Figuri compuse - Rezolvare cu algebră

Figuri compuse - Rezolvare cu algebră

Multiple Choice

Dacă ACDE este un dreptunghi și B este un punct pe latura AC astfel încât △ BED este un triunghi echilateral cu latura 36, care este aria regiunii umbrite în diagrama de mai sus?

• $329\sqrt{2}$

• $339$

• $334$

• $324\sqrt{3}$

Explicație

Observați că lungimea [AE], notat AE, este aceeași cu înălțimea △ BED. Apoi, din raportul trigonometric al unui triunghi echilateral, avem
 $\left[AE\right]=înălțimea\ >\Delta\ BED=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot36=18\sqrt{3}.\left(1\right)$ Atunci aria  △ BED este
 $\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot36^2=324\sqrt{3}.\left(2\right)$  
Astfel, din (1) și (2), aria regiunii umbrite, notată S, este
S = (Aria dreptunghiului ACDE) - (aria △ BED)
=  $AE\cdot ED-324\sqrt{3}=18\sqrt{3}\cdot36-324\sqrt{3}=324\sqrt{3}.$  

Fill in the Blanks

Pe fiecare dintre marginile unui triunghi echilateral cu latura 28, construim un semicerc cu diametrul 28 care se extinde spre exterior. Aria figurii închise are forma  $a\sqrt{b}+c\pi,$ unde a, b și c sunt numere întregi și b nu este divizibil cu pătratul unui prim. Care este valoarea lui a + b + c?

Explicație

Triunghiul echilateral are o bază egală cu 28, iar înălțimea bisectează baza datorită simetriei. Astfel, folosind teorema lui Pitagora, putem calcula înălțimea, h, ca  $\sqrt{28^2-14^2}=14\ \sqrt{3}.$  
Prin urmare, aria triunghiului este egală cu

 $\frac{28\cdot14\sqrt{3}}{2}=196\sqrt{3}.$  

Fiecare dintre semicercuri are o suprafață egală cu  3, deci aria circulară este egală cu 3 × 98π = 294π. Ca atare, suprafața totală închisă este de  $196\sqrt{3}+294\pi,\ deci\ a+b+c=196+3+294=493.$  

Multiple Choice

Dacă latura unui octogon obișnuit este 8, care este aria octogonului?

• 128

• $128\sqrt{2}$

• $128+128\sqrt{2}$

• $196+128\sqrt{2}$

Explicație

Aria unui octogon obișnuit, așa cum se arată în diagrama de mai sus, este aria pătratului mare minus suma ariilor celor 4 triunghiuri galbene.
Aria pătratului mare este  $\left(8+4\sqrt{2}+4\sqrt{2}\right)^2=\left(8+8\sqrt{2}\right)^2$ 
 $=192+128\sqrt{2}.$  
Suma ariilor celor 4 triunghiuri galbene este de  $4\times\left(\frac{1}{2}\times4\sqrt{2}\times4\sqrt{2}\right)=64.$  
Astfel, aria octogonului dat este  $192+128\sqrt{2}-64=128+128\sqrt{2}.$  

Multiple Choice

Dacă latura unui hexagon obișnuit este de 6, care este aria hexagonului?

• $27\sqrt{6}$

• $36\sqrt{6}$

• $45\sqrt{3}$

• $54\sqrt{3}$

Explicație

Aria unui hexagon regulat este suma ariilor celor 6 triunghiuri echilaterale.
Deoarece aria unui triunghi echilateral cu lungimea laturii 6 este  $\frac{1}{2}\times6\times3\sqrt{3}=9\sqrt{3},$  aria hexagonului este de  $6\times9\sqrt{3}=54\sqrt{3}.$  

Multiple Choice

Care este aria unui inel cu raza interioară 3 și raza exterioară 8?

• $58\pi$

• $64\pi$

• $55\pi$

• $61\pi$

Explicație

Fie S aria inelului cu raza interioară 3 și raza exterioară 8, atunci

 $S=\pi\cdot8^2-\pi\cdot3^2=55\pi.$