Sudut Antara Dua Vektor

Sudut Antara Dua Vektor

Muh. Rais

Open Ended

Masih ingatkah kamu dengan rumus perkalian skalar dua vektor pada pertemuan sebelumnya?

coba tuliskan rumus perkalian skalar dua vektor yang telah anda pelajari!

Sudut antara dua vektor

• pada pembahasan sebelumnya, telah dipelajari bahwa :  $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|\ \cos\ \theta$  

• dengan  $\theta=\angle\left(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}\right)$ dan $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=p\cdot x+q\cdot y+r\cdot z$  

• maka :  $\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|\ \cos\ \theta=p\cdot x+q\cdot y+r\cdot z$  

•  $\Longleftrightarrow\cos\ \theta=\frac{p\cdot x+q\cdot y+r\cdot z}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}$  

•  $\cos\ \theta=\frac{p\cdot x+q\cdot y+r\cdot z}{\sqrt{\left(p^2+q^2+r^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}}$  

•  $\ \theta=\cos^{-1}\left[\frac{p\cdot x+q\cdot y+r\cdot z}{\sqrt{\left(p^2+q^2+r^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}}\right]$  

Rumus Sudut Antara Dua Vektor

Berdasarkan Pembahasan tadi maka dapat disimpulkan bahwa rumus mencari besar sudut antara dua vektor adalah : $\theta=\cos^{-1}\ \left[\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}\right]$  atau  $\theta=arc\ \cos\ \left[\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}\right]$  

Menghitung Besar Sudut Antara Dua Vektor

Untuk Lebih memahami tentang cara menghitung besar sudut antara dua vektor, mari kita pelajari bersama contoh berikut ini:

Contoh 1:

Diketahui $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ dan $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+6\overrightarrow{k}$ , hitunglah besar sudut antara  $\overrightarrow{a}$ dan $\overrightarrow{b}$  

Pembahasan:

• Ingat Rumusnya :   $\theta=\cos^{-1}\left[\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}\right]$  

•  $\theta=\cos^{-1}\left[\frac{2\cdot2\ +\ \left(-2\right)\cdot3\ \ +\ 1\cdot6}{\sqrt{\left(2^2+\left(-2\right)^2+1^2\right)}\cdot\sqrt{\left(2^2+3^2+6^2\right)}}\right]$  

•  $\theta=\cos^{-1}\left[\frac{4-6+6}{\sqrt{9}\cdot\sqrt{49}}\right]\Longleftrightarrow\theta=\cos^{-1}\left[\frac{4}{3\cdot7}\right]$  

•  $\theta=\cos^{-1}\left[\frac{4}{21}\right]\Longleftrightarrow\ \theta\approx79\degree$  (Menggunakan kalkulator/tabel)

Contoh 2:
Titik-titik sudut $\Delta PQR$  adalah  $P\left(5,\ 7,-5\right),\ Q\left(4,\ 7,\ -3\right),\ R\left(2,\ 7,\ -4\right).$  tentukan besar sudut antara vektor  $\overrightarrow{QP}$ dan $\overrightarrow{QR}$  

• Pembahasan:  $\overrightarrow{QP}=P-Q=\left(5-4,\ 7-7,\ -5-\left(-3\right)\right)=\left(1,\ 0,\ -2\right)$   $\overrightarrow{QR}=R-Q=\left(2-4,\ 7-7,\ -4-\left(-3\right)\right)=\left(-2,\ 0,\ -1\right)$  

•  $\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}=1\cdot\left(-2\right)+0\cdot0+\left(-2\right)\cdot\left(-1\right)$   $\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}=-2+0+2\ \Longleftrightarrow\ \overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}\ =0$  

•  $\left|\overrightarrow{QP}\right|=\sqrt{1^2+0^2+\left(-2\right)^2}\Longleftrightarrow\left|\overrightarrow{QP}\right|=\sqrt{1+0+4}\Longleftrightarrow\left|\overrightarrow{QP}\right|=\sqrt{5}$   $\left|\overrightarrow{QR}\right|=\sqrt{\left(-2\right)^2+0^2+\left(-1\right)^2}\Longleftrightarrow\left|\overrightarrow{QR}\right|=\sqrt{4+0+1}\Longleftrightarrow\left|\overrightarrow{QR}\right|=\sqrt{5}$  

•  $\theta=\cos^{-1}\left[\frac{\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}}{\left|\overrightarrow{QP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{QR}\right|}\right]=\cos^{-1}\left[\frac{0}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}\right]=\cos^{-1}\left[0\right]\Longleftrightarrow\ \theta=90\degree$ Jadi besar sudut antara vektor  $\overrightarrow{QP}\ dan\ \overrightarrow{QR}$  adalah  $90\degree$  

Poll

Bagaimana, setelah anda mempelajari 2 contoh tadi tentang menghitung besar sudut antara dua vektor, apakah anda sudah bisa menghitung sendiri besar sudut antara dua vektor?

• Belum

• Masih Ragu

• Bisa

• Sangat Bisa

Latihan

Besar sudut antara dua vektor

Untuk Menguji Pemahaman dan Memperdalam Pengetahuan anda tentang besar sudut antara dua vektor, silahkan kerjakan soal berikut ini!

jangan lupa, soalnya dipindahkan ke buku anda untuk dikerjakan dan hasilnya dikumpulkan kepada guru mata pelajaran dalam bentuk jawaban essai.

Multiple Choice

Diketahui vektor  $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$  dan  $\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k}$ . Besar sudut antara  $\overrightarrow{a}\ \ dan\ \ \overrightarrow{b}$  adalah . . . . . 

•  $135\degree$  

•  $120\degree$  

•  $90\degree$  

•  $60\degree$  

•  $45\degree\$  

Multiple Choice

Diketahui titik $A\left(1,\ 0,\ -2\right),\ B\left(2,\ 1,\ -1\right),\ \ dan\ \ C\left(2,\ 0,\ -3\right).$  Sudut antara vektor  $\overrightarrow{AB}$  dengan  $\overrightarrow{AC}$  adalah . . . . . 

•  $30\degree$  

•  $45\degree$  

•  $60\degree$  

•  $90\degree$  

•  $120\degree$  

Selesai

Terima Kasih, Anda sudah menyelesaikan Pertemuan Hari ini.

Semoga apa yang anda pelajari hari ini dapat bermanfaat bagi anda dimasa yang akan datang.

Sampai Jumpa dipertemuan Selanjutnya, jangan lupa selalu jaga kebersihan dan kesehatan anda.

Assalamu'alaikum Wr. Wb.