer, puede partirse en dos trozos con diferentes pesos de múltiples formas. Determina la partición que origina la máxima pérdida de valor. Razona tu respuesta.

Halla el punto de la gráfica de la función definida por que está más próximo al origen de coordenadas.

En las páginas de un libro ha de imprimirse un texto que ocupa 200 cm2. Los márgenes laterales han de ser de 4 cm y los márgenes superior e inferior de 6 cm cada uno. Calcula las dimensiones de cada página para que la cantidad de papel necesario sea

o que ocupa 200 cm. Los márgenes laterales han de ser de 4 cm y los márgenes superior e inferior de 6 cm cada uno. Calcula las dimensiones de cada página para que la cantidad de papel necesario sea mínima.

Se desea construir un depósito cilíndrico sin tapa que tenga 2 m3 de volumen. Determina la altura del depósito y el radio de su base para que la cantidad de material empleado en su fabricación sea mínimo.

Se quiere construir un envase cerrado con forma de cilindro cuya área total (incluyendo las tapas) sea 900 cm2. ¿Cuáles deben el radio de la base y la altura para que el volumen del envase sea lo más grande posible? ¿Cuánto vale ese volumen máximo?

Una compañía aérea ofrece vuelos para grupos de estudiantes con las siguientes condiciones: para organizar un vuelo, el número mínimo de pasajeros debe ser 80, los cuales pagarían 210 euros cada uno. Sin embargo, esta tarifa se reduce en 1 euro por cada pasajero que exceda el número de 80. Suponiendo que la capacidad de cada avión es de 105 pasajeros y que el coste para la compañía es de 100 euros por plaza ocupada, ¿qué números de pasajeros ofrece el máximo y, respectivamente, el mínimo beneficio para la compañía?

De entre todos los rectángulos inscritos, como indica la figura, entre la gráfica de la función dada por y el eje, halla el de mayor área.

Se desea construir una ventana como la de la figura (la parte curva es una semicircunferencia) que tenga un perímetro de 6 m. ¿Qué dimensiones debe tener para que su superficie sea máxima?

Una imprenta debe diseñar carteles en los que la zona impresa debe ocupar 100 cm2 y hay que dejar 4 cm de margen derecho, 4 cm de margen izquierdo, 3 cm de margen superior y 2 cm de margen inferior. Calcula las dimensiones que debe tener el cartel para que se utilice la menor cantidad de papel que sea posible.

Se dispone de 288.000 pts. para vallar un terreno rectangular colindante con un camino recto. Si el precio de la valla que ha de ponerse en el lado del camino es de 800 pts/m y el de la valla de los restantes lados es de 100 pts/m, ¿cuáles son las dimensiones y el área del terreno rectangular de área máxima que puede vallarse?

Una empresa quiere fabricar vasos de cristal de forma cilíndrica con una capacidad de 250 centímetros cúbicos. Para utilizar la mínima cantidad posible de cristal, se estudian las medidas apropiadas para que la superficie total del vaso sea mínima. ¿Cuáles deben ser esas medidas? Justifica la respuesta.

Determina las dimensiones de una puerta formada por un rectángulo y un semicírculo (como en la figura), sabiendo que es la que tiene un perímetro mínimo entre las que tienen área igual a 2 m2.

Un hilo de alambre de 1 m. De longitud se corta en dos trozos formando con uno una circunferencia y con el otro un cuadrado. Prueba que la suma de las áreas es mínima cuando el lado del cuadrado es el doble que el radio de la circunferencia.

Considera el recinto limitado por la curva y la recta. De entre todos los rectángulos situados como el de la figura, determina el que tiene área máxima.

Consideremos todos los rectángulos que tienen uno de sus vértices en el origen de coordenadas y el opuesto de este vértice en la curva Y que, además, uno de sus lados está situado sobre el semieje positivo de abscisas y otro lado sobre el semieje positivo de ordenadas. Halla el que tiene área mínima.

Se desea construir una caja de base cuadrada con una capacidad de 80 cm³. Para la tapa y la superficie lateral.

Se desea construir una caja de base cuadrada con una capacidad de 80 cm³. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1 € / cm² y para la base se emplea un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.

