Αν η f δεν είναι συνεχής στο $$x_o$$ , τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο $$x_o$$ .

Κάθε συνάρτηση συνεχής στο πεδίο ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο $$x_o$$ , τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο $$x_o$$ .

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης $$C_f$$ μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f, στο Α( $$x_o$$ ,f( $$x_o$$ )) είναι η παράγωγος της f στο $$x_o$$ , δηλαδή λ = f΄ ( $$x_o$$ ).

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο $$x_o$$ του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το $$\lim_{x\rightarrow x_o}\ \frac{f\left(x\right)-f\left(x_o\right)}{x-x_o}$$ και είναι ίσο με $$+\infty$$ ή $$-\infty$$ .

Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή $$t_o$$ , είναι η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης θέσης x=S(t) τη χρονική στιγμή $$t_o$$ , δηλαδή είναι u( $$t_o$$ )=S΄΄ ( $$t_o$$ ) .

Η συνάρτηση f(x) = |x| , x $$\in$$ R είναι παραγωγίσιμη στο Ο.