Asimtot Fungsi dan Limit Fungsi menuju turunan

Asimtot Fungsi dan Limit Fungsi menuju Turunan Fungsi

Silahkan mengikuti pembelajaran!

Asimtot Fungsi Rasional dan Fungsi Trigonometri

Suatu garis lurus atau lengkungan yang didekati oleh suatu grafik fungsi sehingga untuk nilai-nilai x dan y yang semakin besar (kecil) garis lurus atau lengkungan dan grafik fungsi tersebut semakin berdekatan dinamakan asimtot fungsi.

Atau

Suatu garis yang terus didekati oleh kurva (garis lengkung) sampai jauh tak hingga. Asimtot itu bisa saja berpotongan dengan kurva namun selalu mendekati asimtot

Asimtot fungsi ini dapat berupa asimtot datar (garis yang sejajar sumbu X), asimtot tegak (garis yang sejajar sumbu Y), asimtot miring (garis lurus y = ax + b dengan a tak nol) dan asimtot sebarang yang berupa lengkungan.

Fungsi Rasional

• Fungsi rasional didefinisikan sebagai rasio dari dua fungsi polinomial dengan bentuk umum

   $R\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$  p(x) dan q(x) adalah fungsi-fungsi polinomial dan q(x) bukanlah fungsi polinomial yang bernilai nol.

• Jika p dan q memiliki faktor persekutuan bersama maka R(x) disebut sebagai fungsi rasional paling sederhana. Dalam penjelasan tentang fungsi rasional, jika tidak ada keterangan maka yang dimaksud pastilah fungsi rasional paling sederhana.

Asimtot Tegak (Vertikal)

 $R\left(x\right)\ =\ \frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$   memiliki asimtot tegak x=k , jika q(k)=0 dan p(k) $\ne$ 0. contoh pada  $f\left(x\right)=\ \frac{1}{x-2}$  dengan asimtot  x = 2, seperti pada gambar.

Asimtot Datar (horisontal)

Fungsi  $R\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$  memiliki asimtot datar y = h apabila  $\lim_{x\rightarrow\infty}\ R\left(x\right)=\ k\ atau\ \lim_{x\rightarrow-\infty}\ R\left(x\right)=k$  Misalnya pada fungsi  $f\left(x\right)=\frac{3x^2}{x^2+1}$  dengan asimtot datar y=3

Asimtot miring

Fungsi rasional R(x) memiliki asimtot miring apabila pangkat pada variabel pembilang lebih tinggi daripada pangkat dari variabel pada penyebut. Misalnya pada fungsi  $f\left(x\right)\ =\ \frac{-2x^2+3}{x-2}$  atau  $f\left(x\right)=-2x-4+\frac{-5}{x-2}$  memiliki asimtot miring y=-2x-4

Asimtot Fungsi trigonometri

Fungsi f(x) memiliki asimtot tegak x=k apabila memenuhi salah satu dari  $\lim_{x\rightarrow k^-}f\left(x\right)=\infty\ atau\ \lim_{x\rightarrow k^+}f\left(x\right)=\infty$  atau  $\lim_{x\rightarrow k^-}f\left(x\right)=-\infty\ atau\ \lim_{x\rightarrow k^+}f\left(x\right)=-\infty$   dan memiliki asimtot datar y =b apabila memenuhi salah satu dari   $y=\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=b\ atau\ y=\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=b$  

Contoh asimtot tegak

Fungsi y = tanx=  $\frac{\sin\ x}{\cos\ x}$  memiliki asimtot tegak yaitu  $x=...,\ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ ....$  atau  $x=\frac{\pi}{2}+n\pi,\ \ n\in B\ \left(bilangan\ bulat\right)$   

Contoh untuk asimtot datar

Fungsi   $y=\sin\ \left(\frac{1}{x}\right)$  memiliki asimtot datar   $y=\lim_{x\rightarrow\infty}\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0$  

Multiple Choice

Asismtot datar dari fungsi  

 $f\left(x\right)=\frac{x^4-5x^2+7}{x^5+x^3+1}$  adalah y = ....

• 0

• 7

• 5

• 1

• 3

Multiple Choice

 Jika 

 $f\left(x\right)=\frac{2x-2}{\sqrt{x^2-8x+16}}$ maka asimtot tegak adalah x= ... .  

• - 4

• - 3

•  $\frac{3}{4}$  

• 4

• 3

Multiple Choice

Asimtot miring dari   $f(x)=\frac{x^3+2x^2-5}{2-x^2}$  

  adalah y = ...

•  $2-x$  

•  $-2+x$  

•  $\frac{x}{2}$  

•  $-2-x$  

•  $-\frac{2}{x}$  

Fill in the Blanks

Jika $\lim_{x\rightarrow6^+}f\left(x\right)=\infty$ , maka garis _____ merupakan asimtot _____ dari grafik y = f(x).

Multiple Choice

Asimtot tegak fungsi $h\left(x\right)\ =\ \frac{\cos\ x}{\sin\ 2x}$  adalah ....

•  $x=0+k\cdot2\pi\ atau\ x=\pi+k.2\pi;\ k\in Bulat$  

•  $x=0+k\cdot2\pi\ atau\ x=\frac{\pi}{2}+k.2\pi;\ k\in Bulat$  

•  $x=0+k\cdot\pi\ atau\ x=\frac{\pi}{2}+k.\pi;\ k\in Bulat$  

•  $x=\pi+k\cdot\pi\ atau\ x=\frac{\pi}{2}+k.2\pi;\ k\in Bulat$  

•  $x=\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi\ atau\ x=\frac{\pi}{2}+k.\pi;\ k\in Bulat$  

Menentukan

 $\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$ dari suatu fungsi trigonometri f(x)

Diketahui f(x) = sin x maka   $\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$  adalah cos x. Buktikan!

Diketahui fungsi f(x) = cos x, 

diperoleh :

 $\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{\cos\left(x+h\right)-\cos\ x}{h}$   $=\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{-2\sin\ \frac{2x+h}{2}\sin\ \frac{h}{2}}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\ \left(-2\sin\ \frac{2x+h}{2}\right).\frac{\sin\ \frac{h}{2}}{h}$   $=\lim_{h\rightarrow0}\left(-2\sin\ \frac{2x+h}{2}\right)\cdot\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{\sin\ \frac{h}{2}}{h}=-2\sin x\cdot\ \frac{1}{2}=-\sin\ x$  

Multiple Choice

Jika y = f(x), maka turunan pertama dari y terhadap x didefinisikan sebagai....

• $\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{x}$

• $\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$

• $\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{f\left(h\right)}$

• $\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{f\left(x+h\right)-f\left(h\right)}{f\left(x\right)}$

• $\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{f\left(x\right)-f\left(h\right)}{h}$

Multiple Choice

turunan pertama dari y= tan x adalah y' = ....

• $\operatorname{cotan}^2x$
  

• $\operatorname{cosec}^2x$
  

• $1+\tan^2x$
  

• $\sec^2x\ +1$

• $\operatorname{cotan}^2\ x\ +1$

Poll

Apakah pembelajaran dengan slide ini cukup menantang dan dapat dimanfaatkan untuk kelanjutan materi ini pada turunan fungsi?

• ya

• tidak