Se quiere fabricar una caja abierta de chapa con base cuadrada y con 32 litros de capacidad. Halla las dimensiones de la caja que precisa la menor cantidad de chapa.

Determina los puntos de la parábola de ecuación que están mas próximos al origen de coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos y el origen de coordenadas.

De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12.800 m2 dividido en tres parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas), determina las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mínima.

Dividimos en dos trozos un alambre de 1 metro: con uno formamos una circunferencia y con el otro un cuadrado. Halla las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de los recintos sea mínima.

Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales distintos. El precio de cada uno de estos materiales es 2 y 3 euros por centímetro cuadrado, respectivamente. Por otra parte, la suma de los perímetros de los dos cuadrados tiene que ser 1 metro. ¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo?

Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máximo.

De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejes coordenados y un vértice en la recta r de ecuación (ver figura), determina el que tiene mayor área.

De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto , encuentra aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Halla el área de dicho triángulo.

De entre todos los rectángulos de perímetro 8 cm, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.

Se divide un segmento de longitud L = 20 cm. en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima.

De entre todos los rectángulos cuya área mide 16 cm2, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.

De todos los triángulos cuya base y altura suman 20 ., ¿qué base tiene el de área máxima?

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide . Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máximo?

Una hoja de papel tiene que contener de texto. Los márgenes superior e inferior han de tener cada uno y los laterales. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.

Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a . Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen máximo.

En el primer cuadrante representamos un rectángulo d

cerrado de área total igual a . Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen máximo.

En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola . Determina las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima.

Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 100 euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el metro. ¿Cuáles son las dimensiones del prado de área máxima que podemos cercar con 3000 euros?

Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro , halla las dimensiones del marco de la de área máxima.

Sea la función definida por . Determina el punto de la gráfica de que se encuentra a menor distancia del punto . ¿Cuál es esa distancia?

Un alambre de 2 m de longitud se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima.

De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 5 unidades, determina las dimensiones del de área máxima.

Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo isósceles de 6 metros de base (el lado desigual) y 4 metros de alto.

Un alambre de 10 m. de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triangulo equilátero y con el otro un cuadrado. Halla la longitud de dichos trozos para que la suma de las áreas sea mínima.

Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de cm de radio, de forma que uno de sus lados está contenido en el diámetro del semicírculo y el lado opuesto tiene sus vértices sobre la semicircunferencia. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que es el de mayor perímetro posible.

Construimos un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapa, con una capacidad de 125 . Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.

De entre todos los número reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima.

De entre todos los triángulos rectángulos de área , determina las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menor longitud.

Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para 13,5 metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el mínimo posible.

Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 80 euros/metro y la de los otros lados 10 euros/metro, halla las dimensiones del campo de área máxima que puede vallarse con 28 800 euros.

Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un rio. El terreno debe tener 180000 m2 para producir suficiente pasto para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de modo que utilice la mínima cantidad de valla, si el lado que da al río no necesita vallado?

Queremos fabricar una caja con base cuadrada, de tal manera que la altura de

Queremos fabricar una caja con base cuadrada, de tal manera que la altura de la caja más el perímetro de la base sumen 60 cm. Determina sus dimensiones para que contenga el mayor volumen posible.

De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12 800 m² dividido en 3 parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo: Se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas). Determina las dimensiones del solar y de cada una de las tres parcelas para que la longitud de la valla utilizada sea mínima.

Se dispone de un cartón cuadrado de 50 cm de lado para construir una caja sin tapadera a partir del cartón. Para ello, se corta un cuadrado de cm de lado en cada una de las esquinas. Halla el valor de para que el volumen de la caja sea máximo y calcula dicho volumen.

Se quiere construir un bote de conservas cilíndrico, con tapa, de un litro de capacidad. Calcula las dimensiones del bote para que en su construcción se utilice la menor cantidad posible de hojalata.

Una cuerda de un metro de longitud se divide en dos trozos con los que se construyen un cuadrado y una circunferencia respectivamente. Determina, si es posible, las longitudes de los trozos para que la suma de las áreas sea mínima.

