Compunerea funcțiilor

Compunerea funcțiilor se referă la aplicarea punctuală a unei funcții la alta, care produce o a treia funcție. Când compunem funcția f cu g, obținem f∘g. Uneori (f∘g)(x) este, de asemenea, notat ca f(g(x)).

Existența compunerii

​

Soluție

Trebuie să găsim (f∘g)(x) pentru x = 1, 2, 3, 4:

(f∘g) (1) = f( 2) = 3

(f∘g) (2) = f(1) = 1

(f∘g) (3) = f(4) = 4

(f∘g)(4) = f(3) = 2. ​

Astfel f∘g = { (1,3), (2,1), (3,4), (4,2) }.​

Multiple Choice

Luați în considerare funcțiile f:R→R și g:R→R date de f(x) = x² + 2x și g(x) = x+1. Cât este (f∘g) (x)?

• x² + 4x - 3

• x² + 4x + 3

• x² - 4x + 3

• x² - 4x - 3

Soluție

Avem

(f ∘ g) (x) = f ( x+1) = (x+1)² + 2(x+1) = x² + 2x + 1 + 2x + 2 = x² + 4x + 3.​

Soluție

Dacă fabrica funcționează 8 ore în fiecare zi, cantitatea de scaune produse este M (8). Dacă M(8) scaune au fost vândute, atunci profitul lunar este P \( M ( 8)).​

Notă: În general, știm că profitul lunar al funcționării t ore în fiecare zi este P( M(t)).

Multiple Choice

Luați în considerare funcțiile f:R₊→R₊ și g:R₊→R₊ dată de f(x) = x+1 și $$g\left(x\right)=\frac{1}{x}.$$   C

Cât este (f∘g)(x) și (g∘f)(x)?

• $$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\frac{x}{x+1}$$ $$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\frac{1}{x}$$  

• $$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\frac{x+1}{x}$$ $$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\frac{1}{x}$$  

• $$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\frac{x+1}{x}$$ $$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\frac{1}{x+1}$$  

• $$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\frac{x}{x+1}$$ $$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\frac{1}{x+1}$$  

Soluție

Multiple Choice

Întrebare bonus: Dacă f:R→R și g:R→R sunt definite de f(x) = 2x² + 3 și g(x) = 3x - 2, atunci găsiți

1) (f∘g) (x)

2) (g∘f)(x)

3) (f∘f)(0).

• (f∘g)(x) = 18x² - 24x + 11,

  (g∘f) (x) = 7x² + 6,

  (f∘f)(0) = 21.

• (f∘g)(x) = 18x² - 24x + 1,

  (g∘f) (x) = 6x² + 7,

  (f∘f)(0) = 21.

• (f∘g)(x) = 18x² - 24x + 11,

  (g∘f) (x) = 6x² + 7,

  (f∘f)(0) = 11.

• (f∘g)(x) = 18x² - 24x + 11,

  (g∘f) (x) = 6x² + 7,

  (f∘f)(0) = 21.

Soluție întrebare bonus

Avem

1) (f∘g)(x) = f(g(x)) = f(3x - 2) = 2(3x - 2)² + 3 = 2(9x² - 12x + 4) + 3

= 18x² - 24x + 11

2) (g∘f) (x) = g(f(x)) = g(2x² + 3) = 3(2x² + 3) - 2 = 6x² + 7

3) (f∘f)(0) = f(f(0)) = f(2⋅0 + 3) = f(3) = 2⋅3² + 3 = 21. ​​

Codomeniul lui g nu se află în domeniul lui f

Soluție

Imaginea lui g(x) este mulțimea numerelor reale, care nu este o submulțime al domeniului lui f(x). Prin urmare, trebuie să restricționăm domeniul lui g(x). Solicităm acest lucru 0≤g(x)≤1, sau că 0≤x−1≤1, ceea ce implică 1≤x≤2.

Pe acest domeniu restricționat, avem (f∘g)(x) = f ( x-1) = x-1 + 1 = x.

Prin urmare f∘g : [1,2] →[ 1,2], (f∘g)(x)=x.​

Multiple Choice

Luați în considerare funcțiile $$f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-3x+2}$$   și g(x) = x -1. Cât este f∘g?

