au_xx+2bu_xy++cu_yy+du_x+eu_y+fu+g(x,y)=0теңдеуі берілсін. Бұл теңдеу  квазисызықтық теңдеу болады,егер:

au_xx+2bu_xy++cu_yy+du_x+eu_y+fu+g(x,y)=0теңдеуі берілсін. Бұл теңдеу   біртексіз сызықтық тұрақты коэффициентті теңдеу болады, егер:

au_xx+2bu_xy++cu_yy+du_x+eu_y+fu+g(x,y)=0теңдеуі берілсін. Бұл теңдеу   біртекті сызықтық   теңдеу болады, егер:

au_xx+2bu_xy++cu_yy+du_x+eu_y+fu+g(x,y)=0теңдеуі берілсін. Бұл теңдеу жоғарғы туындыларына қатысты   сызықтық  деп аталады,егер:

$$\sum_{i,j=1}^nA_{ij}\frac{\text{d}^2u}{\text{d}x_idx_j}+\sum_{i=1}^nB_{i\text{}}\frac{\partial u}{\partial x_i}+Cu=f\left(x_1,x_{2,...,}x_n\right)$$ теңдеуі берілсін.Бұл теңдеу біртексіз сызықтық тұрақты коэффициентті теңдеу болады,егер:

$$\sum_{i.j=1}^nA_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{i=1}^nB_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+Cu=f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)\ \$$

теңдеуі берілсін.Бұл теңдеу біптексіз квазисызықтық теңдеу болады,егер:

$$\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{i=1}^nB_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+Cu=f\left(x_1,x_2,...x_n\right)$$ теңдеуі берілсін.Бұл теңдеу тұрақты коэффициентті теңдеу болады,егер:

$$\sum_{i,j=1}^nA_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{i=1}^nB_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+Cu=f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)$$ теңдеуі берілсін.Бұл теңдеу біртекті теңдеу болады,егер:

$$\sum_{i,j=1}^nA_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{i=1}^nB_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+Cu=f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)$$ теңдеуі берілсін.Бұл теңдеу жоғарғы ретті туындыларына қатысты сызықты теңдеу болады,егер:

$$\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{i=1}^nB_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+Cu=f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)$$ теңдеуі берілсін.Коэффициенттері A_ij,B_i,C(i= $$\overline{1,n}$$ ;j= $$\overline{1,n}$$ )- нақты және тұрақты, f(x₁,...,x_n ) функциясы нақты және қандай да бір G $$\subset$$ Rⁿ облысында анықталған. A - матрицасы жоғарғы коэффициентті болсын,E - бірлік матрица. Сипаттаушы теңдеу деп келесі алгебралық теңдеуді айтамыз:

$$\sum_{i,j=0}^nA_{i,j}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{i=1}^nB_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+Cu=f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)$$ теңдеуі берілсін. Коэффициенттері  - нақты және тұрақты, $$f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)$$  функциясы нақты және қандай да бір $$G\subset R^n$$  облысында анықталған.  A- матрицасы жоғарғы коэффициентті болсын,  E- бірлік матрица, $$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n-A$$  матрицасының өзіндік мәндері болсын. $$n^+$$   - оң өзіндік мәндердің саны, $$n^-$$  - теріс өзіндік мәндердің саны, $$n^0$$  - еселігі ескерілген нольдік өзіндік мәндердің саны болсын. Сонда:

Дифференциалдық теңдеу сызықтық болады, егер:

$$\sum_{i,j=1}^nA_{i,j}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{i=1}^nB_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+Cu=f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)$$ теңдеуі берілсін. Коэффициенттері A_ij,B_i,C( $$i=\overline{1,n}$$ ; $$j=\overline{1,n}$$ ) - нақты және тұрақты,f(x₁,x₂,...x_n)  функциясы нақты және қандай да бір G $$\subset$$  Rⁿ облысында анықталған. A - матрицасы жоғарғы коэффициентті болсын, E - бірлік матрица, $$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$$  -A матрицасының өзіндік мәндері болсын.  n⁺- оң өзіндік мәндердің саны,  n^-- теріс өзіндік мәндердің саны,  n⁰- еселігі ескерілген нольдік өзіндік мәндердің саны болсын. Теңдеу эллиспсті типке жатады, егер:

$$\sum_{i,j=1}^nA_{i,j}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{i=1}^nB_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+Cu=f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)$$ теңдеуі берілсін. Коэффициенттері A_ij,B_i,C( $$i=\overline{1,n}$$ ; $$j=\overline{1,n}$$ ) - нақты және тұрақты,f(x₁,x₂,...x_n)  функциясы нақты және қандай да бір G $$\subset$$  Rⁿ облысында анықталған. A - матрицасы жоғарғы коэффициентті болсын, E - бірлік матрица, $$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$$  -A матрицасының өзіндік мәндері болсын.  n⁺- оң өзіндік мәндердің саны,  n^-- теріс өзіндік мәндердің саны,  n⁰- еселігі ескерілген нольдік өзіндік мәндердің саны болсын. Теңдеу гиперболалық типке жатады, егер:

$$\sum_{i,j=1}^nA_{i,j}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{i=1}^nB_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+Cu=f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)$$ теңдеуі берілсін. Коэффициенттері A_ij,B_i,C( $$i=\overline{1,n}$$ ; $$j=\overline{1,n}$$ ) - нақты және тұрақты,f(x₁,x₂,...x_n)  функциясы нақты және қандай да бір G $$\subset$$  Rⁿ облысында анықталған. A - матрицасы жоғарғы коэффициентті болсын, E - бірлік матрица, $$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$$  -A матрицасының өзіндік мәндері болсын.  n⁺- оң өзіндік мәндердің саны,  n^-- теріс өзіндік мәндердің саны,  n⁰- еселігі ескерілген нольдік өзіндік мәндердің саны болсын. Теңдеу ультрагиперболалық типке жатады, егер:

$$\sum_{i,j=1}^nA_{i,j}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{i=1}^nB_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+Cu=f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)$$ теңдеуі берілсін. Коэффициенттері A_ij,B_i,C( $$i=\overline{1,n}$$ ; $$j=\overline{1,n}$$ ) - нақты және тұрақты,f(x₁,x₂,...x_n)  функциясы нақты және қандай да бір G $$\subset$$  Rⁿ облысында анықталған. A - матрицасы жоғарғы коэффициентті болсын, E - бірлік матрица, $$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$$  -A матрицасының өзіндік мәндері болсын.  n⁺- оң өзіндік мәндердің саны,  n^-- теріс өзіндік мәндердің саны,  n⁰- еселігі ескерілген нольдік өзіндік мәндердің саны болсын. Теңдеу параболалық типке жатады, егер:

Пуассон теңдеуінің типі:

Трикоми теңдеуінің типі:

Лаплас теңдеуінің типі:

Толқындық теңдеуінің типі:

Жылуөткізгіштік теңдеуінің типі:

Эллипстік теңдеуінің типі:

$$A\left(x,y\right)u_{xx}+2B\left(x,y\right)u_{xy}+C\left(x,y\right)u_{yy}+F\left(x,y,u,u_x,u_y\right)=0$$

 теңдеуі берілсін. A,B,C   - екі рет үзіліссіз-дифференциалданатын және бір уақытта 0-ге тең емес функциялар болсын. Егер B²-AC $$>$$  0 ∀(x,y)болса, онда теңдеу:

$$A\left(x,y\right)u_{xx}+2B\left(x,y\right)u_{xy}+C\left(x,y\right)u_{yy}+F\left(x,y,u,u_x,u_y\right)=0$$

 теңдеуі берілсін. A,B,C   - екі рет үзіліссіз-дифференциалданатын және бір уақытта 0-ге тең емес функциялар болсын. Егер B²-AC $$<$$ 0 ∀(x,y)болса, онда теңдеу:

$$A\left(x,y\right)u_{xx}+2B\left(x,y\right)u_{xy}+C\left(x,y\right)u_{yy}+F\left(x,y,u,u_x,u_y\right)=0$$

 теңдеуі берілсін. A,B,C   - екі рет үзіліссіз-дифференциалданатын және бір уақытта 0-ге тең емес функциялар болсын. Егер B²-AC=0 ∀(x,y)болса, онда теңдеу:

$$A\left(x,y\right)u_{xx}+2B\left(x,y\right)u_{xy}+C\left(x,y\right)u_{yy}+F\left(x,y,u,u_x,u_y\right)=0$$

 теңдеуі берілсін. A,B,C   - екі рет үзіліссіз-дифференциалданатын және бір уақытта 0-ге тең емес функциялар болсын. Егер B²-AC өрнегінің таңбасы -ке тәуелді болса, онда теңдеу:

$$A\left(x,y\right)u_{xx}+2B\left(x,y\right)u_{xy}+C\left(x,y\right)u_{yy}+F\left(x,y,u,u_x,u_y\right)=0$$