Se quiere hacer una puerta rectangular coronada por un semicírculo como el de la figura. El hueco de la puerta ha de tener dieciséis metros cuadrados. Si es posible, determina la base para que el perímetro sea mínimo.

Se necesita construir un depósito cilíndrico, con tapas inferior y superior, con capacidad de 20 π m³ . El material para las tapas cuesta 10 euros cada m² y el material para el resto del cilindro 8 euros cada m². Calcula, si existe, el radio de las tapas y la altura del cilindro que hace que el coste total sea mínimo.

Una imprenta recibe un encargo para realizar una tarjeta rectangular con las siguientes características: la superficie rectangular que debe ocupar la zona impresa debe ser de 100 cm2 , el margen superior tiene que ser de 2 cm, el inferior de 3 cm y los laterales de 5 cm cada uno. Calcula, si es posible, las dimensiones que debe tener la tarjeta de forma que se utilice la menor cantidad de papel posible.

Se desea construir un rectángulo, como el de la figura, de área máxima. La base está situada sobre el eje , un vértice está en la recta y el otro, en la recta . a) Halla la altura del rectángulo en función de (ver la figura). b) Halla la base del rectángulo en función de . c) ¿Para qué valor de es máximo el área del rectángulo?

Se desea construir una canaleta, para la recogida de agua, cuya sección es como la de la figura. La base y los costados deben medir 10 cm y se trata de darle la inclinación adecuada a los costados para obtener una sección de área máxima. a) Halla la altura de la canaleta en función de (ver la figura). b) Halla el área de la sección de la canaleta en función de . c) Encuentra el valor de que hace máximo dicho área.

Considera un triángulo isósceles en el que el lado desigual mide 8 cm y la altura correspondiente mide 5 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en dicho triángulo (ver figura).

Se desea construir una caja sin tapadera de base cuadrada. El precio del material es de 18 euros / m² para los laterales y de 24 euros / m² para la base. Halla las dimensiones de la caja de mayor volumen que se puede construir si disponemos de 5.

Halla las dimensiones de la caja de mayor volumen que se puede construir si disponemos de 50 euros.

Dada la función definida por , calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de f y la recta.

Una familia desea acotar una zona rectangular en el jardín de su casa para dedicarla al cultivo ecológico. Para ello dispone de 96 metros de valla, pero necesita una abertura de 4 metros en uno de los laterales para instalar una puerta. Determina las dimensiones de la zona rectangular de área máxima que puede acotarse de esta manera y el valor del área.

De entre todos los rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas, determina las dimensiones de aquel de área máxima que puede inscribirse en la región limitada por las gráficas de las funciones definidas por.

Calcula los vértices y el área del rectángulo de área máxima inscrito en el recinto limitado por la gráfica de la función definida por y el eje de abscisas, teniendo su base sobre dicho eje.

Calcula el punto de la gráfica de más cercano al punto. ¿Hay alguno que sea el más alejado?

Comencemos señalando las variables: llamemos al largo (base) de ese rectángulo e al ancho (altura), medidos en metros. Queremos que sea máxima su superficie.

Vamos a colocar metros paralelos al río. Luego metros restantes en línea recta hasta el punto del margen opuesto, como se muestra en la figura.

El área rayada es igual al de la circunferencia exterior menos las áreas de las interiores. Si llamamos e al radio de las circunferencias interiores, la superficie que debemos maximizar es.

Sea el vértice del rectángulo situado en la curva, con . Observemos que la base del rectángulo es y que altura es . El área del rectángulo es lo que tenemos que maximizar: Como el punto está en la curva, se tiene que cumplir la ecuación: Queremos así maximizar la función Derivamos e igualamos a cero: Estudiemos el signo de la derivada y deduzcamos la variación: Concluimos que la base del rectángulo buscado es y la altura y por ello tiene de perímetro.

Sea a la mitad de la base e y la altura del rectángulo. La superficie que debemos maximizar es: A izquierda y derecha del rectángulo quedan dos triángulos con de base e de altura y encima de él otro triángulo de base 2x y altura 5-y. La suma de las áreas de esas cuatro figuras es igual a la del triángulo exterior: Simplificando: Queremos así maximizar la función Es fácil averiguar que alcanza su máximo para . Concluimos que el rectángulo buscado tiene 4 cm de base y 2.5 cm de altura.

