Bangun Ruang

by Viktor Manao

​Bangun Ruang

Jarak titik ke titik adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan titik-titik tersebut.

​Dalam geometri, jarak dua bangun didefinisikan sebagai panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan dua titik pada bangun-bangun tersebut.

Konsep Jarak Titik ke Titik​

​JARAK TITIK KE TITIK DALAM RUANG BIDANG DATAR

Untuk lebih memahami materi ini perhatikan beberapa maslah yang disajikan :

Masalah 1.

Bangun berikut merepresentasikan kota-kota yang terhubung dengan jalan. Titik

merepresentasikan kota dan ruas garis merepresentasikan jalan yang

menghubungkan kota.

​Faisal berencana menuju kota C berangkat dari kota A. Tulis kemungkinan rute yang ditempuh Faisal dan tentukan panjang rute-rute tersebut. Rute manakah yang terpendek? Menurut pendapat kalian berapa jarak antara kota A dan C? Beri alasan untuk jawaban kalian. Nah, untuk menjawab masalah di atas, kita akan membuat analisis kemungkinan rute yang bisa dilalui Faisal berikut ini.

1. ​A → C jarak tempuh 30 km

2. ​A → B → C jarak tempuh 39 km

3. A → D → C​ jarak tempuh 45 km

4. A → B → D → C​ jarak tempuh 68 km

5. A → D → B → C​ jarak tempuh 30 km

​Dari analisis yang dibuat di atas tampak bahwa rute terpendek dari Kota A ke Kota C adalah rute yang pertama: A → C sepanjang 30 km.

​Jadi, jarak antara kota A dan kota C adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan antara kota A dan C, yaitu rute A → C sepanjang 30 km.

Masalah 2

​Diketahui dua lingkaran seperti pada gambar berikut. Titik A, B, C, D, dan E terletak

pada lingkaran L1 dan titik P, Q, R, S, dan T terletak pada lingkaran L2. Ruas garis

manakah yang mewakili jarak antara kedua lingkaran tersebut?

​Nah, untuk menjawab pertanyaan di atas perlu kalian ketahui bahwa dalam geometri, jarak dua bangun didefinisikan sebagai panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan dua titik pada bangun-bangun tersebut. Coba kalian perhatikan ruas garis-ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran L1 dan L2, manakah ruas garis terpendek? Jika CR adalah ruas garis terpendek di antara semua ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran tersebut, maka ruas garis CR disebut jarak antara lingkaran L1 dan lingkaran L2.

​Nah, dari dua masalah di atas kita dapat menyimpulkan jarak antara dua titik seperti berikut ini.

​“Jarak titik ke titik adalah panjang ruas garis

terpendek yang menghubungkan titik-titik

tersebut.”

Contoh :

​Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 20 cm. Hitunglah jarak antara titik-titik berikut.

​a. B ke F

b. A ke D

c. G ke H

d. A ke C

e. H ke B

f. G ke titik tengah AB

​Jawab:

a. Jarak titik B ke F diwakili oleh panjang ruas garis (rusuk) BF. Jadi, jarak titik B ke F adalah 20 cm.

b. Jarak titik A ke D diwakili oleh panjang ruas garis (rusuk) AD. Jadi, jarak titik A ke D adalah 20 cm.

​c. Jarak titik G ke H diwakili oleh panjang ruas garis (rusuk) GH. Jadi, jarak titik G ke H adalah 20 cm.

d. Jarak titik A ke C diwakili oleh panjang ruas garis AC. Ruas garis AC merupakan diagonal bidang alas ABCD. Berdasarkan Teorema Pythagoras diperoleh hubungan:

AC2 = AB2 + BC2 (Teorema Pythagoras)

= 202 + 202(panjang AB = BC = 20 cm)

= 400 + 400

= 400 x 2

AC = √400 × 2 = 20√2 (√400 × 2 = √400 × √2 = 20√2 )

Jadi, jarak titik A ke C adalah 20√2 cm.

​

​e. Jarak titik H ke B diwakili oleh panjang ruas garis HB. Ruas garis HB merupakan diagonal ruang kubus ABCD.EFGH.

​Dari gambar di atas, kita perhatikan bahwa segitiga BDH adalah segitiga siku-siku di D. Ruas garis BD adalah diagonal bidang alas ABCD, sehingga BD = AC = 20√2 cm (hasil perhitungan pada bagian d).

​Perhatikan segitiga BDH, berdasarkan Teorema Pythagoras diperoleh hubungan:

HB2 = BD2 + DH2 (Teorema Pythagoras)

= (20√2)2 + 202 (panjang BD = 20√2 cm dan rusuk DH = 20 cm)

= 800 + 400

= 1200 = 400  3

HB = √400 × 3 = 20√3

Jadi, jarak titik H ke B adalah 20√3 cm.

​f. Misalkan P adalah titik tengah AB. Jarak titik G ke titik tengah AB diwakili oleh panjang ruas garis GP seperti ditunjukkan pada gambar berikut.

​kita perhatikan bahwa segitiga BGP adalah segitiga siku-siku di B. Ruas garis BG adalah diagonal bidang alas BCGF, sehingga BG = 20√2 cm

(panjang BG = AC = BD, semuanya adalah diagonal bidang kubus ABCD.EFGH).

Perhatikan segitiga BGP, berdasarkan Teorema Pythagoras diperoleh hubungan:

GP2 = BG2 + BP2 (Teorema Pythagoras)

= (20√2)2 + 102 (panjang BD = 20√2 cm dan rusuk DH = 20 cm)

= 800 + 100

= 900

GP = √900 = 30

Jadi, jarak titik G ke P titik tengah AB adalah 30 cm.

LATIHAN​

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Hitunglah jarak antar

titik-titik berikut.

a. titik A dan G

b. titik D dan F

c. titik B dan titik tengah garis EG

d. titik E dan titik tengah garis BG

​

​SELAMAT BEKERJA

​