Operaciones con potencias

Operaciones con potencias

Una POTENCIA es el producto de varios factores iguales, por ejemplo, 2.2.2.2.2.2.2

Se escribe de esta manera: 2⁷,

donde al factor que se repite, en este caso el 2, se le llama BASE

y al número de veces que se repite, en este caso 7, EXPONENTE

Las potencias se escriben de igual modo y las operaciones entre ellas tienen las mismas propiedades sea cual sea el tipo de número que esté en la base:

-natural:  $2^7$  
- entero:  $\left(-2\right)^7$  
- racional:  $\left(\frac{2}{5}\right)^7$  

También el exponente puede ser un número:

- natural: $2^4\ =\ 2.2.2.2$  

- entero:  $2^{-4}=\left(\frac{1}{2}\right)^4$  
- racional:  $2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{2^3}$  

Hay ciertas operaciones que se pueden hacer entre potencias sin necesidad de calcular previamente el valor de estas potencias. Estas propiedades se cumplen sean como sean base y exponente (números naturales, enteros, racionales...)

Producto de potencias de la misma base

Para multiplicar dos potencias de la misma base, se deja la misma base y se suman los exponentes:

a^m.aⁿ = a^m+n

Ejemplo:

2³.2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷

Es fácil de comprobar:

2³.2⁴ = (2.2.2).(2.2.2.2) = 2.2.2.2.2.2.2 = 2⁷

Cociente de potencias de la misma base

Para dividir dos potencias de la misma base, se deja la misma base y se restan los exponentes:
 $a^m:a^n=a^{m-n}$  
Ejemplo:
 $2^6:2^4=2^{6-4}=2^2$  
Es fácil de comprobar:
 $2^6:2^4$   = $\frac{2.2.2.2.2.2}{2.2.2.2}=2.2=2^2$  

Potencia de una potencia

Para elevar una potencia a otra potencia se mantiene la base y se multiplican los exponentes:

 $\left(a^m\right)^n=a^{m.n}$  

Ejemplo:
 $\left(5^2\right)^3=5^{2.3}=5^6$  
Es fácil de comprobar:
 $\left(5^2\right)^3=\left(5^2\right).\left(5^2\right).\left(5^2\right)=\left(5.5\right).\left(5.5\right).\left(5.5\right)=5.5.5.5.5.5=5^6$  

Potencia de un producto 

Para hacer la potencia de un producto se multiplican las potencias de cada uno de los factores:

 $\left(a.b\right)^n=a^n.b^n$  
Ejemplo:
 $\left(2.3\right)^2=\ 2^2.3^2$  
Es fácil de comprobar:
 $\left(2.3\right)^2=\left(2.3\right).\left(2.3\right)=2.3.2.3=2.2.3.3=2^2.3^2$  

Potencia de un cociente

Para hacer la potencia de un cociente se dividen las potencias del dividendo y el divisor:

 $\left(a:b\right)^n=a^n:b^n$  
Ejemplo:
 $\left(12:4\right)^2=\ 12^2:4^2$  
Es fácil de comprobar:
 $\left(12:4\right)^2=\left(12:4\right).\left(12:4\right)=\frac{12.12}{4.4}=12^2:4^2$  

¡¡CUALQUIER REGLA QUE NO ESTÉ AQUÍ, NO EXISTE!!

NADA PARA LA SUMA, NADA PARA LA RESTA, HAY QUE OPERAR DIRECTAMENTE:

 $\left(2+3\right)^3\ne2^3+3^3$  

 $\left(2+3\right)^3=5^3=125$ 
 $2^3+3^3=8+27=35$  

Potencias de exponente 0 y 1

• cualquier potencia de exponente 1 es igual a la base: a¹=a
• cualquier potencia de exponente 0 vale 1: a⁰=1

HORA DE PRACTICAR

Multiple Choice

(10⁴)³=

• 10¹²

• 10⁷

• 100

• 10²¹

Multiple Choice

3⁶ ÷ 3², Que haría en este caso?

• Se restan los exponentes

• Se dividen los exponentes

• Se multiplican los exponentes

• Se suman las bases

Multiple Select

Selecciona las operaciones que tiene por resultado 1.

•  $1^{493}$  
  

•  $653^0$  
  

•  $32^1$  
  

•  $0^0$  
  

•  $1^0$  
  

Multiple Choice

Resolver la siguiente operación indicando el resultado con exponente positivo:

 $a^{\frac{1}{2}}\left(a^2\right)\left(a^{\frac{3}{2}}\right)=$  

•  $a^{\frac{3}{2}}$  

•  $a^4$  

•  $\frac{1}{a^4}$  

•  $a^{\frac{2}{3}}$  

Multiple Choice

Calcula 2⁰

• 1

• 0

• 2

• No se puede

Multiple Choice

Expresa como una única potencia:

[7⁴ . (7⁵ .7³)²] : (7⁶ : 7²) =

• 7²²

• 7⁶

• 7¹⁶

• 7¹⁸

Multiple Choice

Expresa como una única potencia:

(7² .7³ . 7 . 7⁴)² =

• 7¹⁸

• 7¹²

• 7⁹

• 7²⁰

Multiple Choice

Expresa como una única potencia:

9⁶ : 9² =

• 9⁴

• 9³

• 9²

• 9

Multiple Choice

Expresa como una única potencia:

4 . 4⁵ . 4³ . 4² =

• 4¹⁰

• 4¹¹

• 4³⁰

• 4⁵