Si llamamos al radio de la base e a la altura del cilindro, la superficie para minimizar es: El volumen del vaso es igual a la superficie de la base por su altura, luego: Así que debemos minimizar la función Calculamos la derivada e igualamos a cero: Puede comprobarse que se trata de un mínimo. Así, el radio de la base del vaso debe medir y la altura debe medir.

Partiendo de la situación dibujada aquí al lado, el perímetro total es igual a la suma de la mitad de la longitud de la circunferencia () más los tres lados del rectángulo. Queremos minimizar El área total (igual a 2) es igual a la suma de la superficie del rectángulo (base por altura) más la mitad de la superficie del círculo (pi por el cuadrado del radio): Nos queda que la función que debemos maximizar: Derivamos: Igualando a cero: Estudiemos el signo de la derivada y deduzcamos la variación de la longitud: Así, la anchura es igual al doble del radio del círculo superior: Y la altura de la zona rectangular es.

Llamemos a la mitad de la base del rectángulo y a su altura. Así debemos maximizar: Observemos que la ordenada del vértice superior derecho es y que la del vértice inferior izquierdo es , al estar sobre la parábola; por ello: Así, la función que debemos maximizar es Es fácil averiguar que alcanza su máximo para . Concluimos que el rectángulo buscado tiene de base y de altura (es un cuadrado, pues).

Llamemos x al lado de la base (cuadrada) e y a la altura. La tapa cuadrada y los cuatro laterales rectangulares cuestan 1.

Llamemos x al lado de la base (cuadrada) e y a la altura. La tapa cuadrada y los cuatro laterales rectangulares cuestan 1 euro el cm² y la base cuadrada 1.5 euros el cm². Así que el coste es. Como el volumen de la caja (superficie de la base por la altura) es 80. Luego tenemos que minimizar la función coste. Derivamos e igualamos a cero. Estudiemos el signo de la derivada y deduzcamos la variación. Concluimos que la caja tiene 4 cm de lado y una altura de 5 cm.

Llamamos a la base e a la altura de ese solar rectangular. Tenemos que minimizar la longitud de la valla. Como su superficie es de 12800 m2. Queremos minimizar. Derivamos e igualamos a cero. Estudiemos el signo de la derivada y deduzcamos la variación. Luego el solar tiene 160 m de largo y 12800 : 160 = 80 m de ancho, siendo la longitud de la valla en total.

Si llamamos al radio de la circunferencia e al lado del cuadrado, la suma de las áreas del cuadrado y del círculo es. A la izquierda hemos señalado la construcción. La suma del perímetro de la circunferencia y del cuadrado es igual a la longitud del alambre. La función que tenemos que maximizar es. Derivamos e igualamos a cero. Puede comprobarse fácilmente que se trata de un máximo. Así concluimos que la longitud, en centímetros, de cada uno de los trozos es, respectivamente:

Llamemos a la base del triángulo e a la altura. Queremos maximizar la superficie del triángulo. Una recta que pasa por el punto es de la forma. OJO: para que se forme con los semiejes positivos debe ser. Observemos cuánto valen la base y la altura del triángulo. Recordando que el área del triángulo es la mitad del producto de la base por la altura, tenemos que minimizar. Desarrollamos. Derivamos e igualamos a cero. Estudiemos el signo de la derivada y deduzcamos la variación. Concluimos que la recta solución es. Y el área del triángulo es.

Si llamamos a la base e a la altura, por el Teorema de Pitágoras obtenemos que la diagonal es. Como el perímetro del rectángulo es 8. La función que tenemos que minimizar es, pues. Derivamos e igualamos a cero. Estudiemos el signo de la derivada y deduzcamos la variación. Concluimos que el rectángulo tiene 2 cm de base y 2 cm de altura (es un cuadrado) y su diagonal mide.

Si llamamos al lado del cuadrado e a la altura del rectángulo, la suma de las superficies del cuadrado y del rectángulo es: