La circunferencia de Feuerbach o el amor a los triángulos

La circunferencia de Feuerbach o el amor a los triángulos

La geometría plana, a pesar de su aparente sencillez, esconde auténticas maravillas. Y, en concreto, la geometría del triángulo es tremendamente rica en sorpresas geométricas, hechos inesperados que la convierten en una rama de las matemáticas digna de ser estudiada en profundidad.

El tema que nos ocupa hoy puede ser considerado como una de esas “sorpresas”. Vamos a explicarlo detenidamente, pasa así poder percibir todos los detalles de esta maravilla de la geometría plana.

Tomamos un triángulo plano cualquiera, el que sea, y marcamos en él los puntos medios de cada uno de sus lados. Podemos ahora dibujar una circunferencia que pase por esos tres puntos.

Hasta ahora poca sorpresa, ya que por tres puntos no alineados pasa una única circunferencia. Vamos, lo normal.

Dibujamos ahora las tres alturas del triángulo, que son los tres segmentos que van desde cada uno de los vértices a la recta a la que pertenece el lado opuesto a dicho vértice y que son perpendiculares a esa recta. Si marcamos ahora los tres puntos de intersección de estas alturas con las rectas opuestas, se tiene que “curiosamente” dichos puntos también están en la circunferencia anterior.

Multiple Choice

Los segmentos que van desde cada uno de los vértices a la recta a la que pertenece el lado opuesto a dicho vértice y que son perpendiculares a esa recta reciben el nombre de:

• Mediatrices

• Bisectrices

• Alturas

• Medianas

Aquí la cosa comienza a ser interesante. Como hemos dicho, que tres puntos no alineados estén en una circunferencia es obligatorio, pero que sean ya seis puntos los que caen en la misma circunferencia tiene su gracia. Pero aún hay más.

Como muchos habréis advertido, las tres alturas que hemos dibujado se cortan en un punto, que se denomina ortocentro. Bien, localizado el ortocentro marquemos ahora los puntos medios entre este punto y cada uno de los vértices. Obtenemos así tres nuevos puntos…¡¡que también están en la circunferencia anterior!!

Multiple Choice

El punto donde las tres alturas de un triángulo se cortan recibe el nombre de:

• Ortopédico

• Ortogonio

• Ortodoxo

• Ortocentro

Ya no son tres (lo normal) ni seis (interesante) los puntos calculados que caen en la misma circunferencia, sino nueve. El interés se torna ahora en sorpresa y, por qué no, en incredulidad. Pues no hay razón para ser incrédulo en este caso. Dicha circunferencia se denomina circunferencia de los nueve puntos, y el hecho de que esos nueves puntos caigan en dicha circunferencia es un teorema matemático (vamos, que tiene su demostración).

Pero no queda ahí la cosa. Tenemos una circunferencia a la que pertenecen nueve puntos que podemos agrupar en tres grupos de tres puntos dependiendo de la manera en la que los hemos encontrado. Pero lo que tenemos es una circunferencia. ¿Y cuál es el punto más representativo de una circunferencia? Pues, posiblemente, es el centro. ¿Por dónde caerá el centro de nuestra interesante circunferencia? ¿Estará por ahí, digamos, situado aleatoriamente? ¿O, por el contrario, tendrá alguna relación con el triángulo?

Recordáis que teníamos calculado el ortocentro del triángulo, ¿verdad? Pues vamos a calcular otro punto relacionado con un triángulo. Trazamos las mediatrices de cada lado del triángulo (son las rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por los puntos medios de los mismos), y advertimos que las tres se cortan en un único punto. Ese punto se denomina circuncentro.

Multiple Choice

Las rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por los puntos medios de los mismos reciben el nombre de:

• Mediatrices

• Bisectrices

• Alturas

• Medianas

Multiple Choice

El punto donde las tres mediatrices de un triángulo se cortan recibe el nombre de:

• Circuncentro

• Circunspecto

• Circunvecino

• Circunyacente

Bien, pues se da la circunstancia de que el centro de la circunferencia de los nueve puntos es, exactamente, el punto medio del segmento que une el ortocentro con el circuncentro. No solamente en nuestro triángulo, ni en un triángulo con unas características específicas, sino en todos los triángulos. ¿No os parece hermoso?