 теңдеуі берілсін. A,B,C  - екі рет үзіліссіз-дифференциалданатын және бір уақытта 0-ге тең емес функциялар болсын. Егер A $$\equiv$$ 0,B $$\ne$$ 0 ∀(x,y) болса, онда теңдеу:

$$A\left(x,y\right)u_{xx}+2B\left(x,y\right)u_{xy}+C\left(x,y\right)u_{yy}+F\left(x,y,u,u_x,u_y\right)=0$$

 теңдеуі берілсін. A,B,C  - екі рет үзіліссіз-дифференциалданатын және бір уақытта 0-ге тең емес функциялар болсын.Егер B=0;A,C - бірдей таңбалы болса, онда теңдеу:

$$A\left(x,y\right)u_{xx}+2B\left(x,y\right)u_{xy}+C\left(x,y\right)u_{yy}+F\left(x,y,u,u_x,u_y\right)=0$$

 теңдеуі берілсін. A,B,C  - екі рет үзіліссіз-дифференциалданатын және бір уақытта 0-ге тең емес функциялар болсын.Егер A $$\equiv$$ 0,B $$\equiv$$ 0 болса, онда теңдеу:

$$A\left(x,y\right)u_{xx}+2B\left(x,y\right)u_{xy}+C\left(x,y\right)u_{yy}+F\left(x,y,u,u_x,u_y\right)=0$$

 теңдеуі берілсін. A,B,C  - екі рет үзіліссіз-дифференциалданатын және бір уақытта 0-ге тең емес функциялар болсын.Егер A=0,x=0 үшін B=0,x $$\ne$$ 0 ,  үшін  B $$\ne$$  0 болса, онда теңдеу:

$$A\left(x,y\right)u_{xx}+2B\left(x,y\right)u_{xy}+C\left(x,y\right)u_{yy}+F\left(x,y,u,u_x,u_y\right)=0$$

 теңдеуі берілсін. A,B,C  - екі рет үзіліссіз-дифференциалданатын және бір уақытта 0-ге тең емес функциялар болсын.Егер $$B\equiv0,C\equiv0$$ болса, онда теңдеу:

$$A\left(x,y\right)u_{xx}+2B\left(x,y\right)u_{xy}+C\left(x,y\right)u_{yy}+F\left(x,y,u,u_x,u_y\right)=0$$

 теңдеуі берілсін. A,B,C  - екі рет үзіліссіз-дифференциалданатын және бір уақытта 0-ге тең емес функциялар болсын.Егер C=0,y=0 үшін B=0,y $$\ne$$ 0 үшін B $$\ne$$ 0 болса, онда теңдеу:

$$A\left(x,y\right)u_{xx}+2B\left(x,y\right)u_{xy}+C\left(x,y\right)u_{yy}+F\left(x,y,u,u_x,u_y\right)=0$$

 теңдеуі берілсін. A,B,C  - екі рет үзіліссіз-дифференциалданатын және бір уақытта 0-ге тең емес функциялар болсын.Егер теңдеу гиперболалық типті болса, онда оның сипаттаушылары:

$$A\left(x,y\right)u_{xx}+2B\left(x,y\right)u_{xy}+C\left(x,y\right)u_{yy}+F\left(x,y,u,u_x,u_y\right)=0$$

 теңдеуі берілсін. A,B,C  - екі рет үзіліссіз-дифференциалданатын және бір уақытта 0-ге тең емес функциялар болсын.Егер теңдеу параболалық типті болса, онда оның сипаттаушылары:

$$A\left(x,y\right)u_{xx}+2B\left(x,y\right)u_{xy}+C\left(x,y\right)u_{yy}+F\left(x,y,u,u_x,u_y\right)=0$$

 теңдеуі берілсін. A,B,C  - екі рет үзіліссіз-дифференциалданатын және бір уақытта 0-ге тең емес функциялар болсын.Егер теңдеу эллипсті типті болса, онда оның сипаттаушылары:

$$A\left(x,y\right)u_{xx}+2B\left(x,y\right)u_{xy}+C\left(x,y\right)u_{yy}+F\left(x,y,u,u_x,u_y\right)=0$$

 теңдеуі берілсін. A,B,C  - екі рет үзіліссіз-дифференциалданатын және бір уақытта 0-ге тең емес функциялар болсын.Оның сипаттаушылары:

$$A\left(x,y\right)u_{xx}+2B\left(x,y\right)u_{xy}+C\left(x,y\right)u_{yy}+F\left(x,y,u,u_x,u_y\right)=0$$

 теңдеуі берілсін. A,B,C  - екі рет үзіліссіз-дифференциалданатын және бір уақытта 0-ге тең емес функциялар болсын.Бұл теңдеудің сипаттаушы теңдеуі:

Трикоми теңдеуі:

Максимум принціпін аяқтаңыз: кез келген гармоникалық функция, тұрақты емес және облыстың шекарасына дейін үзіліссіз ...

