Probabilidad de un evento

Probabilidad de un evento

Hallar la probabilidad de eventos teniendo en cuenta la probabilidad empírica y la probabilidad teórica. 

Conceptos

Experimento aleatorio: Es la reproducción controlada de un fenómeno donde no se puede predecir el resultado exacto antes de realizarlo.

Frecuencia absoluta: Es la cantidad de veces que se repite un evento al realizar un número determinado de experimentos aleatorios.

Ejemplo

Se lanza una moneda equilibrada seis veces, en dos de las seis veces se obtiene cara. Describa el experimento, un evento y su frecuencia absoluta.

Experimento: Consiste en lanzar la moneda.

Evento: Obtener cara

Frecuencia absoluta: 2

Open Ended

Se lanza 8 veces un dado equilibrado de seis caras. En 3 ocasiones se obtuvo dos puntos. Describa el experimento, un evento y su frecuencia absoluta.

Solución

Se lanza 8 veces un dado equilibrado de seis caras. En 3 ocasiones se obtuvo dos puntos. Describa el experimento, un evento y su frecuencia absoluta.

Experimento: Consiste en lanzar un dado.

Evento: Obtener dos puntos.

Frecuencia absoluta: 3

Open Ended

Una bolsa contiene balotas enumeradas del 1 al 10. Se extrae una balota se observa el número y se devuelve a la bolsa. Este proceso se realiza diez veces. En cinco ocasiones se extrajo la balota con el número dos. Describa el experimento, un evento y su frecuencia absoluta.

Solución

Una bolsa contiene balotas enumeradas del 1 al 10. Se extrae una balota se observa el número y se devuelve a la bolsa. Este proceso se realiza diez veces. En cinco ocasiones se extrajo la balota con el número dos. Describa el experimento, un evento y su frecuencia absoluta.

Experimento: Consiste en extraer una balota.

Evento: Obtener una balota con el número 2.

Frecuencia absoluta: 5

Probabilidad empírica:

Es la frecuencia relativa observada con la cual un evento ocurre.

 $P'\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n}$  

 $A$  Es un evento
 $n\left(A\right)$  Es la frecuencia absoluta de  $A$  
 $n$  Es el número de veces que se repite el experimento.

Ejemplo

De una baraja española se extraen siete cartas con reemplazo. De las sietes extracciones se observaron dos cartas de copas, tres cartas de espadas y dos cartas de bastos. Calcule la probabilidad empírica de obtener espadas.
 $A=$  Obtener espadas

 $n\left(A\right)=3$  
 $n=7$  
 $P'\left(A\right)=\frac{3}{7}\approx0.43$  

Open Ended

Se lanza un dado 25 veces y se obtiene tres veces cinco puntos, cuatro veces tres puntos, cinco veces cuatro puntos, seis veces seis puntos, tres veces un punto, cuatro veces dos puntos. Calcule la probabilidad empírica de obtener dos puntos y la probabilidad empírica de obtener cinco puntos.

Solución

Se lanza un dado 25 veces y se obtiene tres veces cinco puntos, cuatro veces tres puntos, cinco veces cuatro puntos, seis veces seis puntos, tres veces un punto, cuatro veces dos puntos. Calcule la probabilidad empírica de obtener dos puntos y la probabilidad empírica de obtener cinco puntos.

 $A=$  Obtener dos puntos,   $P\left(A\right)=\frac{4}{25}=0.16$   

 $B=$  Obtener cinco puntos ,  $P\left(B\right)=\frac{3}{25}=0.12$  

Conceptos

Espacio muestral: Es una lista de todos los posibles resultados de un experimento. Se denota con la letra  $S$ . 

Probabilidad teórica: Es la razón entre el número de elementos del espacio muestral que satisfacen un evento y el número de elementos en el espacio muestral.

 $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}$  
 $A$  Es un evento
 $n\left(A\right)$  Es el número de elementos que satisfacen  $A$  .
 $n\left(S\right)$  Es el número de elementos en el espacio muestral.

Ejemplo

En el lanzamiento de un dado de seis caras ¿Cuál es la probabilidad de obtener cinco puntos?

 $S=\left\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\right\}$  
 $A=$  obtener cinco puntos
 $n\left(A\right)=1$  
 $n\left(S\right)=6$  
 $P\left(A\right)=\frac{1}{6}\approx0.17$  

Multiple Choice

En el lanzamiento de una moneda ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara?

• $P\left(A\right)=\frac{1}{2}=0.5$

• $P\left(A\right)=\frac{1}{3}\approx0.33$

Ejemplo

En el lanzamiento de un dado de seis caras ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de cuatro puntos?
 $S=\left\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\right\}$  

 $A=$  Obtener más de cuatro puntos
 $n\left(A\right)=2$  
 $n\left(S\right)=6$  
 $P\left(A\right)=\frac{2}{6}\approx0.33$  

Multiple Choice

En el lanzamiento de un dado de seis caras ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de cinco puntos?

• $P\left(A\right)=0.5$

• $P\left(A\right)\approx0.67$

Ejemplo

Una bolsa contiene dos balotas de color azul, tres balotas de color negro y cinco balotas de color blanco ¿Cuál es la probabilidad de extraer una balota de color blanco?

 $S=\left\{a1,\ a2,\ n1,\ n2,\ n3,\ b1,\ b2,\ b3,\ b4,\ b5\right\}$ 
 $A=$  Obtener una balota de color blanco
 $n\left(A\right)=5$  
 $n\left(S\right)=10$  
 $P\left(A\right)=\frac{5}{10}=0.5$  

Multiple Choice

Una bolsa contiene dos balotas de color azul y tres balotas de color amarillo ¿Cuál es la probabilidad de extraer una balota de color azul?

• 1

• 0.4

• 0

• 0.5

Solución

Una bolsa contiene dos balotas de color azul y tres balotas de color amarillo ¿Cuál es la probabilidad de extraer una balota de color azul?

 $S=\left\{b1,\ b2,\ y1,\ y2,\ y3\right\}$ 
 $A=$  Obtener una balota de color azul
 $n\left(A\right)=2$  
 $n\left(S\right)=5$  
 $P\left(A\right)=\frac{2}{5}=0.4$  

Ejemplo

Escriba el espacio muestral que se obtiene al lanzar dos dados.

 $S=\left\{\left(1,1\right);\ \left(1,2\right);\ \left(1,3\right);\ \left(1,4\right);\ \left(1,5\right);\ \left(1,6\right)...\left(6,6\right)\right\}$  

Multiple Choice

Al lanzar dos dados ¿Cuál es la probabilidad de que sus dos caras sumen cinco puntos?

• $P\left(A\right)\approx0.11$

• $P\left(A\right)=0.32$

• $P\left(A\right)=0.41$

• $P\left(A\right)=0.76$

Solución

Al lanzar dos dados ¿Cuál es la probabilidad de que sus dos caras sumen cinco puntos?

 $S=\left\{\left(1,1\right),\ \left(1,2\right),\ \left(1,3\right),...,\left(6,6\right)\right\}$ 
 $A=$  Obtener una suma de cinco puntos
 $n\left(A\right)=4$  
 $n\left(S\right)=36$  
 $P\left(A\right)=\frac{4}{36}\approx0.11$