Probabilités composées

Probabilités composées

Etudier l'enchainement et combinaison de probabilités

Et & Ou mathématiques

• Lorsqu'on utilise le mot "et" en mathématiques, c'est un adjectif exclusif. Il faut que les deux choses soient vraies en même temps pour que ça marche

• Lorsqu'on utilise le mot "ou" en mathématiques, il est inclusif. Il suffit que l'une des deux choses soient vraies pour que la

Exemple

• Si je dis l'evenement est "Je pioche une carte de tête ET une carte qui est rouge" il faut que je pioche une carte qui est une tête (roi,dame,valet) et une carte qui est rouge (coeur ou diamant) en même temps

• Si je dis l'evenement est "Je pioche une carte de tête OU une carte qui est rouge" n'importe quelle carte qui est rouge ou qui est une tête correspond à l'évènement

Fill in the Blank

Exemple: Déterminez la probabilité de l'évènement "Je pioche une carte de tête (K,Q,V) ET une carte qui est rouge (coeur /diamant)" Rappel, il y à 52 cartes dans le jeu

Explication

Dans ce cas, l'évènement correspond aux cartes qui sont des têtes et rouges au même temps. Il y à 6 têtes rouges dans le jeu (3 de diamant et trois de coeur) donc 6/52

Fill in the Blank

Exemple: Déterminez la probabilité de l'évènement "Je pioche une carte de tête (K,Q,V) OU une carte qui est rouge (coeur /diamant)" Rappel, il y à 52 cartes dans le jeu

Explication

Dans ce cas, il fallait choisir n'importe quelle carte rouge ou n'importe quelle tête. Donc toutes les cartes rouges (26 carte) et toutes les têtes (12 cartes).

Mais ATTENTION: Il y à 6 têtes que nous avons deja compté dans les cartes rouges (les têtes rouges). Nous avons donc 26 cartes rouges + 6 têtes noires, donc la probabilité est de 32/52

Language de composition

Quand on utilise "et" & "ou" dans l'étude des probabilities, c'est pour exprimer une composition de deux évènements

"Je pioche une carte de tête ET une carte qui est rouge"

C'est une composition des l'évènements

-A: Je pioche une carte qui est une tête

-B: Je pioche une carte qui est rouge

Notation mathématique de ces concepts

• On note Ω l'univers des issues d'une experience aléatoire: C'est l'ensemble de toutes les éventualité

• Si A et B sont deux évènements de Ω on note A∪B l'union des évènements A et B. A∪B se réalise lorsque n'importe quelle éventualité de A ou B se réalise

• Si A et B sont deux évènements de Ω on note A∩B l'intersection des évènements A et B. A∩B se réalise lorsque une éventualité qui est dans A et B au même temps se réalise

Représentation avec un diagramme de VENN

Calcul de probabilités

• La probabilité de l'événement A ou B se note P(A∪B) et P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

• La probabilité de l'événement A et B se note P(A∩B). Le calcul complet de cette probabilité est hors programme mais vous pouvez le déterminer intuitivement

• Dans les cas ou A et B n'ont pas d'influence l'un sur l'autre (A et B sont indépendants) P(A∩B)=P(A)xP(B). Ce type de cas intuitifs sont au programme (exemple lancer de deux dés)

• C'est ce type de relation qui apparaît nottament dans les arbres de probabilités

Fill in the Blank

La probabilité d'avoir une panne moteur (A) dans l'avion est de $\frac{1}{10000}$  

La probabilité d'avoir une panne hydraulique (B) dans l'avion est de  $\frac{1}{5000}$  

La probabilité d'avoir une panne hydraulique et dans le moteur en même temps  est de   $\frac{1}{100000}$  
Calculer P(A∪B)

Explication

Application directe de la formule P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

 $\frac{1}{10000}+\frac{1}{5000}-\frac{1}{100000}=\frac{10}{100000}+\frac{20}{100000}-\frac{1}{100000}$  

 $=\frac{29}{100000}$  

Fill in the Blank

Je lance deux dés a six faces parfaitement équilibrés. Quelle est la probabilité d'obtenir un 6 dans chacun des deux dés

(J'obtiens un 6 dans le premier dé et un 6 dans le second dé)

Explication

Dans ce cas, le résultat du premier dé n'affecte pas le deuxième. vous êtes dans une situation simple ou la formule P(A∩B)=P(A)xP(B) est applicable.

 $P(A∩B)=\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$