Орта туралы теореманы аяқтаңыз:жазықтықтың қандай да бір нүктесінде гармоникалық функцияның мәні:

u∣_t=0= $$\phi\left(x\right)$$ ;u_t∣_t=0= $$\psi$$ (x)бастапқы шарттары бар u_tt=a²u_xxтолқындық теңдеуінің шешімі Даламбер формуласымен  ∫ $$u\left(x,t\right)=\frac{\phi\left(x-at\right)+\phi\left(x+at\right)}{2}+\frac{1}{2a}$$ $$\int_{x-at}^{x+at}\psi\left(\xi\right)d\xi$$ беріледі. Толқынның таралу жылдамдығы неге тең:

u∣_t=0= $$\phi\left(x\right)$$ ;u_t∣_t=0= $$\psi$$ (x)бастапқы шарттары бар u_tt=a²u_xxтолқындық теңдеуінің шешімі Даламбер формуласымен  ∫ $$u\left(x,t\right)=\frac{\phi\left(x-at\right)+\phi\left(x+at\right)}{2}+\frac{1}{2a}$$ $$\int_{x-at}^{x+at}\psi\left(\xi\right)d\xi$$ беріледі. Толқынның ауытқуы неге тең:

u∣_t=0= $$\phi\left(x\right)$$ ;u_t∣_t=0= $$\psi$$ (x)бастапқы шарттары бар u_tt=a²u_xxтолқындық теңдеуінің шешімі Даламбер формуласымен  ∫ $$u\left(x,t\right)=\frac{\phi\left(x-at\right)+\phi\left(x+at\right)}{2}+\frac{1}{2a}$$ $$\int_{x-at}^{x+at}\psi\left(\xi\right)d\xi$$ беріледі. Импульстің толқыны неге тең?

u=u(x;y) және v=v(x;y) функциялары шектелген  D облысында және $$\overline{D}=D\cup\Gamma$$  тұйық үзіліссіз облыста екінші ретті үзіліссі дербес туындылары бар болсын. $$n-\Gamma$$   -  қисығының сыртқы нормалі, тұйық $$\Gamma$$  қисығы оң бағытталған.∫_Г $$\left(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}\right)dl=$$  ∬_D $$\left(u\Delta v-v\Delta du\right)dxdy$$ формуласының аталуы

 T облысында $$\Delta u=0,\frac{\partial u}{\partial n}$$ ∣∑=f екінші шеттік есеп берілген, T-∑  бетпен шектелген облыс,n-∑ жүргізілген сыртқы нормалі. Есептің шешімі болатын қажетті шарт:

Егер  u(M) функциясы анықталып және $$T+\Sigma$$   тұйық облыста үзіліссіз ( $$T-\Sigma$$ бетімен шектелген облыс) болса, T облыста $$\Delta u=0$$  теңдеуін қанағаттандырса

$$u_t=a^2u_{xx};-\infty<x<\infty,t>0$$ жылуөткізгіштік теңдеуінің фундаменталды шешімі:

  $$\left|\phi\left(x\right)\right|<M$$ болсын, мұнда $$u\left(x;0\right)=\phi\left(x\right)$$ . Сонда жылуөткізгіштік теңдеуінің шешімін табу үшін   $$\frac{1}{2a\sqrt[]{\pi t}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{\left(x-\xi\right)^2}{4a^2t}}\phi\left(\xi\right)d\xi$$ формуласы:

Үш тұжырым берілген: 1) бетте үлестірілген салмақтан шыққан өрістің потенциалы, қарапайым қабаттың потенциалы түрінде беріледі; 2) екі жақты бетте үлестірілген диөрістерден құралатын өрістің потенциалы, екі қабатты потенциал түрінде беріледі; 3) екі потенциал да көлемді интегралдар. Бұл тұжырымдар: