Derivada 2da parte

Derivada 2da parte

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Función exponencial

La función es llamada de ese modo por que la variable x es el exponente.

 $f\left(x\right)=a^x$  
donde a es la base una constante positiva 

Propiedades de la Función exponencial

Sea  $f\left(x\right)=a^x$ si x=n 
Cuando n es entero positivo entonces  $a^n=\left(a\cdot a\cdot a\cdot...\cdot a\right)_{n\ factores}$ 
Si n=0 entonces   $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a^0=1$  
Si x=-n entonces con n entero positivo                                       
 $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a^{-n}=\frac{1}{a^n}$  
Si les racional entonces x=p/q con,q enteros y  q>0 

 $a^x=a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}=\left(\sqrt[q]{a}\right)^p$  

Leyes de los exponente

•  $a^{x+y}=a^xa^y$  

•  $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$  

•  $\left(a^x\right)^y=a^{xy}$  

•  $\left(ab\right)^x=a^xb^x$  

Multiple Choice

Encontrar el valor numérico de la función y=2^x, cuando x=0.

• y=1

• y=0

• y=0

• y=2

Número e

¿Existe una base a para la cual f(x)=a^x tenga la pendiente 1 en la inclinación de la recta tangente?

Derivada de la Función Exponencial

La definición den número e es:
 $\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^h-1}{h}=1$  

Por lo que la derivada de la función exponencial  $f\left(x\right)=e^x$ es:
 $f'\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{e^{x+h}-e^x}{h}$  
 $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left(\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{e^h-1}{h}\right)e^x=e^x$  

Por lo tanto   $\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(e^x\right)=e^x$  
 

Ejemplo 1

Sea  $f\left(x\right)=e^{\sin\left(x\right)}$  calcula  $f'\left(x\right)$  

 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(e^{\sin x}\right)=e^{\sin x}\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\sin x\right)=e^{\sin x}\cos x$  

Multiple Choice

¿Cuál es la derivada de $f\left(x\right)=x\ e^{3x^2-7x-1}$   

•  $\left(\ e^{3x^2-7x-1}\right)\left(6x-7\right)$  

•  $\left(\ e^{3x^2-7x-1}\right)\left(6x^2-7x\right)$  

•  $\left(\ e^{3x^2-7x-1}\right)\left(6x^2-7x+1\right)$  

Funciones inversas

Recordemos que dada una función $f\left(x\right)$   puede existir  $f^{-1}\left(x\right)$  siempre que cumpla que

  $f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=1$  

Para el caso de funciones trigonométricas la función inversa suele denotarse así:
 $f^{-1}\left(x\right)=\sin^{-1}x=arc\ \sin x$ 

 $\sin\left(arc\ \sin\ x\right)=arc\ \sin\ \left(\sin x\right)=x$   

Derivadas de las funciones inversas

Sea $y=arc\ \sin\ x$ válido   $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$  

Entonces  $\sin y=x=\sin\left(arc\ \sin\ x\right)$  

Derivemos sin y =x de manera implícita 
 $\cos y\ \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=1\ \longrightarrow\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{\cos\ y}$  
Como sabemos que  $\cos\ y$   es positivo entre  $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$  podemos escribir
 $\cos\ y=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{1-x^2}$  

 $\therefore\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(arc\ \sin x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$   

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

•  $\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(arc\ \sin x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$  

•  $\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(arc\ \cos x\right)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$  

•  $\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(arc\ \tan x\right)=\frac{1}{1+x^2}$  

Ejemplo 2

Deriva $f\left(x\right)=\frac{1}{arc\ \sin x}$  

Sol.

 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(arc\ \sin x\right)^{-1}=-1\left(arc\ \sin x\right)^{-2}\ \frac{d}{dx}\left(arc\ \sin x\right)$  
 $\ \ \ \ \ \ \ \ =-\frac{1}{\left(arc\ \sin x\right)^2\ \sqrt{1-x^2}}$  

Ejemplo 3

Deriva $f\left(x\right)=x\ arc\ \tan\sqrt{x}$ 
Sol.

 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=arc\ \tan\ \sqrt{x}+x\ \frac{1}{1+\left(\sqrt{x}\right)^2}\left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right)$  

 $\ \ \ \ \ \ \ \ =arc\ \tan\ \sqrt{x}+\ \frac{\sqrt{x}}{2\left(1+x\right)}$  

Multiple Choice

Deriva $y=arc\ \sin\left(x^2\right)$   

•  $\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}$  

•  $\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$  

•  $\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}$  

Funciones logarítmicas

Si $f\left(x\right)$  y  $f^{-1}\left(x\right)$  son funciones inversas, entonces  $f^{-1}\left(x\right)=y\ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ f\left(y\right)=x$  

 $\log_ax=y\ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \ \ \ a^y=x$  

 $\log_a\left(a^x\right)=x\ \ \ \ \ \forall\ x\in R$  

 $a^{\log_ax}=x\ \ \ \ \ \ \ \forall\ x\in x>0$  

Propiedades de los logarítmos

•  $\log_a\left(xy\right)=\log_ax\ +\log_ay$  

•  $\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_ax\ -\log_ay$  

•  $\log_a\left(x^r\right)=r\log_ax\ \ \ \ \ \ \ con\ r\in R$  

Logaritmo Natural

Si la base es el número e

 $\log_ex=\ln\ x$   

 $\ln x\ =y\ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ x=e^y$  
 $\ln\left(e^x\right)=x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall\ \ x\in R$  
 $e^{\ln x}=x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x>0$  

Derivada de la potencia

¿Cómo derivamos $\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(a^x\right)$  ?

 $\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(a^x\right)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(e^{\left(\ln a\right)x}\right)=e^{\left(\ln a\right)x}\ \frac{\text{d}}{\text{d}x}\ \left(\ln\ a\right)x\ \text{}$  
 $=\ e^{\left(\ln a\right)\ x}\cdot\ln a\ =a^x\ \left(\ln a\right)$  

 $\therefore\ \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(a^x\right)=a^x\left(\ln\ a\right)$  

Derivada del logaritmo

Sea  $y=\log_ax$ 
Entonces  $a^y=x$  y derivando implicitamente

 $a^y\left(\ln a\right)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=1$  

 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{a^y\ \ln a}=\frac{1}{x\ \ln a}$  

 $\therefore\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\log_ax\right)=\frac{1}{x\ \ln a}\ \ \ \ \ \ \ \ \ en\ el\ caso\ a=e\ \ \ \ \ \ \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\ln x\right)=\frac{1}{x\ }$  

Ejemplo 4

Deriva
 $f\left(x\right)=\ln\left(sen\ x\right)$  

 $\frac{\text{d}}{\text{d}x}\ln\left(\sin x\right)=\frac{1}{\sin x}\ \left(\frac{d}{dx}\ \sin x\right)=\cot\ x$  

Multiple Choice

Deriva  $f\left(x\right)=\sqrt{\ln x}$  

•  $\frac{1}{\sqrt{x}}$  

•  $\frac{1}{2x\sqrt{\ln\ x}}$  

•  $\frac{1}{2\sqrt{\ln\ x}}$