Integration

Integration

Basic Results

 $f\left(x\right)$  ------>  $\int_{ }^{ }f\left(x\right)dx$                          note: c is a constant of integration 
 $ax^n-->a\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)+c\ ,\ n\ne-1$  
 $a-->ax+c$  
 $\sin\ x\ -->-\cos\ x+c$  
 $\sin\left(ax+b\right)-->-\frac{1}{a}\cos\left(ax+b\right)+c$  
 $\cos x\ -->\sin x+c$  
 $\cos\left(ax+b\right)-->\frac{1}{a}\sin\left(ax+b\right)+c$  
 $\left(ax+b\right)^n-->\frac{1}{a}\ \frac{\left(ax+b\right)^{n+1}}{n+1}+c,\ n\ne-1$  

Reason for c :

 $\frac{d}{dx}\left(x^2\right)=2x$  
 $\frac{d}{dx}\left(x^2+5\right)=2x$  
 $\frac{d}{dx}\left(x^2-4\right)=2x$  

 $\int_{ }^{ }a\times f\left(x\right)dx=a\int_{ }^{ }f\left(x\right)dx$  
 $\int_{ }^{ }\left(f\left(x\right)\ +-g\left(x\right)\right)dx\ =\int_{ }^{ }f\left(x\right)dx\ +-\int_{ }^{ }g\left(x\right)dx$  

Examples

2.  $\int_{ }^{ }5x^3\ dx$                            1.  $\int_{ }^{ }x^3dx$                                 $3.\int9dx$  

 $=5\int_{ }^{ }x^3\ dx$                               $=\frac{x^{3+1}}{3+1}+c$                 $=9\int x^0dx$  
 $=5\left(\frac{x^{3+1}}{3+1}\right)+c$                 $=\frac{x^4}{4}+c$                  $=9\left(\frac{x^{0+1}}{0+1}\right)+c$  
 $=5\ \left(\frac{x^4}{4}\right)+c$                     $=\frac{1}{4}x^4+c$                  $=9\left(\frac{x^1}{1}\right)+c$  
 $=\frac{5}{4}x^4+c$                                                                   $=9x+c$  

3.  $\int\frac{3}{x^3}\ dx$                           4. $\int\ \frac{6}{5x^4}dx$  

 $=\int3x^{-3}dx$                         $=\int\ \frac{6}{5}x^{-4}dx$  
 $=3\int x^{-3}dx$                       $=\frac{6}{5}\int x^{-4}dx$  
 $=3\left(\frac{x^{-3+1}}{-3+1}\right)+c$            $=\frac{6}{5}\left(\frac{x^{-4+1}}{-4+1}\right)+c$  
 $=3\left(\frac{x^{-2}}{-2}\right)+c$               $=\frac{6}{5}\left(\frac{x^{-3}}{-3}\right)+c$           
 $=-\frac{3}{2x^2}+c$                       $=\frac{-6}{5\left(3x^3\right)}+c$      $=-\frac{6}{15x^3}+c-->-\frac{2}{5x^3}+c$  

5. $\int\left(3x^2-4\sqrt{x}\right)dx$                        6. $\int\left(3x-5\right)^4dx$                 7. $\int\sqrt{3x-4}dx$  

 $=\int\left(3x^2-4x^{\frac{1}{2}}\right)dx$                   $=\frac{\left(3x-5\right)^5}{5}\times\frac{1}{3}+c$                 $=\frac{\left(3x-4\right)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\times\frac{1}{3}+c$  
 $=3\int x^2dx-4\int x^{\frac{1}{2}}dx$              $=\frac{\left(3x-5\right)^5}{15}+c$                       $=\frac{\left(3x-4\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\times\frac{1}{3}+c$  
 $=3\left(\frac{x^{2+1}}{2+1}\right)-4\left(\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right)+c$                                                       $=\frac{\left(3x-4\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{9}{2}}+c$  
 $=3\left(\frac{x^3}{3}\right)-4\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right)+c$                                                                $=\left(3x-4\right)^{\frac{3}{2}}\times\frac{2}{9}+c$  
 $=\frac{3x^3}{3}-\left(4x^{\frac{3}{2}}\div\frac{3}{2}\right)+c$                                                                $=\frac{2\left(3x-4\right)^{\frac{3}{2}}}{9}+c$  
 $=x^3-\left(4x^{\frac{3}{2}}\times\frac{2}{3}\right)+c$  
 $=x^3-\frac{8x^{\frac{3}{2}}}{3}+c$                             

9.  $\int\left(3\sin x-5\cos x\right)dx$                         11. $\int\cos\left(3x-4\right)dx$  
 $=3\int\sin x\ dx-5\int\cos\ dx$              $=\sin\left(3x-4\right)\times\frac{1}{3}+c$  
 $=3\left(-\cos x\right)-5\left(\sin x\right)+c$              $=\frac{\sin\left(3x-4\right)}{3}+c$  
 $=-3\cos x-5\sin x\ +c$  

10. $\int\left(3+5\cos x\right)dx$  
 $=3\int x^0dx+5\int\cos xdx$  
 $=3\left(\frac{x^{0+1}}{0+1}\right)+5\left(\sin\ x\right)+c$  
 $=3x+5\sin x+c$