Початки аналізу. Похідна та її означення

Початки аналізу. Похідна та її означення

Означення похідної

Похідна - граничне відношення приросту функції до приросту її аргументу.

Спосіб обрахунку похідної

 $f'\left(x\right)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\ \frac{f\left(x+\Delta x\right)+f\left(x\right)}{\Delta x}$  

Приклад: Знайдіть значення похідної функції $y=x^2$  

 $y'=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\ \frac{f\left(x+\Delta x\right)\ -f\left(x\right)}{\Delta x}$ 

Користуючись формулою виконуємо підстановку
 $\lim_{\Delta x\rightarrow0}\ \frac{\left(x+\Delta x\right)^2-x^2}{\Delta x}\$ 

 $\lim_{\Delta x\rightarrow0}\ \frac{x^2+2x\Delta x+\Delta x^2-x^2}{\Delta x}$ 

Скорочуємо подібні значення, отримуємо наступний вигляд виразу
 $\lim_{\Delta x\rightarrow0}\ \frac{2x\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x}$ 

 $\lim_{\Delta x\rightarrow0}\ \frac{2x\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x}$ 

Виконуємо поділ на кожну частину виразу

 $\lim_{\Delta x\rightarrow0}\ 2x+\Delta x$ 

Прирівнюємо значення приросту до нуля та отримуємо значення похідної

 $y'=2x$  

Рівняння дотичної до графіку функцій

Значення кутового коефіцієнту похідної

Кутовий коефіцієнт - це значення похідної в даній точці. Наприклад:  $f'\left(x\right)=2x;\ f'\left(2\right)=2\cdot2=4\$ 

В данному випадку кутовий коефіцієнт (k) рівний значенню 4.

Кутовий коефіцієнт в радіанах

Значення кут вираховують за  $tg\left(x\right)=?$ , де значення x визначають як кут між віссю Ох та похідною.

Multiple Choice

 $y=2x^2+4x+2$  Знайдіть значення кутового коефіцієнта функції в точці 3

• 32

• -32

• 18

• -18

Multiple Choice

Знайдіть значення кутовго коефіцієнту в точці x2

• $\sqrt{3}$

• $\sqrt{2}$

• $-\sqrt{3}$

• $-\sqrt{2}$

Пошук похідних користуючись табличними значеннями

Для пошуку похідних користуючись табличними значеннями достатньо:

• Виокремити значення функції

• Знайти відповідну формулу для пошуку похідної

• Підставити відповідні значення в формулу (виконати скорочення якщо це можливо)

Приклад пошуку похідної

 $y=x^{100}$ 
 $y'=?$ 
Для пошуку похідної скористаємось формулою:  $\left(x^n\right)'=nx^{\left(n-1\right)}$ 
Отримуємо наступний результа:  $y'=100x^{\left(100-1\right)}=100x^{99}$  

Multiple Choice

 $y=2x^7+2x^6$  Знайдіть значення похідної

•  $y'=14x^6-12x^5$  

•  $y'=14x^6+13x^6$  

•  $y'=14x^7+12x^5$  

•  $y'=14x^6+12x^5$  

Multiple Choice

 $y=-2\cos x$  

Знайдіть значення похідної

•  $y'=2\sin x$  

•  $y'=-2\sin x$  

•  $y'=2\cos x$  

•  $y'=\cos2x$  

Складена функція

Обрахунок похідної складеної функції

 $y=\left(x^2+2\right)\left(x^3+3\right)$  Обрахуємо значення похідної цієї функції

 $\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)'=f'\left(x\right)g\left(x\right)+g'\left(x\right)f\left(x\right)$   - формула для обрахунку

 $f\left(x\right)=x^2+2$ ;  $g\left(x\right)=x^3+x$  

 $g'\left(x\right)=3\cdot x^2$ 

  $f'\left(x\right)\ =\ 2\cdot x$ 

Підставляємо значення в формулу:

 $y'=2x\left(x^3+3\right)+3x^2\left(x^2+2\right)$  

Multiple Choice

 $y=\left(x+1\right)\left(2x+1\right)$  

•  $y'=\left(2x+1\right)-2\left(x+1\right)$  

•  $y'=2x+1-3\left(x+1\right)$  

•  $y'=2x+1+2x+2$  

•  $y'=4x-3$  

Multiple Choice

 $y=\frac{\sin x}{\cos x}$  Знайдіть значення похідної

•  $y'=\frac{\cos x\left(-\cos x\right)+\sin x\left(-\sin x\right)}{\cos^2x}$  

•  $y'=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot\sin x}{\cos^2x}$  

•  $y'=1+tgx$  

•  $y'=1+\operatorname{ctg}x$  

Рівняння дотичної до функції

Рівняння дотичної до функції буде: значення похідної цієї функції. Отже: для того аби знайти рівняння дотичної достатньо знайти значення похідної цієї функції