La circunferencia de los nueve puntos también es conocida como la circunferencia de Feuerbach, porque el matemático alemán Karl Feuerbach (hermano del filósofo Ludwig Feuerbach) descubrió que la circunferencia pasaba por los puntos medios de los lados y también por los cortes de las alturas (los seis primeros puntos que hemos comentado en la construcción anterior).

Multiple Choice

La circunferencia de los nueve puntos también es conocida como la circunferencia de:

• Feu Vert

• Feutre

• Feuerbach

• Faubert

La circunferencia de Feuerbach también se conoce con el nombre de circunferencia de Euler (aunque parece ser que no hay razones significativas para atribuir a Euler algo relacionado con este resultado). El primero que descubrió que la circunferencia también pasa por los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices fue el matemático francés Olry Terquem.

Como habéis podido comprobar, no hay ninguna duda de que esta circunferencia de Feuerbach es uno de los objetos geométricos más interesantes que se pueden encontrar en geometría plana.

Además del ortocentro y circuncentro, un triángulo tiene otros dos puntos característicos. Los cuatro reciben el nombre de puntos notables.

Una mediana de un triángulo es un segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Por tanto, un triángulo cualquiera tiene tres medianas. Bien, pues se da la circunstancia de que esas tres medianas se cortan en un único punto, que se denomina baricentro del triángulo. 

Multiple Choice

El segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto reciben el nombre de:

• Mediatriz

• Bisectriz

• Altura

• Mediana

Desde mi punto de vista, este baricentro es el punto que con más razón podría llevar el título de centro del triángulo, pero no es el único, ni mucho menos. 

La bisectriz de un ángulo es la línea que divide dicho ángulo en dos ángulos iguales. Podríamos entonces trazar las bisectrices de los tres ángulos del triángulo y ver qué pasa. Si lo hacemos, vemos que las tres bisectrices se cortan también en un único punto, que se denomina incentro del triángulo. Su nombre se debe a que es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

Multiple Choice

El punto donde las tres bisectrices de un triángulo se cortan recibe el nombre de:

• Circuncentro

• Baricentro

• Ortocentro

• Incentro

Un hecho soprendente es que el ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo son colineales. Esto significa que, independientemente de cuál sea el triángulo inicial, ortocentro, baricentro y circuncentro están siempre en la misma recta.

Dicha recta tiene nombre: recta de Euler o línea de Euler, ya que fue el gran Leonhard Euler quien demostró este hecho por primera vez.

Una de esas cosas que tanto 'molan' de las mates es que se cumple que la distancia del baricentro al circuncentro es la mitad de la distancia del baricentro al ortocentro.

Más cosas curiosas

En un triángulo acutángulo (con sus tres ángulos agudos), el circuncentro, el incentro, el baricentro y el ortocentro se encuentran siempre en el interior del triángulo.

En un triángulo rectángulo (con un ángulo recto, de 90º), el incentro y el baricentro se encuentran en el interior del triángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto, y el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa.

En un triángulo obtusángulo (con un ángulo obtuso, mayor de 90º), el incentro y el baricentro se encuentran en el interior del triángulo, y el ortocentro y el circuncentro están en el exterior del triángulo.

La recta de Euler pasa también por el incentro en los triángulos isósceles (con dos lados y dos ángulos iguales). Da igual que sean acutángulos, rectángulos u obtusángulos.

Y, por último, el circuncentro, el incentro, el ortocentro y el baricentro coinciden en los triángulos equiláteros (con sus tres lados y sus tres ángulos iguales).

Multiple Choice

El circuncentro, el incentro, el ortocentro y el baricentro coinciden en los triángulos:

• rectángulos

• isósceles

• equiláteros

• escalenos