Razones y Proporciones

Razones y Proporciones

Razón. Es el cociente entre 2 cantidades, donde el numerador recibe el nombre de antecedente y el denominador de consecuente.

Razón

Para las cantidades a, b en la razón  $\frac{a}{b}$   o  a : b con b ≠ 0, a recibe el nombre de antecedente y b el de consecuente.

Multiple Choice

¿Una razón es el cociente entre 2 cantidades, donde el numerador recibe el nombre de antecedente y el denominador de consecuente?

• Verdadero

• Falso

Ejemplos

En la razón  $\frac{7}{4}$ , 7 es el antecedente y 4 es el consecuente.
En la razón 2 : 3 (se lee 2 es a 3), 2 es el antecedente y 3 es el consecuente.

Multiple Choice

 $\frac{3}{10}$  

En la razón anterior ¿Cuál es el antecedente?

• 3

• 10

Multiple Choice

 $\frac{8}{3}$  En la razón anterior ¿cuál es el consecuente? 

• 8

• 3

Razón de proporcionalidad.

Si a y b son 2 cantidades directamente proporcionales, la razón  $\frac{a}{b}$    recibe el nombre de razón de proporcionalidad, la cual siempre es constante.

Ejemplo

Si 18 libros de ciencia cuestan $1260, la razón de proporcionalidad  es 70, ya que  $\frac{1260}{18}=70$   

Proporción

Es la igualdad entre 2 razones.
 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$  o a/b=c/d o bien a:b::c:d con b ≠ 0 y d ≠ 0
La expresión se lee a es a b como c es a d, a y d son los extremos, b y c son los medios.

Multiple Choice

Proporción no es la igualdad entre dos razones.

• Verdadero

• Falso

Ejemplo

3 es a 6 como 8 es a 16, se escribe 3/6=8/16.

Al simplificar cada fracción se obtiene 1/2, la razón de proporcionalidad

En una proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios:
  $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$  o  a/b=c/d
entonces a⋅d = b⋅c con b ≠ 0 y d ≠ 0

Multiple Choice

En una proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios

• Verdadero

• Falso

Ejemplo

Para la proporción
  $\frac{5}{4}=\frac{20}{16}$  o  5/4=20/16
se tiene que (5)(16) = (4)(20) = 80.

En una proporción un extremo es igual al producto de los medios dividido por el extremo restante, es decir:
  $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$   o   a/b=c/d
entonces
a=(b∙c)/d     o     d=(b∙c)/a

Multiple Choice

En una proporción un extremo no es igual al producto de los medios dividido por el extremo restante, es decir

• Verdadero

• Falso

EJEMPLO

En la proporción 
 $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$  o  2/3=10/15
se tiene que 2=((10)(3))/15   y 15=((10)(3))/2

Halla el valor de m en la siguiente proporción
 $\frac{m}{5}=\frac{24}{30}$  o  m/5=24/30

Solución

m es un extremo en la proporción, entonces:

m=((5)(24))/30

Por tanto, m = 4

¿Cuál es el valor de b en la siguiente proporción    $\frac{7}{2}=\frac{10}{b}$  o    7/2=10/b?

Solución

b es uno de los extremos en la proporción, por lo tanto:

b=((2)(10))/7=20/7

Por consiguiente, b= 20/7

Multiple Choice

 $\frac{a}{6}=\frac{7}{2}$  Para la proporción anterior ¿cuál es el valor de a?

•  $\frac{1}{21}$  

•  $21$  

•  $\frac{14}{6}$  

En una proporción un medio es igual al producto de los extremos dividido por el medio restante, es decir:
 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$  o   a/b=c/d
entonces      b=((a)(d))/c  o   c=((a)(d))/b

Multiple Choice

En una proporción un medio es igual al producto de los extremos dividido por el medio restante

• Verdadero

• Falso

En la proporción  2/7=6/21, se tiene que:

7=((2)(21))/6     y    6=((2)(21))/7

¿Cuál es el valor de c en la proporción   $\frac{5}{4}=\frac{c}{28}$ ?

Solución
c es un medio de la proporción, entonces:
 $c=\frac{5\times28}{4}=35$   c=(5)(28)/4=35
Por tanto, c = 35

Multiple Choice

 $\frac{8}{5}=\frac{x}{10}$  En la proporción anterior ¿cuál es el valor de x?

• 16

•  $\frac{5}{80}$  

•  $\frac{1}{16}$  

Media proporcional (media geométrica)

A una proporción de la forma:
 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$          b ≠ 0 , c ≠ 0
Se le llama proporción geométrica y se dice que b es media proporcional (geométrica) entre a y c. La media proporcional
es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Multiple Choice

La media proporcional

es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos

• Verdadero

• Falso

En la proporción  $\frac{4}{8}=\frac{8}{16}$  , se tiene que:

 $\sqrt{\left(4\right)\left(16\right)}=\sqrt{4}\times\sqrt{16}=\left(2\right)\left(4\right)=8$  

Calcula el valor de m en la proporción  $\frac{9}{m}=\frac{m}{4}$  o    9/m=m/4

Solución m es la media proporcional de 9 y 4, entonces:  $c=\sqrt{\left(9\right)\left(4\right)}=\left(3\right)\left(2\right)=6$    Por tanto, m = 6

¿Cuál es la media proporcional entre 4 y 6?

Solución
La proporción es 4/b=b/6  donde b es la media proporcional, por lo tanto:

 $b=\sqrt{\left(4\right)\left(6\right)}=\sqrt{24}=\sqrt{8\times3}=\sqrt{2^2\times2\times3}=2\sqrt{6}$  Por consiguiente, la media proporcional entre 4 y 6 es 2  $\sqrt{6}$  

Encuentra la media geométrica entre 0.375 y 0.5.

 $0.375\times\frac{1000}{1000}=\frac{375}{1000}=\frac{75}{200}=\frac{15}{40}=\frac{3}{8}$ 

  $\ \ \ \ \ \ \ \ \ 0.5\times\frac{10}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$  

Se halla la media proporcional c en:

 $\frac{\frac{3}{8}}{c}=\frac{c}{\frac{1}{2}}$  de donde   $c\ =\sqrt{\left(\frac{3}{8}\right)\left(\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{\frac{3}{16}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$  Por tanto, la media proporcional entre 0.375 y 0.5 es  $\frac{1}{4}\sqrt{3}$      

Multiple Choice

Hallar la media proporcional entre 16 y 25

• 20

• $\frac{4}{5}$

• $\frac{5}{4}$

• 400

Capitulo 8-Ejercicio 78- Página 135