Multiple Choice

 $f\left(x\right)=x^3+3x$  Знайдіть значення дотичної в x0, якщо х0=1

• -3

• 3

• -2

• 2

Multiple Choice

 $f\left(x\right)=\sin x$  знайдіть значення рівняння дотичної в точці  $х_0=\frac{\pi}{4}$  

•  $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}$  

•  $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3}{\sqrt{2}}$  

•  $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

•  $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=3\sqrt{2}$  

Дослідження функції. Точки екстремум функції.

Точки екстремум

Це такі точки в яких функція змінює свою поведінку.

Знаходження точок екстремум

Для знаходження точок екстремуму необхідно: знайти значення похідної та прирівняти його до нуля, отримані розв'язки будуть точками екстремум.  $f'\left(x\right)=0$  Та всі значення при яких рівняння не має розв'язку.

Знайти точки екстремум для функції:  $f\left(x\right)=2x^2-3x$  

• Знаходимо значення похідної:  $f'\left(x\right)=4x+3$  
  

• Прирівнюємо значення до нуля:  $4x+3=0$  
  

• Отримуємо точку екстремум  $х=-\frac{3}{4}$  
  

Дослідження функції

Скористаємось точкою екстремум що отримали в попередньому прикладі. В значення похідної підставляємо значення які будуть менше та більше аніж  $-\frac{3}{4}$  . Всі значення які менші за точку екстремуму будуть давати результат що менше нуля, це свідчить що на даному проміжку функція спадає, а всі значення що більше точки екстремуму будуть більше нуля і на даному проміжку функція зростає. З цієї інформації можемо записати: Функція  $f\left(x\right)=2x^2+3x$  спадає на проміжку від  $\left(-\infty;\ -\frac{3}{4}\right)$  та зростає на проміжку  $\left(-\frac{3}{4};\ +\infty\right)$  

Multiple Choice

 $f\left(x\right)=x^3+2x^2+3x+4$  Знайдіть точки екстремум для функції

• х=1

• х=1; х=3
  

•  $xє\theta$  

• x=2; x=-2
  

Multiple Choice

 $f\left(x\right)=3x^2-12x$  Знайдіть точки екструмуму для функції

• х=2

• х=3

• х=1

• х=0

Найбільше та найменше значення функції на проміжку

Для знаходження  $\min f\left(x\right)$   та  $\max\ f\left(x\right)$  потрібно:

• Отримати значення функції у всіх критичних точках
  

• Порівняти значення функції та визначити найбільше та найменше.
  

Визначіть найбільше та найменше значення функції  $f\left(x\right)=2x^2+3x^3$  на проміжку [-1; 1]

•  Знайдемо значення функції в крайніх точках проміжку
  

• Знайдемо похідну та дізнаємось точки екстремум
  

• Підставимо значення точок екстремуму в функцію
  

• Порівняємо всі отримані значення
  

 $1$ Визначіть найбільше та найменше значення функції   $f\left(x\right)=2x^2+3x^3$  
  на проміжку [-1; 1]

• Значення функції в точці  $f\left(-1\right)\ =\ 2\left(-1\right)^2+3\left(-1\right)^3=2-3=-1$ 
  

• Значення функції в точці  $f\left(1\right)\ =\ 2\left(1\right)^2+3\left(1\right)^3=2+3=5$  
  

• Дізнаємось значення похідної  $f'\left(x\right)=4x+9x^2$  
  

Визначіть найбільше та найменше значення функції  $f\left(x\right)=2x^2+3x^3$  на проміжку [-1; 1]

• Для знаходження точок екстремуму розв'яжемо рівняння:  $4x+9x^2=0$  
  

• Корені рівняння  $x_1=0;\ x_2=-\frac{4}{9}$  
  

• Перевіримо ці точки на можливі значення min та max функції.
  

•  $f\left(0\right)=2\left(0\right)^2+3\left(0\right)^3=0$  

•  $f\left(-\frac{4}{9}\right)=2\left(-\frac{4}{9}\right)^2+3\left(-\frac{4}{9}\right)^3=\frac{32}{81}-\frac{64}{243}=\frac{96-64}{243}=\frac{32}{243}$  

Дослідження функцій

Для дослідження функцій необхідно виконати наступні пункти для кожної функції