F đóng kín đối với phép giao đếm được

F đóng kín đối với phép hợp hữu hạn

F đóng kín đối với phép lấy phần bù

F đóng kín đối với phép hợp tùy ý

Nếu A∈F, B∈F thì A∩C∈F

F đóng kín với phép giao đếm được và phép hợp tùy ý

F chứa mọi tập con của Ω

Nếu A∈Ω, B⊂Ω thì A∪B∈F

F đóng kín với phép đếm được và phép giao hữu hạn

F chứa mọi tập con của Ω

Nếu A∈F, B∈F thì A∪B∈F

Nếu A∈Ω, B⊂Ω thì A∩B∈F

P(A∪B)+P(B∧A)=P(A)+P(B)−P(AB) với mọi biến cố A,B

P(A) là một số không âm với mọi A⊂Ω

P(A) ≤ 1 với mọi A⊂Ω

P là một độ đo hữu hạn

Ω là một tập khác rỗng, P là một độ đo hữu hạn tùy ý, F là một σ-đại số các tập con nào đó của Ω

Ω là một tập khác rỗng, P là một độ đo xác suất, F là một σ-đại số gồm tất cả các tập của Ω

Ω là một tập khác rỗng, P là một độ đo xác suất, F là một σ-đại số các tập con nào đó của Ω

Ω là một tập hữu hạn, P là một độ đo xác suất, F là một σ-đại số các tập con nào đó của Ω

B là σ-đại số bé nhất chứa các khoảng dạng (a,b) trong đó a,b là các số thực a

B = {A⊂R: A=(a,+∞), hoặc A=(−c,∞), hoặc A=(−∞,a], hoặc A=(a,b) trong đó a,b là các số thực và a

B là σ-đại số bé nhất chứa các khoảng dạng [a,+∞) trong đó a là số thực

B là σ-đại số bé nhất chứa các khoảng dạng (·) trong đó a là số thực

P(B)>0

P(A)≤P(B)

P(A)<1

P(A)≤P(B)

Tập các số vô tỉ không thuộc B

Tập các số tự nhiên thuộc B

Tập các số nguyên dương thuộc B

Tập nghiệm của phương trình sin(x)=1/2 thuộc B

σ-đại số sinh bởi {A} là σ-đại số bé nhất chứa A

σ-đại số sinh bởi {A} là σ-đại số bé nhất chứa A và chứa phần bù của A

σ-đại số sinh bởi A khác với σ-đại số sinh bởi {Ω/A}

σ-đại số sinh bởi {A} là σ-đại số bé nhất chứa phần bù A

$$P(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)$$

$$P(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n) \leq \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) = \infty$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) < \infty$$

P(A|C) ≤ P(B|C)

P((A∪B)|C)=P((A∪B∪C|C)−P_c

P(A|C) < 1

P(B|C) > 1

$$\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n|B)$$ =i∞

P(A_1|B) ≤ P(A_2|B) ≤ P(A_3|B) ≤ …

$$P(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n | B) = \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n \cap B)$$

$$∑_{n=1}^{∞} P(A_n ∨ B)$$ < ∞

P(B)

P(A)

P(AB)

P(AB)/P(B)

P(A|B) = P(A∪B)/P(B)

P(A|B) = (P(A)+P(B)−P(A∪B))/P(A)

P(A|B) = (P(A∪B) − P(A) − P(B))/P(B)

P(A|B) = (P(A)+P(B) − P(A∪B))/P(B)

1−P(A|B)

1− P(ĀB)/P(B)

(1−P(A∪B))/(1−P(B))

(1−P(A∪B))/(1−P(B))

P(A|B)=\dfrac{P(A)(1-P(\overline{B}|A))}{P(B)}

P(A|\overline{B})=\dfrac{P(B)(1-P(\overline{B}|A))}{P(A)}

P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})

P(B)=P(AB)+P(\overline{A}B)

{b} ∈ σ[G] và {c} ∈ σ[G]

σ[G]={∅,Ω,{a},{b,c}}

σ[G] là σ-đại số bé nhất chứa {a}

σ[G] là σ-đại số bé nhất chứa {b,c}

lim_{n→∞} P({n}|{n+1})+P({n+2})+…=0

C=2

P({1})+P({3})+P({5})+…=2/3

C=1

(Ω,F,θ) là không gian xác suất

(Ω,F,μ) là không gian xác suất

θ(A)=1 với A là tập hợp số vô tỉ thuộc [0,2]

μ(B)=0 với B là tập hợp số hữu tỉ thuộc [0,2]

θ([2,4])=1/2

(Ω,F,θ) là không gian xác suất

θ([2,5])=3/4

(Ω,F,μ) là không gian xác suất

Với mọi tập Borel A ⊂ R, $$X^{-1}(A)$$ ∈ F

Với mọi số thực x, $$X^{-1}((-∞, x])$$ ∈ F

Với mọi số nguyên $$\pi$$ , $$X^{-1}([\pi,\infty))$$ ∈ F là đủ để $$X$$ là biến ngẫu nhiên

Với mọi khoảng [a,b], $$X^{-1}([a,b])$$ ∈ F

Biến ngẫu nhiên đơn giản là biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên đơn giản

Biến ngẫu nhiên đơn giản không phải là ánh xạ đo được

Tập giá trị của biến ngẫu nhiên là tập con bất kỳ của R

X là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi $$X^{-1}([x,∞))$$ ∈ F với mọi số thực x

X là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi $$X^{-1}([\pi,\infty))$$ ∈ F với mọi số nguyên $$\pi$$

X là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi $$X^{-1}((-∞,x))$$ ∈ F với mọi số nguyên x

X là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi $$X^{-1}((x,∞))$$ ∈ F với mọi số nguyên x

Nếu X là biến ngẫu nhiên thì σ(X) có số phần tử đếm được

Nếu X là biến ngẫu nhiên thì $$X^{-1}({x})$$ ∈ F với mọi số thực x

Nếu X^{-1}(x)∈ F với mọi số thực x thì X là biến ngẫu nhiên

X là biến ngẫu nhiên rời rạc

Nếu $$X^{-1}(A)$$ ∈ F với mọi tập Borel A thì X là biến ngẫu nhiên

Nếu $$X^{-1}((-∞,x])$$ ∈ F với mọi x ∈ R thì X là biến ngẫu nhiên

Nếu $$X^{-1}([\pi,\infty))$$ ∈ F với mọi số nguyên $$\pi$$ thì đủ và cần để X là biến ngẫu nhiên

Nếu $$X^{-1}((−∞,x))$$ ∈ F với mọi x ∈ R thì X là biến ngẫu nhiên

Nếu X là biến ngẫu nhiên thì $$(X+1)^3$$ là biến ngẫu nhiên

Nếu X là biến ngẫu nhiên thì |X| là biến ngẫu nhiên

Nếu IX I là biến ngẫu nhiên thì X là biến ngẫu

Nếu X là biến ngẫu nhiên thì f(X) là biến ngẫu nhiên với f liên tục

I(A) là biến ngẫu nhiên nhận hai giá trị 0 và 1

Nếu I(A) là biến ngẫu nhiên thì A ∈ F

Nếu A ∈ F thì I(A) là biến ngẫu nhiên

I(A)=1−I(A)

Nếu X là biến ngẫu nhiên thì $$(|X|+1)^{1/2}$$ là biến ngẫu nhiên

Nếu X là biến ngẫu nhiên thì $$X^2$$ là biến ngẫu nhiên

Nếu X là biến ngẫu nhiên thì cos(X) là biến ngẫu nhiên

Nếu $$X^2$$ là biến ngẫu nhiên thì X là biến ngẫu nhiên

tan(X+Y) là biến ngẫu nhiên

sin(XY) là biến ngẫu nhiên

cos(X-Y) là biến ngẫu nhiên

|XY| là biến ngẫu nhiên

sin(XY) là biến ngẫu nhiên

XI(A) + Y là biến ngẫu nhiên

cos(X-Y) là biến ngẫu nhiên

log2( $$X^2 + Y^2 + 1$$ ) là biến ngẫu nhiên

XI(C) − YI(AB) là biến ngẫu nhiên

XI(C) − Y là biến ngẫu nhiên

X − YI(C) là biến ngẫu nhiên

XI(A) − YI(C) là biến ngẫu nhiên

XI(AB) + YI(C) là biến ngẫu nhiên

XI(A) + YI(B) là biến ngẫu nhiên

XI(B) + YI(C) là biến ngẫu nhiên

XI(B) − YI(C) là biến ngẫu nhiên

{Ω, ∅}

{Ω, ∅, (0,3/4], (3/4,1]}

{Ω, ∅, {0,3/4}, Ω\{0,3/4}}

{Ω, ∅, (3/4,1], (0,3/4]}

{Ω, ∅, {17/8}, {3}}

{Ω, ∅, [2,17/8], (17/8,3]}

{Ω, ∅, {17/8,3}, Ω\{17/8,3}}

{Ω, ∅, (2,17/8], (17/8,3]}

W < V

W + V = X + Y

W, V là các biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P)

|W − V| = |X − Y|

Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản thì tồn tại số a sao cho hàm phân phối của X gián đoạn tại a

