Viernes 23 abril

Otro Ejemplo

 $y'=\frac{y+x\cos^2\left(\frac{y}{x}\right)}{x}$ 

Pasos generales

• Reescribir para que diga  $M\left[x,y\right]dx\ +\ N\left[x,y\right]dy=0$  

• ¿Cuál es más simple?

• Hacer el cambio de variable.

• Simplificar

• Integrar

• Vamos por pasos:

Multiple Choice

Reescribir $y'=\frac{y+x\cos^2\left(\frac{y}{x}\right)}{x}$ 

•  $\left(y+x\cos^2\left(\frac{y}{x}\right)\right)dx-xdy=0$  

•  $xdx+\left(y+x\cos^2\left(\frac{y}{x}\right)\right)dy=0$  

•  $\left(y+x\cos^2\left(\frac{y}{x}\right)\right)dx+xdy=0$  

Reescribir  $y'=\frac{y+x\cos^2\left(\frac{y}{x}\right)}{x}$  

•  $\frac{dy}{dx}=\frac{y+x\cos^2\left(\frac{y}{x}\right)}{x}$  

•  $xdy=\left(y+x\cos^2\left(\frac{y}{x}\right)\right)dx$  

•  $\left(y+x\cos^2\left(\frac{y}{x}\right)\right)dx-xdy=0$  

Multiple Choice

¿Cuál es el cambio de variable para 

 $\left(y+x\cos^2\left(\frac{y}{x}\right)\right)dx-xdy=0$ 

•  $y=xu$  

•  $x=yu$  

Multiple Choice

Aplicando  $y=xu$  a la ecuación

 $\left(y+x\cos^2\left(\frac{y}{x}\right)\right)dx-xdy=0$  

•  $x\cos^2u\ dx-x^2du\ =0$  

•  $x^2udx+x\cos^2\left(u\right)dx-x^2du-xudx=0$  

•  $xu+x\cos^2u\ dx-x^2dx-xu\ dx=0$  

Aplicando el cambio  $y=xu$ 

•  $\left(y+x\cos^2\left(\frac{y}{x}\right)\right)dx-x\ dy=0$  

•  $\left(xu+x\cos^2\left(\frac{xu}{x}\right)\right)dx-x\left(x\ du+u\ dx\right)=0$  

•  $\left(xu+x\cos^2\left(u\right)\right)dx-x^2\ du-xu\ dx=0$  

•  $xu\ dx+x\cos^2u\ dx-x^2du-xu\ dx=0$  

•  $x\cos^2u\ dx-x^2\ du=0$  

Multiple Choice

Integrando  $x\cos^2u\ dx-x^2du=0$  

•  $\int\frac{1}{x}dx=\int\sec^2u\ du$  

•  $\int\frac{1}{x}du=\int\cos^2u\ dx$  

•  $\int\frac{1}{x}dx=\int\cos^2u\ du$  

•  $\int x\ dx\ =\ \int\sec^2u\ du$  

¿Qué debemos integrar?

•  $x\cos^2u\ dx-x^2\ du=0$  

•  $x\cos^2u\ dx=x^2du$  

•  $\frac{x}{x^2}dx=\frac{1}{\cos^2u}du$  

•  $\frac{1}{x}dx=\sec^2u\ du$  

•  $\int\frac{1}{x}dx=\int\sec^2u\ du$  

Multiple Choice

¿Cuáles fueron las integrales de  $\int\frac{1}{x}dx=\int\sec^2u\ du$  

•  $\ln\left(xc\right)=\tan\left(\frac{y}{x}\right)$  

•  $\ln\left(x+c\right)=\tan\left(\frac{y}{x}\right)$  

•  $\ln\left(xc\right)=\tan\left(\frac{x}{y}\right)$  

•  $\ln\left(xc\right)=\sec\left(\frac{y}{x}\right)$