Razmere i proporcije

Razmere i proporcije

i njihova primena

Primer

Cene različitih pakovanja vode jednog istog proizvođača date su u tabeli. Za koje se pakovanje treba opredeliti ako nam treba 10 l vode?

Odgovor

Ako ste se odlučili za pakovanje od 5 l, upravu ste. Upoređujući količinu vode i cenu dobijamo da je to najpovoljnija opcija.

Sigurno znate još ovakvih primera. U njima koristimo razmeru tj. odnos.

Razmera

Razmera je poređenje dve veličine tj. odnos dve veličine. Ona govori koliko delova jedne veličine čini drugu veličinu odnoso ima u drugoj veličini.

Definicija: Količnik (odnos) dve veličine x i y koje su različite od 0, tj. broj

 $k=x:y\ ili\ k=\frac{x}{y}$ 

naziva se razmera brojeva x i y, a k  je vrednost te razmere. U razmeri x : y veličine x i y nazivamo članovima razmere.

Primer

Neka su data 4 kvadratića, tri plava i jedan žuti. Njihov odnos možemo zapisati kao 3 : 1.
Možemo zapisati kao razlomak

 $\frac{3}{1}$ 

Čitamo ''tri prema jedan''.

Možemo čak naglasiti:
PLAVI : ŽUTI = 3 : 1

Odnos dela i celine

Razmera ne pokazuje samo odnos dva dela. Može pokazati i odnos dela i celine. Tako u prethodnom primeru ako želimo da izrazimo koliko ima žutih kvadratića u odnosu na ukupan broj kvadratića, rećićemo 1 : 4. Ili ako želimo da izrazimo odnos ukupnog broja kvadratića i plavih, rećićemo 4 : 3.

Multiple Select

Na slici su date dve vrste voća - jagode i pomorandže. U kom odnosu se nalaze pomorandže i jagode?

• 3 : 4

• 4 : 3

• 3 : 7

• 4 : 7

Multiple Select

Na slici su date dve vrste voća - jagode i pomorandže. U kom odnosu se nalaze pomorandže i jagode?

• 3 : 4

• 4 : 3

• 3 : 7

• 4 : 7

Multiple Select

Na slici su date dve vrste voća - jagode i pomorandže. Kakav je odnos pomorandži i ukupnog voća?

• 3 : 4

• 4 : 3

• 3 : 7

• 4 : 7

Multiple Select

Na slici su date dve vrste voća - jagode i pomorandže. Kakav je odnos ukupnog voća i jagoda?

• 3 : 4

• 4 : 3

• 3 : 7

• 7 : 4

Osobine razmere

Ako uvećamo broj kvadrata kao na slici videćemo da je njihov odnos 6:2. Ali ako bolje sagledamo sliku primetićemo da se odnos plave i žute površine nije promenio nego je ostao 3 : 1. Zašto?

Osobine razmere - odgovor

Vrednost razmere k = 6 : 2 = 3, ali i vrednost razmere k = 3 : 1 = 3. To nam govori da razmeru možemo proširivati i skraćivati (istim brojem) jer se njena vrednost ne menja.

Dakle, 4 : 3 je isto kao 8 : 6 (proširivanje). Ali i 12 : 15 je isto kao 4 : 5 (skraćivanje).

Ova osobina nam olakšava rad sa razmerama.

Fill in the Blanks

U receptu za palačinke stoji da se koriste 3 šolje brašna i 2 šolje mleka. Ovaj recept je za dve osobe. U kom odnosu treba staviti brašno i mleko, ako je potrebno napraviti palačinke za 8 osoba (a da i dalje budu ukusne)?

Geografske karte

Negde gde ste sigurno viđali razmeru, baš zapisanu su geografske karte.

Na slici, razmera je 1 : 400 000. Šta to tačno znači? To znači da 1 mm na karti predtsavlja 400 000 mm u prirodi.

Fill in the Blanks

Ako bi ispred sebe imali kartu u razmeri 1 : 100 000, kolika bi bila udaljenost dva grada u prirodi ako ste izmerili da je njihovo rastojanje na karti 50 mm? Razdaljinu upisti u kilometrima.

Proporcije

Definicija. Ako su razmere x : y i z : t međusobno jednake tj. k im je jednako, gde su x, y, z i t različiti od 0, onda se kaže da brojevi x, y, z, t, ovim redom, obrazuju prostu proporciju x : y = z : t. Brojevi x i t su spoljašnji (krajnji) članovi proporcije, a brojevi y i z su unutrašnji (srednji) članovi proporcije.

Dakle, proporciju čine dve razmere čija je vrednost međusobno jednaka.

Na primer, razmere 6 : 2 i 3 : 1 mogu stajati u proporciji, 6 : 2 = 3 : 1.

Multiple Select

Date su razmere 2 : 5 i 24 : 60. Da li mogu stajati u proporciji?

• DA

• NE

Osnovno svojstvo proporcije

Kada je data proporcija u kojoj je jedan od njenih članova nepoznat (nekada i dva) koristimo osnovno svojstvo proporcije kako bi ga odredili.

Osnovno svojstvo proporcije glasi: Proizvod spoljašnjih članova proporcije jednak je proizvodu unutrašnjih članova proporcije tj.

x : y = z : t akko xt = yz.

Na osnovu poslednje jednakosti, jednostavnim rešavanjem jednačine dobijamo nepoznate članove proporcije.

Fill in the Blanks

Neka je data proporcija 10 : 20 = x : 30. Odrediti nepoznati član proporcije x.

Fill in the Blanks

Neka je data proporcija 10 : 20 = 21 : x. Odrediti nepoznati član proporcije x.

Proporcija x : y = z : t ekvivalentna je jednakostima:

• y : x = t : z

• x : z = y : t

• t : y = z : x

• xp : yp = z : t, za svaki broj p različit od nule

• xp : y = zp : t, za svaki broj p različit od nule

• Navedene jednakosti nam olakšavaju rad sa proporcijama.

Multiple Select

Gitare na slici su proprcionalne. Odrediti dužinu vrata gitare tj. L.

• 4 m

• 4 cm

• 40 cm

• 40 mm

KRAJ