Tập hợp các điểm gián đoạn của hàm phân phối của biến ngẫu nhiên là tập đếm được

Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn là hàm số liên tục trên R

Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên là hàm số tăng ngặt trên R

Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên là hàm số không bị chặn

Tập hợp các điểm liên tục của hàm phân phối của biến ngẫu nhiên là tập quá đếm được

Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên có phân phối mũ là hàm số liên tục trên R

Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản thì tồn tại số a sao cho hàm phân phối của X gián đoạn tại a

Tập giá trị của hàm phân phối là R

Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản thì tồn tại số a sao cho hàm phân phối của X gián đoạn tại a

Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức là hàm số liên tục trên R

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì tồn tại số a sao cho P(X=a)>0

Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên là hàm số bị chặn

Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên đoạn [a,b] là hàm liên tục tại mọi điểm

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì tồn tại số a sao cho 0 < P(X=a) < 1

Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên là hàm không giảm

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì mọi số a ta luôn có P(X=a)=0

Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối F(x). Khi đó với mọi số thực a và b ta luôn có P(a

Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối F(x). Khi đó với mọi số thực a và b ta luôn có P(a≤X

Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối F(x). Khi đó với mọi số thực a ta luôn có F(a)<1

Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối F(x). Khi đó với mọi số thực a và b, a<b ta luôn có P(a < X < b) = F(b) – F(a)

Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối F(x). Khi đó với mọi số thực a và b ta luôn A.  có P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a)

Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối F(x). Khi đó với mọi số thực a và b ta luôn có P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a)

Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối F(x). Khi đó với mọi số thực a ta luôn có F(a)>0

C=2

X là biến ngẫu nhiên bị chặn

X là biến ngẫu nhiên đơn giản

Hàm phân phối của X là hàm liên tục

0,8413

0,3413

0,6915

0,9772

0,9544

0,3413

0,6915

0,9772

Px((−∞, x̄))=0 với mọi x<0

Px((0,+∞))=1−Fx(0)

Px(ℝ)=1

Px(Ω)=1

Px((0,∞))=1

Px((−∞,0])=1

Px((−∞,−1])=1

Px((−∞,−1])=Fx(−1)

Px((1,∞))=1

Px((3,∞))=1−Fx(3)

Px((−∞,11/2))=Fx(5)

Px((−∞,1])=0

Px({1,2})=Fx(2)

Px({1,2,3})=1

Px((1,∞))=1

Px({0,1})=0

0,6826

0,6170

0,6915

0,9772

0,1309

0,1815

0,8185

0,9068

2/3

1/4

1

3/4

7/8

1/8

2/3

1/2

1

$$\frac{\left(1-e^{-3}\right)}{6}$$

$$1-e^{-3}$$

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)

Var(aX+bY)=aVar(X)+bVar(Y)

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

Var(X−Y)=Var(X)+Var(Y)

Nếu X≥0 thì E(X)≥0

Nếu E(X)≥E(Y) thì X≥Y

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)

Var(aX)=aVar(X)

E(aX+b)=aE(X)+bE(Y)

Nếu X≥Y thì E(X)≥E(Y)

Nếu E(X)≥E(Y) thì X≥Y

E(aX+b)=aE(X)+b

$$E(X)=E(X^+)+E(X^−)$$

$$E(X^+)E(X^−)\geq 0$$

E|X|= $$E(X^+)+E(X^−)$$

$$E(X^{-}) \geq 0$$

$$E(X^{-})=0$$

Var(I(A))=Var(I(A))

$$E(XI(A))=E(X^+)−E(XI(A^c)$$

$$Var(I(A))=(P(A))^2$$

E(a)=0

E(Y−X)=E(Y+X)

E(X+Y)=E(X−Y)

X^+ có cùng phân phối với X^−

E(cos(X))=0

E(Y−X)=E(Y+X)

E(sin(X))=0

X^+ có cùng phân phối với X^−

E(X)=0

E(sin(X−Y))=E(sin(X+Y))

E(cos(X−Y))=E(cos(X+Y))

E(sin(−X−Y))=E(sin(X+Y))

$$E(X−a i u^2)$$ =a

Hàm số f(x)= $$E(X−a i u^2)$$ đạt giá trị nhỏ nhất tại x=a

P(X≥a)=P(X≤a)

Var(E(X)−a)=0

5

2,5

0,1

0,5

0,16

0,6

0,48

3