• $$\frac{1}{x^2-x}$$  

• $$\frac{1}{x^{ }-1}$$  

• $$\frac{1}{x^2+x}$$  

• $$\frac{1}{x^{ }+1}$$  

Soluție

Multiple Choice

Luați în considerare funcțiile $$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt[]{x-4}}$$  ​ și g:R→R dată de g(x) = x²-12. Cât este f∘g?

• $$\frac{1}{x^2-16}$$  

• $$\frac{1}{\sqrt[]{x^2-16}}$$  

• $$\frac{1}{\sqrt[]{x^2+16}}$$  

• $$\frac{1}{x^2+16}$$  

Soluție

Multiple Choice

Luați în considerare funcțiile $$f\left(x\right)=\ln\left(\sqrt[]{x-4}-1\right)$$   și $$g\left(x\right)=\frac{1}{x}.$$   Cât este f∘g?

• $$\ln\left(\sqrt[]{\frac{1}{x}-2}+1\right)$$  

• $$\ln\left(\sqrt[]{\frac{1}{x}-2}-1\right)$$  

• $$\ln\left(\sqrt[]{\frac{1}{x}-4}-1\right)$$  

• $$\ln\left(\sqrt[]{\frac{1}{x}-4}+1\right)$$  

Soluție

Soluție

Soluție întrebări bonus

Avem

​1) (g∘f∘f) (3) = g[f(f(3))] = g[f(18 + 3)] = g[f(21)] = g(2⋅21² + 2) = g(885) = 3⋅885 - 2 = 2653

2) (h∘g∘f) (x) = h[g(f(x))] = h[g(2)] = h[4] = 2⋅4 = 8.​​

Compunerea funcției iterate

Dacă mulțimea valorilor posibile ale unei funcții este o submulțime al domeniului unei funcții, atunci putem compune această funcție cu ea însăși. Dacă da, folosim f² (x) pentru a indica (f∘f) (x). În general, spunem că fⁿ (x) e f compus cu sine de n ori, adică

​

​O funcție care satisface f²(x) = x se numește involuție. Aceasta înseamnă că funcția este propriul său invers.

Soluție

Avem

f(x) = x + 1

f² (x) = f( x + 1) = x + 1 + 1 = x + 2

f³ (x) = f(x + 2) = x+2 + 1 = x + 3. ​

Acest lucru sugerează cu tărie că fⁿ (x) = x+ n, pe care o putem demonstra folosind inducția.​

Multiple Choice

Luați în considerare funcția $$f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-1}\left(x\ne\pm1\right).$$   Atunci găsiți (f∘f∘f) (x) și (f∘f∘f∘f) (x).

• (f∘f∘f) (x) = $$\frac{x-1}{x+1},$$  

  (f∘f∘f∘f)(x)​ = -x.

• (f∘f∘f) (x) = $$\frac{x+1}{x-1},$$  

  (f∘f∘f∘f)(x)​ = -x.

• (f∘f∘f) (x) = $$\frac{x-1}{x+1},$$  

  (f∘f∘f∘f)(x)​ = x.

• (f∘f∘f) (x) = $$\frac{x+1}{x-1},$$  

  (f∘f∘f∘f)(x)​ = x.

Soluție

Multiple Choice

Bonus întrebare : Luați în considerare problema anterioară. Dacă $$f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+1},$$  atunci găsiți f³(x) și f⁴(x).

• f³(x) = $$-\frac{x+1}{x-1},$$  

  f⁴(x) = -x.

• f³(x) = $$-\frac{x+1}{x-1},$$  

  f⁴(x) = -x.

• f³(x) = $$-\frac{x+1}{x-1},$$  

  f⁴(x) = x.

• f³(x) = $$\frac{x+1}{x-1},$$  

  f⁴(x) = x.

Soluție întrebare bonus

Multiple Choice

Luați în considerare funcția g:R₊→R₊ dată de $$g\left(x\right)=\frac{1}{x}.$$   Cât este gⁿ (x)?

Soluție

​Astfel, avem

​

Soluție

h(g(f(x)))=h(x)⇒g(f(x))=x⇒f(x)=18⇒x=4

Bibliografie

Compoziția funcției. Brilliant.org. 09:26, 20 septembrie 2022, de la https://brilliant.org/wiki/functions-composition/