bismillah

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

1

Kegiatan Belajar 1

Mengenal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Mari kita mulai pembelajaran ini dengan mengamati permasalahan berikut.

Uraian Materi

Pada Masalah 1.1, kita diminta untuk menentukan harga satuan dari

nasi kuning, pundut nasi, dan lapat. Tahukah kamu bagaimana

menyelesaikan masalah tersebut?

Warung Acil Idah menjual berbagai kue dan makanan khas

Banjar. Ia biasanya berjualan dari pagi sampai siang hari. Saat pagi,

makanan yang banyak dicari orang untuk sarapan adalah nasi kuning,

pundut nasi, dan lapat, seperti pada Gambar 1.1, 1.2, dan 1.3 berikut.

Seorang pembeli membeli 1 bungkus nasi kuning, 2 buah pundut nasi,

dan 2 buah lapat dan membayar Rp30.000. Pembeli berikutnya

membeli 2 bungkus nasi kuning, 1 buah pundut nasi, dan 3 buah lapat

dan membayar Rp37.000. Pembeli yang lain membeli 1 bungkus nasi

kuning, 3 buah pundut nasi, dan 4 buah lapat dan membayar Rp46.000.

Tentukan harga satuan masing-masing makanan tersebut.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

2

Untuk menyelesaikan masalah tersebut, kita perlu membuat model

matematikanya. Lalu bagaimana cara membuat model matematika dari

suatu permasalahan?

Baik, pertama-tama mari kita analisis Masalah 1.1 di atas. Kita

identifikasi informasi apa saja yang diketahui, informasi apa yang

tidak diketahui, dan apa yang ditanyakan.

Diketahui:

▪Harga 1 bungkus nasi kuning, 2 buah pundut nasi, dan 2 buah lapat

adalah Rp30.000.

▪Harga 2 bungkus nasi kuning, 1 buah pundut nasi, dan 3 buah lapat

adalah Rp37.000.

▪Harga 1 bungkus nasi kuning, 3 buah pundut nasi, dan 4 buah lapat

adalah Rp46.000.

Tidak diketahui dan ditanyakan:

▪Harga 1 bungkus nasi kuning

▪Harga 1 buah pundut nasi

▪Harga 1 buah lapat

Pada permasalahan tersebut, terdapat 3 nilai yang tidak diketahui,

yaitu harga satuan nasi kuning, pundut nasi, serta lapat. Jika kamu ingat

kembali materi bentuk aljabar, nilai yang tidak diketahui tersebut dapat kita

simbolkan dengan satu huruf tertentu, seperti 𝑎, 𝑏, 𝑥, atau 𝑦, yang disebut

variabel. Nah, karena ada 3 nilai yang tidak diketahui, maka kita perlu 3

huruf untuk mewakili ketiga nilai yang tidak diketahui tersebut. Misalkan

kita pilih:

𝑥 untuk mewakili harga 1 bungkus nasi kuning,

𝑦 untuk mewakili harga 1 buah pundut nasi,

𝑧 untuk mewakili harga 1 buah lapat.

Oke, sekarang informasi yang diberikan pada soal dapat kita konversi

ke dalam bentuk aljabar. Diketahui:

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

3

harga 1 nasi kuning + harga 2 pundut nasi + harga 2 lapat = Rp30.000

harga 2 nasi kuning + harga 1 pundut nasi + harga 3 lapat = Rp37.000

harga 1 nasi kuning + harga 3 pundut nasi + harga 4 lapat = Rp46.000

Jika kita konversi pernyataan di atas ke dalam bentuk aljabar dan ruas

kanan kita ubah ke ribuan, maka didapatkan:

𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 30

2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 37

𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 46

Perhatikan bahwa bentuk aljabar di atas menggunakan tanda sama

dengan, artinya bentuk tersebut merupakan persamaan. Perhatikan juga

pangkat dari variabelnya tidak ada yang lebih dari satu dan tidak ada

perkalian variabel, artinya persamaan tersebut adalah persamaan linear.

Kemudian, karena ada tiga variabel dan ada lebih dari satu persamaan yang

saling berkaitan, maka disebut sistem persamaan linear tiga variabel.

Jadi Masalah 1.1 dapat kita modelkan ke dalam sistem persamaan

linear tiga variabel (SPLTV) seperti berikut.

{

𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 30
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 37
𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 46

Penulisan kurung kurawal buka untuk menunjukkan bahwa bentuknya

adalah suatu sistem persamaan, bukan tiga persamaan yang saling terpisah.

Dari uraian di atas, kamu pasti sudah dapat mengetahui ciri-ciri dari

sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Secara singkat, sistem

persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan

linear dengan tiga variabel.

Bentuk umumSPLTV yaitu:

{

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2
𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

4

dengan 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑑1, 𝑑2, 𝑑3, 𝑥, 𝑦, dan𝑧 ∈ ℝ (himpunan

bilangan real); 𝑎1, 𝑏1, dan 𝑐1 tidak sekaligus ketiganya 0; 𝑎2, 𝑏2, dan 𝑐2 tidak

sekaligus ketiganya 0; 𝑎3, 𝑏3, dan 𝑐3 tidak sekaligus ketiganya 0; dan 𝑥, 𝑦, 𝑧

suatu variabel.

Untuk lebih memahami definisi SPLTV, perhatikan contoh berikut.

Dari dua contoh di atas, diharapkan kamu sudah mampu

membedakan antara SPLTV dan yang bukan. Mari kita kembali lagi ke

permasalahan yang kita hadapi di awal. Kita sudah mendapatkan model

matematika dari permasalahan tersebut, yaitu sebuah sistem persamaan

linear tiga variabel. Tentu tujuan utama kita adalah menemukan pemecahan

Diketahui tiga persamaan 2𝑥 + 5𝑦 − 3𝑧 = 8; 𝑥 − 3𝑦 = −4; 𝑧 = 2.

Ketiga persamaan linear tersebut membentuk SPLTV, karena dapat

kita tuliskan dalam bentuk

{

2𝑥 + 5𝑦 − 3𝑧 = 8
𝑥 − 3𝑦 + 0𝑧 = −4
0𝑥 + 0𝑦 + 𝑧 = 2

Misal diberikan tiga persamaan 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0; 𝑥2+ 𝑦3= 4; 2𝑥𝑦 + 𝑧 =

3. Ketiga persamaan tersebut tidak dapat membentuk SPLTV, karena

persamaan

kedua

dan

ketiga

bukanlah

persamaan

linear.

Perhatikan pada persamaan kedua, pangkat𝑥 dan 𝑦lebih dari 𝟏.

Adapun pada persamaan ketiga, dalam satu suku ada perkalian dua

variabel𝑥𝑦, sehingga bukan termasuk persamaan linear.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

5

dari permasalahan tersebut. Namun pada bab ini, kita hanya membahas

mengenai

pengertian

SPLTV serta

bagaimana

memodelkan

suatu

permasalahan ke dalam bentuk SPLTV. Cara menyelesaikan SPLTV akan

kita bahas pada bab berikutnya.

Di atas sudah dipaparkan mengenai cara mendapatkan model

matematika dari suatu permasalahan. Agar kamu lebih memahami cara

membuat model matematika dari suatu masalah, perhatikan contoh berikut.

Acil Nisa merupakan seorang produsen kue tradisional khas

Kalimantan Selatan. Salah satu kue yang sering ia buat adalah kue

bingka. Bingka adalah kue atau wadai khas suku Banjar, Kalimantan

Selatan, yang memiliki cita rasa manis dan legit serta bertekstur

lembut. Bingka biasanya dimasak dengan cara dipanggang pada

cetakan berbentuk bunga, seperti terlihat pada Gambar 1.4 berikut,

Suatu hari Acil Nisa mendapat pesanan 50 buah bingka. Bingka yang

dipesan terdiri dari 3 jenis, yaitu bingka kentang, bingka tapai (tape),

dan bingka waluh (labu).

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

6

Banyak bingka kentang yang dipesan 2 buah lebih banyak daripada

banyak bingka tapai, tetapi 4 buah lebih sedikit daripada 2 kali banyak

bingka waluh. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut

untuk menentukan banyaknya pesanan dari masing-masing jenis

bingka tersebut.

Penyelesaian:

Untuk membuat model matematika dari masalah di atas,

langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah memisalkan nilai

yang tidak diketahui dengan variabel. Pada masalah di atas, nilai

yang tidak diketahui yaitu banyak bingka kentang, bingka tapai, dan

bingka waluh yang dipesan. Sehingga dapat kita misalkan seperti

berikut:

𝑥 untuk banyak bingka kentang,

𝑦 untuk banyak bingka tapai,

𝑧 untuk banyak bingka waluh.

Langkah berikutnya adalah mengidentifikasi informasi yang

diberikan

pada

masalah,

dan

menuliskannya

dengan

notasi

matematika.

Diketahui:

Banyak bingka kentang + banyak bingka tapai + banyak bingka

waluh = 50

Banyak bingka kentang = banyak bingka tapai + 2

Banyak bingka kentang =2 × banyak bingka waluh– 4

Setelah itu, kita ubah bentuknya ke dalam bentuk aljabar

menggunakan variabel yang sudah kita tentukan.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

7

Rangkuman

Maka kita dapatkan tiga buah persamaan:

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 50

𝑥 = 𝑦 + 2

𝑥 = 2𝑧 − 4

Lebih lanjut, model matematika dari masalah di atas dapat kita

tuliskan sebagai berikut.

{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 50

𝑥 − 𝑦 = 2

𝑥 − 2𝑧 = −4

❖ Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah suatu

sistem persamaan linear dengan tiga variabel. SPLTV memiliki

bentuk umum:

{

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2
𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3

dengan 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑑1, 𝑑2, 𝑑3, 𝑥, 𝑦, dan𝑧 ∈ ℝ

(himpunan bilangan real); 𝑎1, 𝑏1, dan 𝑐1 tidak sekaligus ketiganya

0; 𝑎2, 𝑏2, dan 𝑐2 tidak sekaligus ketiganya 0; 𝑎3, 𝑏3, dan 𝑐3 tidak

sekaligus ketiganya 0; dan 𝑥, 𝑦, 𝑧 suatu variabel.

❖ Sistem persamaan artinya terdapat lebih dari satu persamaan

(SPLTV biasanya terdiri atas tiga persamaan). Linear artinya

variabelnya

berpangkat

1. Tiga

variabel

artinya

dalam

keseluruhan sistem terdapat tiga variabel.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

8

Latihan 1

Jawablah semua soal berikut dengan menyertakan langkah-langkah

penyelesaiannya!

1.Tentukanlah apakah persamaan-persamaan yang diberikan berikut

dapat membentuk suatu sistem persamaan linear tiga variabel. Berikan

alasanmu.

(a)2𝑥 + 𝑦 = 5; 3𝑥 − 𝑧 = −4; 𝑦 + 2𝑧 = 3

(b)𝑥2+ 𝑥 = 1; 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7; 𝑥 − 𝑧 = 1

(c)2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10; 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 6

(d)

2

𝑥−1+ 𝑦 = 𝑧; 2𝑥𝑦 + 𝑧 = 1; 2𝑥 + 4√𝑥 = 𝑦𝑧

2.Pisang merupakan salah satu buah yang sering dijadikan berbagai olahan

kue di Indonesia, termasuk di daerah Kalimantan Selatan. Salah satu

jenis pisang yang sering digunakan masyarakat suku Banjar di

❖ Banyak permasalahan kontekstual yang dapat dimodelkan ke

dalam bentuk SPLTV. Untuk memodelkan masalah yang

berkaitan dengan SPLTV, langkah-langkah yang dapat dilakukan

yaitu:

(1) mengidentifikasi nilai-nilai yang tidak diketahui,

(2) memisalkan nilai-nilai yang tidak diketahui ke dalam variabel,

(3) Mengidentifikasi pernyataan dalam soal yang berupa sebuah

persamaan.

(4) Mengonversi persamaan dalam soal yang dinyatakan dalam

kalimat sehari-hari menjadi sebuah kalimat matematika,

yakni persamaan linear.

(5) Menyusun persamaan-persamaan linear menjadi sistem

persamaan linear tiga variabel.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

9

Kalimantan Selatan untuk membuat berbagai jenis kue adalah pisang

talas, yang ditunjukkan pada Gambar 1.5. Pisang talas dapat diolah

menjadi berbagai kue khas Banjar, seperti amparan tatak, pais pisang,

dan lempeng pisang, seperti pada Gambar 1.6, 1.7, dan 1.8 berikut.

Untuk membuat 1 loyang amparan tatak, 10 pais pisang, dan 5 lempeng

pisang diperlukan 17 buah pisang talas. Adapun untuk membuat 1 loyang

amparan tatak, 15 pais pisang, dan 8 buah lempeng pisang diperlukan 22

buah pisang talas. Sementara untuk membuat 2 loyang amparan tatak,

25 pais pisang, dan 10 lempeng pisang diperlukan 36 buah pisang talas.

Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut untuk

menentukan banyak pisang masing-masing yang diperlukan untuk

membuat 1 loyang amparan tatak, 1 pais pisang, dan 1 lempeng pisang.

3.Pak Herman sehari-hari bekerja sebagai pembuat kalalapon (klepon).

Kalalapon merupakan penganan khas Martapura yang berbahan dasar

ketan yang diberi isian gula merah dan ditaburi parutan kelapa.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

10

Kalalapon biasanya berbentuk bulat-bulat kecil berwarna hijau, seperti

terlihat pada Gambar 1.9 berikut.

Pak Herman memasarkan kalalapon buatannya dalam kemasan kotak

dengan tiga ukuran berbeda. Hari ini ia membuat 500 buah kalalapon,

yang dikemas menjadi 15 kotak ukuran kecil, 10 kotak ukuran sedang,

dan 8 kotak ukuran besar. Banyak kalalapon dalam 1 kotak ukuran kecil,

1 kotak ukuran sedang, dan 1 kotak ukuran besar berjumlah 50 buah.

Sementara jumlah kalalapon dalam 4 kotak ukuran kecil sama dengan

jumlah kalalapon dalam 1 kotak ukuran sedang dan 1 kotak ukuran

besar. Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut untuk

menentukan banyaknya kalalapon dalam masing-masing kemasan.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

11

Tes Formatif 1

Berilah tanda silang pada pilihan jawaban yang menurutmu paling

tepat!

1.Di antara pilihan berikut, yang merupakan sistem persamaan linear tiga

variabel adalah ....

A.{

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
𝑥 + 𝑧 + 𝑤 = −2
𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 0

B.{

𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 10

2𝑎 − 𝑏 = 6

𝑏2+ 4𝑐 = −2

C.{

𝑥 − 𝑥𝑦 − 𝑧 = 1

−𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 5
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −2

D.{

𝑝 + 𝑞 − 𝑟 = 8
𝑝 − 𝑟 + 𝑟 = −4

2𝑝 + 3𝑟 = 0

E.{

2𝑝 + 𝑟 = 12

𝑝 − 𝑟 = 5

3𝑝 − 2𝑟 = 2

2.Sistem persamaan berikut yang merupakan sistem persamaan linear tiga

variabel adalah ....

A.{

2√𝑥 + 𝑦 = 𝑧
2

𝑥−1+

𝑥

𝑦+ 𝑧 = 2

𝑥 + 𝑦 = 3

B.൜10𝑥 − 𝑦 = 6

3𝑥 + 4𝑦 = 8

C.{

2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 9
−4𝑥 + 2𝑧 = 11

𝑥 = 2𝑦 − 𝑧

D.{

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −5
𝑥𝑦 + 2𝑦 − 𝑧 = 1

𝑥2𝑦 = 𝑧

E.{

𝑥 + 𝑦 = 2
𝑦 + 𝑧 = −3
𝑧 − 𝑤 = 1

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

12

3.Di antara pilihan berikut, yang bukan merupakan sistem persamaan

linear tiga variabel adalah ....

A.{

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 7

2𝑥 = 5

B.൜
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0

𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 10

C.{

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −6

−𝑥 + 2𝑧 = 3

√3𝑦 = −5

D.{

𝑥 + 𝑦 = 2𝑧

𝑥 + 2𝑥2= 𝑦𝑧
2

𝑥− 𝑦 = 𝑧 + 1

E.{

1

2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5

𝑥 − 𝑦 = 2
𝑥 + 3𝑧 = 7

4.Bu Ani menjual berbagai macam wadai khas Banjar di warungnya, di

antaranya yaitu wadai untuk, wadai cincin, dan wadai cucur, seperti pada

Gambar 1.10, 1.11, dan 1.12 berikut.

Sari membeli 2 wadai untuk, 2 wadai cincin, 1 wadai cucur seharga

Rp10.000 di warung Bu Ani. Di warung yang sama, Desi membeli 1 wadai

untuk, 3 wadai cincin, dan 2 wadai cucur seharga Rp13.000. Di situ juga

ada Doni yang membeli 2 wadai untuk, 1 wadai cincin, dan 1 wadai cucur

seharga Rp7.500. Model matematika yang sesuai dengan deskripsi di atas

adalah ....

A.{

𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 10000
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 13000

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7500

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

13

B.{

2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 13000
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 10000

2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7500

C.{

𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 13000
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 10000

2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7500

D.{

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7500

3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 10000
2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13000

E.{

𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13000
2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 10000

2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7500

5.Pak Harun adalah seorang pedagang buah-buahan lokal. Jenis buah yang

ia jual biasanya berbeda-beda tergantung ketersediaannya. Hari ini ia

menjual tiga jenis buah, yaitu buah kapul, mundar, dan maritam, seperti

terlihat pada Gambar 1.13, 1.14, dan 1.15 berikut.

Total berat buah yang ia jual adalah 18 kg dan jika terjual semua maka

ia akan mendapat pemasukan sebesar Rp450.000. Diketahui harga 1 kg

kapul adalah Rp20.000, harga 1 kg mundar adalah Rp25.000, sementara

harga 1 kg maritam adalah Rp35.000. Total berat kapul yang dijual sama

dengan 2 kali berat maritam. Model matematika yang sesuai berdasarkan

cerita tersebut adalah ....

A.{

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 18

4𝑥 + 5𝑦 + 7𝑧 = 180

𝑥 = 2𝑧

B.{

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 18

4𝑥 + 5𝑦 + 7𝑧 = 90

2𝑥 = 𝑧

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

14

C.{

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 18

4𝑥 + 5𝑦 + 7𝑧 = 90

𝑥 = 2𝑧

D.{

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 18

4𝑥 + 5𝑦 + 7𝑧 = 180

2𝑥 = 𝑧

E.{

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 18

4𝑥 + 5𝑦 + 7𝑧 = 150

𝑥 = 2𝑧

Cocokkan jawaban kamu dengan kunci jawaban Tes Formatif 1 yang

terdapat pada bagian akhir modul ini. Hitunglah tingkat penguasaan

kamu berdasarkan rumus berikut.

Tingkat Penguasaan =banyak jawaban benar

5
× 100%

Jika tingkat penguasaan kamu mencapai 80% atau lebih, kamu dapat

melanjutkan ke Kegiatan Belajar 2. Namun jika tingkat penguasaan

kamu di bawah 80%, kamu harus mempelajari kembali materi

Kegiatan Belajar 1.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

15

Kegiatan Belajar 2

Cara Menyelesaikan Persamaan Linear Tiga Variabel

Pada bab sebelumnya kamu sudah mempelajari apa itu SPLTV dan

bagaimana menentukan model matematika dari masalah yang berkaitan

dengan SPLTV. Pada bab ini kita akan belajar bagaimana cara

menyelesaikan SPLTV. Mari kita mulai dengan mencermati masalah

berikut.

Soto Banjar adalah salah satu makanan khas Kalimantan

Selatan yang sangat terkenal. Soto Banjar merupakan soto ayam yang

bumbunya diperkaya dengan rempah-rempah seperti biji pala,

cengkih, dan kayu manis. Soto Banjar biasanya disajikan bersama

potongan ketupat, irisan telur rebus, suwiran ayam, irisan wortel,

potongan perkedel, bihun, irisan daun seledri, bawang goreng, serta

irisan jeruk nipis/jeruk purut, seperti terlihat pada Gambar 2.1

berikut.

Di warung soto Bang Ardi, satu porsi soto Banjar dihargai Rp15.000.

Pelanggan dapat pula memesan lauk tambahan seperti sate ayam,

tambahan telur rebus, atau tambahan perkedel.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

16

Uraian Materi

Untuk menyelesaikan masalah tersebut, maka langkah pertama kita

adalah membuat model matematikanya. Didapat model matematika dari

masalah tersebut yaitu:

{

5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 12500

3𝑥 + 1

2 𝑦 + 2𝑧 = 8000

4𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10000

di mana 𝑥 adalah harga 1 tusuk sate, 𝑦 adalah harga 1 butir telur rebus, dan

𝑧 adalah harga 1 buah perkedel.

Perhatikan bahwa pada Masalah 2.1 kita diminta untuk menentukan

harga masing-masing 1 tusuk sate, 1 butir telur rebus, dan 1 buah perkedel.

Artinya kita diminta menentukan nilai 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 yang memenuhi sistem

persamaan yang kita dapat dari soal, yakni SPLTV.

Penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

berupa triplet bilangan berurutan, dapat ditulis (𝒙, 𝒚, 𝒛), dengan 𝑥, 𝑦, dan

𝑧 secara berurutan adalah nilai untuk variabel pertama, kedua, dan ketiga

sehingga setiap persamaan pada SPLTV bernilai benar. Suatu sistem

persamaan linear tiga variabel, memiliki tiga kemungkinan penyelesaian: (1)

satu penyelesaian, (2) banyak penyelesaian, atau (3) tidak ada penyelesaian.

Harga soto ditambah 5 tusuk sate, 1 butir telur rebus, dan 2 buah

perkedel adalah Rp27.500. Harga soto ditambah 3 tusuk sate, ½ butir

telur rebus, dan 2 buah perkedel adalah Rp23.000. Adapun harga soto

ditambah 4 tusuk sate, 1 butir telur rebus, dan 1 buah perkedel adalah

Rp25.000. Tentukan harga masing-masing 1 tusuk sate, 1 butir telur

rebus, dan 1 buah perkedel.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

17

Setelah memahami bagaimana bentuk penyelesaian dari SPLTV,

selanjutnya kita akan belajar metode-metode yang dapat digunakan untuk

menentukan penyelesaian tersebut.

Untuk menentukan penyelesaian SPLTV, ada tiga metode yang

dapat digunakan: (1) metode eliminasi, (2) metode substitusi, dan (3)

metode gabungan eliminasi-substitusi. Pada praktiknya, metode

gabungan lebih sering digunakan karena lebih cepat dan efisien. Namun

untuk paham metode gabungan, tentu kamu harus paham dulu masing-

masing metode eliminasi dan substitusi dalam menyelesaikan SPLTV.

Berikut akan dijabarkan bagaimana langkah-langkah metode

eliminasi dan substitusi serta gabungan untuk menyelesaikan SPLTV.

Metode Eliminasi

Metode eliminasi pada SPLTV dasarnya sama saja dengan metode

eliminasi pada SPLDV. Bedanya hanya pada SPLTV, umumnya diperlukan

dua tahap eliminasi untuk mendapatkan satu nilai variabel, karena kita

harus mengeliminasi 2 variabel.

Prinsip utama pada metode eliminasi adalah mengeliminasi atau

menghilangkan variabel dari sistem persamaan, sehingga akhirnya

didapat nilai satu variabel yang tersisa.

Untuk lebih jelasnya, kita kembali pada masalah 2.1. Kita sudah

mendapatkan model matematika dari permasalahan tersebut, yaitu:

{

5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 12500

3𝑥 + 1

2 𝑦 + 2𝑧 = 8000

4𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10000

Jika kalian masih ingat, pada SPLDV kita dapat langsung melakukan

eliminasi karena (pada umumnya) hanya ada dua persamaan. Namun pada

SPLTV umumnya terdapat 3 persamaan. Oleh karena itu kita pilih dua

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

18

pasang persamaan berbeda dari sistem. Kita bisa memilih sembarang

pasangan, misalnya persamaan pertama dan kedua, kemudian persamaan

kedua dan ketiga, dan sebagainya. Tujuannya adalah membentuk sebuah

SPLDV dari SPLTV.

Mari kita lakukan eliminasi pada SPLTV di atas. Agar lebih mudah

dalam penyebutan, kita beri nomor masing-masing persamaan seperti

berikut.

{

5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 12500

(1)

3𝑥 + 1

2 𝑦 + 2𝑧 = 8000

(2)

4𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10000

(3)

Langkah 1: Pilih variabel yang akan dieliminasi dan pasangan persamaan

yang akan dilakukan proses eliminasi.

▪Pertama, kita tentukan variabel yang ingin dieliminasi. Misalkan kita

eliminasi variabel 𝑧, sehingga nanti akan kita dapat SPLDV dengan

variabel 𝑥 dan 𝑦.

▪Setelah itu, kita tentukan pasangan persamaan yang akan dilakukan

proses eliminasi. Kita dapat memilih secara acak, namun akan lebih

efisien jika kita memperhatikan koefisien dari variabel yang akan

dieliminasi. Pilih pasangan persamaan dengan koefisien 𝑧 yang sama.

Jika tidak ada koefisien yang sama, maka pilih sembarang saja.

Berdasarkan pertimbangan tersebut, dipilih pasangan persamaan (1) dan

(2) serta persamaan (1) dan (3).

Catatan:Pada langkah 1 ini kamu tidak harus memilih variabel dahulu

baru memilih pasangan persamaan yang akan dilakukan proses

eliminasi. Kamu dapat langsung memilih pasangan persamaan

yang akan dieliminasi salah satu variabelnya, asalkan variabel

yang dieliminasi pada kedua pasangan persamaan itu sama.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

19

Langkah 2: Lakukan eliminasi salah satu variabel pada salah satu

pasangan persamaan yang telah dipilih.

▪Kita eliminasi variabel 𝑧 dari persamaan (1) dan (2). Perhatikan koefisien

dari variabel 𝑧 pada persamaan (1) dan (2), karena sudah sama maka

dapat langsung kita eliminasi. Jika koefisiennya tidak sama, maka salah

satu atau kedua persamaan dikalikan dengan suatu bilangan agar

koefisiennya sama.

▪Untuk

melakukan

eliminasi,

kita

dapat

menjumlahkan

atau

mengurangkan kedua persamaan. Perhatikan tanda dari koefisien 𝑧 pada

kedua persamaan. Jika tandanya sama, baik negatif keduanya ataupun

positif keduanya, maka kedua persamaan harus kita kurangkan. Jika

tandanya berbeda, maka kedua persamaan harus kita jumlahkan.

Perhatikan bahwa koefisien 𝑧 pada persamaan (1) dan (2) sama-sama

positif, artinya kedua persamaan harus kita kurangkan.

5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧= 12500

3𝑥 + 1

2 𝑦 + 2𝑧= 8000

−

2𝑥 + 1

2 𝑦= 4500

...(4)

▪Maka kita memperoleh sebuah persamaan baru dengan dua variabel, kita

beri nama persamaan (4).

Langkah 3: Lakukan eliminasi variabel yang sama pada pasangan

persamaan kedua.

▪Selanjutnya kita eliminasi variabel 𝑧 dari persamaan (1) dan (3). Karena

koefisiennya berbeda, maka harus disamakan terlebih dahulu. Untuk itu,

persamaan (3) kita kalikan semua sukunya dengan 2. Kemudian karena

koefisien 𝑧 bertanda sama maka kedua persamaan kita kurangkan.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

20

5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 12500× 15𝑥 + 𝑦 + 2𝑧= 12500

4𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10000× 28𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧= 20000

−

−3𝑥 − 𝑦= −7500

3𝑥 + 𝑦= 7500...(5)

▪Maka kita memperoleh persamaan linear dua variabel yang lain, kita beri

nama persamaan (5).

Langkah 4: Lakukan eliminasi salah satu variabel pada kedua persamaan

yang baru didapat.

▪Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi salah satu variabel dari

kedua persamaan ini sehingga akan didapat nilai dari variabel yang

tersisa. Misalkan kita eliminasi variabel 𝑦 dari persamaan (4) dan (5).

Karena koefisien variabel 𝑦 berbeda, maka kita akan mengalikan

persamaan (4) dengan 2 agar koefisiennya sama.

2𝑥 + 1

2 𝑦 = 4500× 2

4𝑥 + 𝑦= 9000

3𝑥 + 𝑦 = 7500

× 1

3𝑥 + 𝑦= 7500

−

𝑥= 1500

▪Kita sudah berhasil menemukan nilai variabel 𝑥 yang memenuhi, yakni

𝑥 = 1500.

Langkah 5: Lakukan eliminasi variabel yang lain pada kedua persamaan

yang baru didapat.

▪Eliminasi variabel 𝑥 dari persamaan (4) dan (5) untuk mendapatkan nilai

𝑦. Coba kerjakan dengan mengikuti Langkah 4 di atas, nanti akan kamu

dapatkan nilai 𝑦 yang memenuhi, yakni 𝑦 = 3000.

Langkah 6: Masukkan nilai kedua variabel yang telah didapat ke salah satu

persamaan awal.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

21

▪Untuk mendapatkan nilai variabel terakhir, yaitu 𝑧, langsung saja

masukkan nilai 𝑥 dan 𝑦 yang telah didapat ke persamaan (1), (2), atau (3).

Misalkan kita masukkan nilai 𝑥 = 1500 dan 𝑦 = 3000 ke persamaan (3).

4𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10000 → 4 ⋅ 1500 + 3000 + 𝑧 = 10000

4𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10000 → 9000 + 𝑧 = 10000

4𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10000 → 𝑧 = 1000

▪Maka didapat nilai 𝑧 yang memenuhi adalah 1000.

▪Jadi, penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah (1500, 3000, 1000).

Catatan:Sebenarnya Langkah 6 ini termasuk metode substitusi. Namun

jika kita hanya menggunakan metode eliminasi, maka untuk

mendapatkan nilai variabel ketiga kita harus mengulangi

Langkah 1 sampai 4, yang akan mempersulit dan memperpanjang

pekerjaan kita.

Kamu telah belajar bagaimana langkah-langkah menyelesaikan

SPLTV dengan metode eliminasi. Agar kamu lebih paham langkah-langkah

metode eliminasi, perhatikan contoh berikut.

Perhatikan sistem persamaan berikut.

{

𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 9

(1)

2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 8

(2)

3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 7

(3)

Tentukan penyelesaian SPLTV di atas menggunakan metode eliminasi.

Penyelesaian:

Langkah 1: Kita akan mengeliminasi variabel 𝑦 dari persamaan (1) dan

(2) serta dari persamaan (1) dan (3).

𝑥 − 𝑦 − 2𝑧= 9

3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧= 7

−

−2𝑥 − 5𝑧= 2...(5)

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

22

Langkah 2: Lakukan eliminasi variabel 𝑦 dari persamaan (1) dan (2).

𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 9

× 22𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧= 18

2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 8× 12𝑥 + 2𝑦 − 𝑧= 8

+

4𝑥 − 5𝑧= 26

...(4)

Langkah 3: Lakukan eliminasi variabel 𝑦 dari persamaan (1) dan (3).

𝑥 − 𝑦 − 2𝑧= 9

3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧= 7

−

−2𝑥 − 5𝑧= 2...(5)

Langkah 4: Eliminasi variabel 𝑧 dari persamaan (4) dan (5).

4𝑥 − 5𝑧= 26

−2𝑥 − 5𝑧= 2

−

6𝑥= 24

𝑥= 4

Jadi, didapat nilai 𝑥 yang memenuhi yaitu 𝒙 = 𝟒.

Langkah 5: Eliminasi variabel 𝑥 dari persamaan (4) dan (5)

4𝑥 − 5𝑧 = 26

× 1

4𝑥 − 5𝑧= 26

−2𝑥 − 5𝑧 = 2

× 2−4𝑥 − 10𝑧= 4

+

−15𝑧

𝑧

= 30

= −2

...(4)

Didapat nilai 𝑧 yang memenuhi yaitu 𝒛 = −𝟐.

Langkah 6: Substitusi nilai 𝑥 dan 𝑧 ke persamaan (1)

𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 9 → 4 − 𝑦 + 4 = 9 ⇔ 𝒚 = −𝟏

Jadi, penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah (𝟒, −𝟏, −𝟐).

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

23

Metode Substitusi

Metode substitusi dilakukan dengan mengganti suatu variabel

dengan bentuk lainnya yang senilai. Untuk itu, kita harus menyatakan

suatu variabel ke dalam bentuk yang memuat variabel lain. Misalnya

pada SPLTV dengan variabel 𝑥, 𝑦, 𝑧, kita perlu menyatakan salah satu

variabel, misalkan 𝑥, ke dalam variabel lainnya, yakni 𝑦 dan/atau 𝑧. Untuk

lebih jelasnya, perhatikan kembali SPLTV yang didapat dari masalah 2.1.

{

5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 12500

(1)

3𝑥 + 1

2 𝑦 + 2𝑧 = 8000

(2)

4𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10000

(3)

Langkah 1: Pilih variabel yang akan disubstitusi atau diganti dan

persamaan yang akan diubah bentuknya.

▪Pilihlah variabel dengan koefisien 1 jika ada, agar lebih mudah bagi kita

untuk menyatakannya ke dalam variabel yang lain. Misalnya, kita pilih

variabel 𝑧 pada persamaan (3).

Langkah 2: Ubah bentuk persamaan yang dipilih sehingga di ruas kiri

hanya tersisa variabel yang telah dipilih saja.

▪Kita ubah bentuk persamaan (3) sehingga di ruas kiri hanya tersisa 𝑧.

4𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10000 ⇔ 𝑧 = 10000 − 4𝑥 − 𝑦

Catatan:Andaikan koefisien variabel di ruas kiri tidak 1, maka kita dapat

mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan suatu

bilangan agar koefisiennya menjadi 1.

Langkah 3: Substitusi nilai variabel yang telah dipilih pada dua persamaan

lainnya.

▪Pada persamaan (1) dan (2), variabel 𝑧 kita substitusi dengan 10000 −

4𝑥 − 𝑦.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

24

5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 12500 ⇔ 5𝑥 + 𝑦 + 2(10000 − 4𝑥 − 𝑦) = 12500

5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 12500 ⇔ 5𝑥 + 𝑦 + 20000 − 8𝑥 − 2𝑦 = 12500

5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 12500 ⇔ 3𝑥 + 𝑦 = 7500 … (4)

3𝑥 + 1

2 𝑦 + 2𝑧 = 8000 ⇔ 3𝑥 + 1

2 𝑦 + 2(10000 − 4𝑥 − 𝑦) = 8000

3𝑥 + 1

2 𝑦 + 2𝑧 = 8000 ⇔ 3𝑥 + 1

2 𝑦 + 20000 − 8𝑥 − 2𝑦 = 8000

3𝑥 + 1

2 𝑦 + 2𝑧 = 8000 ⇔ 5𝑥 + 3

2 𝑦 = 12000 … (5)

▪Didapat dua persamaan linear dua variabel, yaitu 3𝑥 + 𝑦 = 7500 dan 5𝑥 +

3

2𝑦 = 12000, sebutlah persamaan (4) dan (5).

Langkah 4: Ubah bentuk salah satu persamaan baru sehingga di ruas kiri

hanya tersisa satu variabel.

▪Kita lakukan seperti Langkah 1 dan 2. Misalnya kita pilih variabel 𝑦

untuk disubstitusi dan kita pilih persamaan (4) untuk diubah sehingga di

ruas kiri hanya tersisa satu variabel.

3𝑥 + 𝑦 = 7500 ⇔ 𝑦 = 7500 − 3𝑥

Langkah 5: Substitusi nilai variabel yang telah dipilih pada persamaan baru

lainnya.

▪Kita substitusi variabel 𝑦 pada persamaan (5) dengan 7500 − 3𝑥.

Kemudian kita selesaikan persamaan linear satu variabel yang diperoleh

sehingga didapat nilai variabel yang tersisa.

5𝑥 + 3

2 𝑦 = 12000 ⇔ 5𝑥 + 3

2 (7500 − 3𝑥) = 12000

5𝑥 + 3

2 𝑦 = 12000 ⇔ 5𝑥 + 22500

2
− 9𝑥

2 = 12000

5𝑥 + 3

2 𝑦 = 12000 ⇔ 10𝑥 + 22500 − 9𝑥 = 24000

5𝑥 + 3

2 𝑦 = 12000 ⇔ 𝑥 = 1500

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

25

▪Maka didapat nilai 𝑥 yang memenuhi adalah 1500.

Langkah 6: Substitusi nilai variabel yang telah didapat ke persamaan-

persamaan yang ada untuk mendapat nilai variabel yang lain.

▪Substitusi 𝑥 = 1500 ke persamaan (4) untuk mendapat nilai 𝑦.

𝑦 = 7500 − 3𝑥 → 𝑦 = 7500 − 3 ⋅ 1500 = 7500 − 4500 = 3000

▪Maka didapat nilai 𝑦 yang memenuhi adalah 3000.

▪Substitusi 𝑥 = 1500 dan 𝑦 = 3000 ke persamaan (3) untuk mendapat nilai

𝑧.

𝑧 = 10000 − 4𝑥 − 𝑦

𝑧 = 10000 − 4 ⋅ 1500 − 3000 = 10000 − 6000 − 3000 = 1000

▪Maka didapat nilai 𝑧 yang memenuhi adalah 1000.

▪Jadi, penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah (1500, 3000, 1000).

Agar kamu lebih memahami langkah-langkah metode substitusi

untuk menyelesaikan SPLTV, perhatikan contoh berikut.

Perhatikan sistem persamaan berikut.

{

𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 9

(1)

2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 8

(2)

3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 7

(3)

Tentukan penyelesaian SPLTV di atas menggunakan metode

eliminasi.

Penyelesaian:

Langkah 1: Kita akan melakukan substitusi variabel 𝑧 dan kita pilih

persamaan (2) untuk diubah bentuknya.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

26

Langkah 2: Kita ubah bentuk persamaan (2) sehingga hanya tersisa

𝑧 di ruas kiri.

2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 8 ⇔ 𝑧 = 2𝑥 + 2𝑦 − 8

Langkah 3: Kita substitusi 𝑧 pada persamaan (1) dan (3) dengan 2𝑥 +

2𝑦 − 8.

𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 9 ⇔ 𝑥 − 𝑦 − 2(2𝑥 + 2𝑦 − 8) = 9

𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 9 ⇔ 𝑥 − 𝑦 − 4𝑥 − 4𝑦 + 16 = 9

𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 9 ⇔ 3𝑥 + 5𝑦 = 7 … (4)

3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 7 ⇔ 3𝑥 − 𝑦 + 3(2𝑥 + 2𝑦 − 8) = 7

3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 7 ⇔ 3𝑥 − 𝑦 + 6𝑥 + 6𝑦 − 24 = 7

3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 7 ⇔ 9𝑥 + 5𝑦 = 31 … (5)

Didapat 2 persamaan baru dengan dua variabel, 𝑥 dan 𝑦.

Langkah 4: Kita ubah bentuk persamaan (4) sehingga hanya tersisa

variabel 𝑦 di ruas kiri.

3𝑥 + 5𝑦 = 7 ⇔ 5𝑦 = 7 − 3𝑥

Perhatikan bahwa koefisien 𝑦 adalah 5, tetapi pada contoh ini kita

tidak perlu membagi persamaannya dengan 5 karena pada

persamaan (5) koefisiennya juga 5.

Langkah 5: Substitusi variabel 𝑦 pada persamaan (5). Di sini kita

langsung substitusi 5𝑦 dengan 7 − 3𝑥.

9𝑥 + 5𝑦 = 31 ⇔ 9𝑥 + (7 − 3𝑥) = 31
9𝑥 + 5𝑦 = 31 ⇔ 6𝑥 = 24
9𝑥 + 5𝑦 = 31 ⇔ 𝑥 = 4

Didapat nilai 𝑥 yang memenuhi adalah 4.

Langkah 6: Substitusi nilai 𝑥 = 4 ke persamaan (4) untuk

mendapatkan nilai 𝑦. Kemudian substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 yang didapat

ke persamaan (2) untuk mendapatkan nilai 𝑧.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

27

Metode Gabungan

Metode gabungan merupakan metode yang paling sering digunakan

untuk menyelesaikan SPLTV. Umumnya, metode ini diawali dengan

metode eliminasi sehingga didapat nilai salah satu variabel. Setelah

itu, kita tinggal substitusi nilai variabel yang sudah ditemukanuntuk

mendapatkan nilai variabel lainnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan

lagi SPLTV yang didapat dari Masalah 2.1.

{

5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 12500

(1)

3𝑥 + 1

2 𝑦 + 2𝑧 = 8000

(2)

4𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10000

(3)

Langkah 1: Lakukan proses eliminasi hingga didapat nilai salah satu

variabel.

▪Pada tahap ini, yang harus kalian lakukan adalah persis seperti Langkah

1 sampai 4 metode eliminasi.

▪Perhatikan kembali proses eliminasi yang sudah dijabarkan pada bagian

metode eliminasi. Dari situ kita dapat nilai 𝑥 yang memenuhi yaitu 𝑥 =

1500.

Langkah 2: Substitusi nilai variabel yang telah didapat ke salah satu

persamaan yang didapat pada proses eliminasi.

5𝑦 = 7 − 3𝑥 → 5𝑦 = 7 − 12 = −5

5𝑦 = 7 − 3𝑥 → 5𝑦 = −1

𝑧 = 2𝑥 + 2𝑦 − 8 → 𝑧 = 8 − 2 − 8

𝑧 = 2𝑥 + 2𝑦 − 8 → 𝑧 = −2

Jadi, penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah (𝟒, −𝟏, −𝟐).

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

28

▪Substitusi nilai 𝑥 = 1500 ke persamaan (5), yaitu 3𝑥 + 𝑦 = 7500, maka

didapat 𝑦 = 3000.

Langkah 3: Substitusi nilai kedua variabel yang telah didapat ke salah satu

persamaan awal.

▪Substitusi 𝑥 = 1500 dan 𝑦 = 3000 ke persamaan (3), yaitu 4𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =

10000, maka didapat 𝑧 = 1000.

▪Jadi penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah (1500, 3000, 1000).

Jika kita tidak begitu yakin dengan hasil yang didapatkan, kita dapat

mengecek hasil yang kita peroleh dengan memasukkan nilaiyang

didapat ke setiap persamaan pada sistem. Jika hasilnya benar untuk

setiap persamaan, maka dapat dipastikan jawaban kita sudah benar.

Namun jika salah satu saja tidak memenuhi, maka jawaban kita belum

tepat. Proses pengecekan kembali ini dapat dilakukan baik pada metode

eliminasi, substitusi, ataupun gabungan.

Mari kita coba mengecek hasil yang kita dapat dengan memasukkan

nilai 𝑥 = 1500, 𝑦 = 3000, dan 𝑧 = 1000 ke persamaan (1), (2), dan (3).

5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 12500 → 7500 + 3000 + 2000 = 12500 ✓

3𝑥 + 1

2 𝑦 + 2𝑧 = 8000 → 4500 + 1500 + 2000 = 8000 ✓

4𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10000 → 6000 + 3000 + 1000 = 10000 ✓

Karena setiap persamaan menjadi bernilai benar, maka hasil yang kita dapat

sudah

benar.

Jadi

penyelesaian

dari

SPLTV

tersebut

adalah

(1500, 3000, 1000).

Ingat kembali bahwa 𝑥 adalah harga 1 tusuk sate, 𝑦 adalah harga 1

butir telur rebus, dan 𝑧 adalah harga 1 buah perkedel. Artinya, harga 1 tusuk

sate adalah Rp1.500, harga 1 butir telur rebus adalah Rp3.000, dan harga 1

buah perkedel adalah Rp1.000.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

29

Catatan:

➢Dapat kamu lihat pada uraian materi dan contoh bahwa ketiga metode

yang kita gunakan menghasilkan penyelesaian yang sama. Jadi, kamu

Perhatikan sistem persamaan berikut.

{

𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 9

(1)

2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 8

(2)

3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 7

(3)

Tentukan penyelesaian SPLTV di atas menggunakan metode gabungan.

Penyelesaian:

Langkah 1: Kita lakukan proses eliminasi seperti Langkah 1 sampai 4

pada Contoh 2.1.

Dari hasil eliminasi pada Contoh 2.1, didapat nilai 𝑥 yang memenuhi

yaitu 𝒙 = 𝟒.

Langkah 2: Substitusi nilai 𝑥 = 4 ke persamaan (4) pada Contoh 2.1

untuk mendapatkan nilai 𝑧.

4𝑥 − 5𝑧 = 26 → 16 − 5𝑧 = 26 ⇔ 5𝑧 = −10

4𝑥 − 5𝑧 = 26 → 16 − 5𝑧 = 26 ⇔ 𝒛 = −𝟐

Langkah 3: Substitusi nilai 𝑥 = 4 dan 𝑧 = −2 ke persamaan (1) untuk

mendapatkan nilai 𝑦.

𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 9 → 4 − 𝑦 + 4 = 9 ⇔ 𝒚 = −𝟏

Jadi, penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah (𝟒, −𝟏, −𝟐).

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

30

bebas memilih metode apa yang ingin digunakan untuk menyelesaikan

SPLTV (selama tidak ada perintah khusus).

➢Saat menggunakan metode gabungan, secara umum urutan langkah-

langkahnya adalah seperti yang telah dijelaskan di atas. Namun pada

beberapa kasus, langkah-langkahnya akan sedikit berbeda, tergantung

bentuk SPLTV yang ingin diselesaikan. Kamu akan melihat contoh kasus

tersebut pada Kegiatan Belajar 3.

Rangkuman

❖ Penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel berupa

triplet bilangan berurutan, dapat ditulis (𝑥, 𝑦, 𝑧), dengan 𝑥, 𝑦, dan 𝑧

secara berurutan adalah nilai untuk variabel pertama, kedua, dan

ketiga sehingga setiap persamaan pada SPLTV bernilai benar.

❖ Untuk menentukan penyelesaian SPLTV, ada tiga metode yang

dapat digunakan: (1) metode eliminasi, (2) metode substitusi, dan (3)

metode gabungan eliminasi-substitusi.

❖ Langkah-langkah metode eliminasi pada SPLTV yaitu:

(1) Tentukan pasangan persamaan dan variabel yang ingin

dieliminasi.

(2) Pastikan koefisien dari variabel yang akan dieliminasi sudah

sama pada kedua persamaan. Caranya dengan mengalikan

persamaan dengan suatu bilangan sehingga koefisien variabel

yang akan dieliminasi sama.

(3) Eliminasi variabel dengan mengurangkan atau menjumlahkan

kedua persamaan. Kurangkan jika koefisiennya bertanda sama

dan jumlahkan jika bertanda berbeda. Maka didapat satu

persamaan baru dengan 2 variabel.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

31

(4) Lakukan langkah (2) dan (3) pada pasangan persamaan yang

berbeda. Maka didapat satu lagi persamaan baru dengan 2

variabel.

(5) Lakukan eliminasi salah satu variabel pada kedua persamaan

baru sehingga didapat nilai satu variabel yang tersisa.

(6) Lakukan eliminasi variabel yang lain pada kedua persamaan

baru sehingga didapat nilai variabel yang lain.

(7) Substitusi saja kedua nilai yang sudah didapat ke salah satu

persamaan awal untuk mendapatkan nilai variabel terakhir.

❖ Langkah-langkah metode substitusi pada SPLTV yaitu:

(1) Tentukan salah satu persamaan dan variabel yang ingin

disubstitusi.

(2) Ubah persamaan tersebut sehingga di ruas kiri hanya tersisa

variabel yang telah dipilih saja.

(3) Substitusi variabel yang dipilih pada kedua persamaan lainnya.

(4) Didapat dua persamaan linear dua variabel. Ubah salah satunya

sehingga hanya tersisa satu variabel di ruas kiri.

(5) Substitusi variabel tersebut pada persamaan satunya.

(6) Sederhanakan persamaan yang didapat sehingga didapat nilai

satu variabel yang tersisa.

(7) Substitusi nilai variabel yang sudah didapat untuk mendapat

nilai dari variabel lainnya.

❖ Langkah-langkah metode gabungan pada SPLTV yaitu:

(1) Lakukan eliminasi hingga didapatkan nilai satu variabel.

(2) Substitusi nilai variabel yang sudah didapat pada salah satu

persamaan dua variabel yang diperoleh dari eliminasi awal,

sehingga didapat nilai variabel kedua.

(3) Substitusi nilai kedua variabel yang sudah didapat pada salah

satu persamaan awal, sehingga didapat nilai variabel terakhir.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

32

Latihan 2

Jawablah semua soal berikut dengan menyertakan langkah-langkah

penyelesaiannya!

1.Perhatikan SPLTV berikut.

{

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2

(1)

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = − 3

2
(2)

3𝑥 + 1

2 𝑦 − 2𝑧 = 1

(3)

(a)Lakukan eliminasi variabel 𝑧 pada persamaan (1) dan (2).

(b)Lakukan eliminasi variabel 𝑧 pada persamaan (1) dan (3).

(c)Lakukan eliminasi variabel 𝑦 pada persamaan yang didapat dari poin

(a) dan (b).

(d)Tentukan penyelesaian dari SPLTV tersebut.

2.Perhatikan SPLTV berikut.

{

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −5

(1)

−𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1

(2)

2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0

(3)

(a)Ubah persamaan (3) sehingga hanya tersisa satu variabel di ruas kiri.

(b)Substitusi hasil poin (a) ke persamaan (1) sehingga didapat persamaan

(4). Substitusi juga ke persamaan (2) sehingga didapat persamaan (5)

(c)Ubah persamaan (4) sehingga hanya tersisa satu variabel di ruas kiri.

Substitusi hasilnya ke persamaan (5).

(d)Tentukan penyelesaian dari SPLTV tersebut.

3.Perhatikan kembali SPLTV yang diperoleh dari Masalah 1.1 pada

Kegiatan Belajar 1. Tentukan penyelesaian dari SPLTV tersebut.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

33

Tes Formatif 2

Berilah tanda silang pada pilihan jawaban yang menurutmu paling

tepat!

1.Jika kita mengeliminasi variabel 𝑧 dari persamaan 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 11

dan 𝑥 + 𝑦 −

1

3𝑧 = −1, maka hasil yang tepat adalah ....

A.5𝑥 + 5𝑦 = 8

B.5𝑥 + 𝑦 = 8

C.𝑥 − 𝑦 = 8

D.𝑥 + 5𝑦 = 14

E.𝑥 − 5𝑦 = 14

2.Sistem persamaan berikut yang akan menghasilkan persamaan 𝑥 +

4𝑦 = 2 jika variabel 𝑧 dieliminasi adalah ....

A.൜ 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 8

2𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = 3

B.൜2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 12

2𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 5

C.൜𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 10

2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −4

D.൜ 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 10

−𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −6

E.൜2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −3

−𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = −2

3.Perhatikan sistem persamaan berikut.

൜
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 4

(1)

−𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = −1

(2)

Jika kita substitusi nilai 𝑧 dari persamaan (1) ke persamaan (2), maka

hasil yang sesuai adalah ....

A.2𝑥 + 5𝑦 = 11

B.2𝑥 − 5𝑦 = 9

C.−2𝑥 + 5𝑦 = 3

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

34

D.5𝑥 − 2𝑦 = 13

E.5𝑥 + 2𝑦 = −3

4.Di antara persamaan berikut, yang akan menghasilkan 5𝑦 + 5𝑧 = 5

jika kita substitusi dengan 𝑥 = 2𝑦 + 𝑧 − 1 adalah ....

A.𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 6

B.2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3

C.3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 2

D.4𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 1

E.5𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0

5.Perhatikan SPLTV berikut.

{

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5

−𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 15
𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 15

Penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah ....

A.(−5, 5, −10)

B.(0, 5, 10)

C.(−5, 0, 10)

D.(5, 5, 10)

E.(10, −5, 0)

Cocokkan jawaban kamu dengan kunci jawaban Tes Formatif 2 yang

terdapat pada bagian akhir modul ini. Hitunglah tingkat penguasaan

kamu berdasarkan rumus berikut.

Tingkat Penguasaan =banyak jawaban benar

5
× 100%

Jika tingkat penguasaan kamu mencapai 80% atau lebih, kamu dapat

melanjutkan ke Kegiatan Belajar 3. Namun jika tingkat penguasaan

kamu di bawah 80%, kamu harus mempelajari kembali materi

Kegiatan Belajar 2.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

35

Kegiatan Belajar 3

Memecahkan Masalah yang Berkaitan dengan SPLTV

Pada Kegiatan Belajar 2 kita sudah belajar bagaimana menggunakan

metode

eliminasi,

substitusi,

serta

gabungan

untuk

menentukan

penyelesaian SPLTV. Pada bab ini, kita akan mempelajari lebih lanjut

mengenai cara menyelesaikan SPLTV serta cara memecahkan masalah yang

berkaitan dengan SPLTV.

Mari kita perhatikan permasalahan berikut.

Kai Basri merupakan seorang pedagang buah-buahan lokal di

pasar terapung Lok Baintan. Hari ini ia membawa 95 biji buah yang

terdiri dari tiga jenis buah, yaitu buah kasturi, kuini, dan ramania,

yang ditunjukkan pada Gambar 3.1, 3.2, dan 3.3 berikut.

Harga kasturi adalah Rp2000/biji, harga kuini adalah Rp3000/biji, dan

harga ramania adalah Rp1000/biji. Kai Basri berhasil menjual semua

buah yang dibawanya dan mendapatkan uang sebesar Rp165.000. Ia

lupa berapa jumlah masing-masing kasturi, kuini, dan ramania yang

ia bawa hari ini. Namun ia ingat bahwa jumlah kasturi dan kuini 5 biji

lebih banyak daripada banyak ramania. Berapakah jumlah masing-

masing buah yang dijual Kai Basri hari ini?

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

36

Uraian Materi

Untuk dapat memecahkan masalah tersebut, hal pertama yang perlu

kita lakukan adalah menentukan model matematikadari masalahnya.

Untuk menentukan model matematika, kita harus menganalisis masalah

dan mengidentifikasi informasiapa yang diberikan dan informasi apa

yang tidak diketahui.

Mari kita mulai dari hal-hal yang diketahui, yaitu sebagai berikut.

(1)Terdapat tiga jenis buah: kasturi, kuini, ramania.

(2)Jumlah semua buah adalah 95 biji.

(3)Harga kasturi Rp2.000/biji; harga kuini Rp3.000/biji; harga ramania

Rp1.000/biji.

(4)Semua buah terjual dengan jumlah pendapatan Rp165.000.

(5)Jumlah kasturi dan kuini 5 biji lebih banyak daripada banyak

ramania.

Sementara hal-hal yang tidak diketahui yaitu banyak masing-masing buah

kasturi, kuini, dan ramania.

Langkah

berikutnya

yaitu

menentukan

variabel. Variabel

merupakan simbol untuk kuantitas yang tidak diketahui, artinya yang harus

kita misalkan dengan variabel adalah banyaknya masing-masing buah

kasturi, kuini, dan ramania.

Misalkan:

𝑥 adalah banyak buah kasturi;

𝑦 adalah banyak buah kuini;

𝑧 adalah banyak buah ramania.

Selanjutnya kita harus mengubah informasiyang diketahui dan

melibatkan kuantitas menjadi bentuk aljabar.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

37

▪Jumlah semua buah adalah 95, artinya banyak kasturi + banyak kuini +

banyak ramania = 95. Maka didapat persamaan 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 95.

▪Hasil penjualan semua buah adalah Rp165.000, artinya hasil penjualan

kasturi + hasil penjualan kuini + hasil penjualan ramania = 165.000.

Karena harga kasturi, kuini, dan ramania berturut-turut adalah Rp2.000,

Rp3.000, dan Rp1.000 per biji, maka:

2000 × banyak kasturi + 3000 × banyak kuini + 1000 × banyak ramania

= 165000

Maka didapat persamaan: 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 165.

▪Jumlah kasturi dan kuini 5 biji lebih banyak daripada banyaknya

ramania, artinya:

banyak kasturi + banyak kuini = banyak ramania + 5.

Maka didapat persamaan: 𝑥 + 𝑦 = 𝑧 + 5 ⇔ 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5.

Jadi, kita sudah mendapatkan 3 buah persamaan linear dengan tiga

variabel. Karena ketiga persamaan ini saling berkaitan, artinya membentuk

sistem, maka didapat model matematika dari masalahdi atas berupa

SPLTV berikut.

{

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 95

(1)

2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 165

(2)

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5

(3)

Selanjutnya, kita tinggal mencari nilai 𝒙, 𝒚, dan 𝒛 yang memenuhi

sistem persamaan tersebut. Pada bab 2 kita sudah belajar bagaimana

penggunaan metode eliminasi dan substitusi pada SPLTV. Pada umumnya,

metode yang paling efisien dan sering digunakan dalam menyelesaikan

SPLTV adalah metode gabungan eliminasi dan substitusi, sehingga kita

akan menggunakan metode tersebut.

Biasanya langkah awaldilakukan dengan metode eliminasi

karena relatif lebih mudah. Untuk memilih persamaan mana yang

dieliminasi

terlebih

dahulu,

perhatikan

persamaanmana

yang

mempunyai kesamaandan mudah untuk dieliminasi. Jika kita

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

38

perhatikan, ternyata pada persamaan (1) dan (3), sama-sama terdapat suku-

suku 𝑥 + 𝑦, sehingga kita dapat melakukan eliminasi 2 variabel sekaligus

dengan mengurangkan kedua persamaan.

𝑥 + 𝑦 + 𝑧= 95

𝑥 + 𝑦 − 𝑧= 5

−

2𝑧= 90

𝑧= 45

Jadi, didapat nilai 𝑧 yang memenuhi yaitu 45.

Setelah didapat nilai 𝒛, kita dapat melakukan substitusi pada

persamaan (1) dan (2) sehingga didapat 2 persamaan dengan 2 variabel.

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 95 → 𝑥 + 𝑦 + 45 = 95 ⇔ 𝑥 + 𝑦 = 50 … (4)

2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 165 → 2𝑥 + 3𝑦 + 45 = 165 ⇔ 2𝑥 + 3𝑦 = 120 … (5)

Eliminasi salah satu variabel dari persamaan (4) dan (5). Misalnya

kita eliminasi variabel 𝑥 untuk mendapatkan nilai 𝑦.

𝑥 + 𝑦 = 50× 2

2𝑥 + 2𝑦= 100

2𝑥 + 3𝑦 = 120× 1

2𝑥 + 3𝑦= 120

−

𝑦= 20

Jadi, didapat nilai 𝑦 yang memenuhi adalah 20.

Setelah didapat nilai 2 variabel, maka kita tinggal substitusi nilai ini

ke salah satu persamaan untuk memperoleh nilai variabel terakhir.

Misalkan kita substitusi 𝑧 = 45 dan 𝑦 = 20 ke persamaan (1).

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 95 → 𝑥 + 20 + 45 = 95 ⇔ 𝑥 = 30

Maka didapat penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah 𝑥 = 30, 𝑦 = 20, dan

𝑧 = 45 atau dapat ditulis (30, 20, 45). Jika ditulis dalam bentuk himpunan

penyelesaian, maka 𝐻𝑃 = {(30, 20, 45)}.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

39

Andaikan kamu kurang yakin dengan hasil yang didapat, kamu dapat

mengecek kembali jawabannya seperti yang kita lakukan di akhir uraian

materi Kegiatan Belajar 2.

Terakhir, kita tafsirkan kembalipenyelesaian yang kita dapat ke

dalam konteks permasalahan. Karena 𝑥 adalah banyak buah kasturi, 𝑦

adalah banyak buah kuini, dan 𝑧 adalah banyak buah ramania, maka dapat

disimpulkan bahwa banyak buah kasturi, kuini, dan ramaniayang

dijual Kai Basri berturut-turut adalah 30, 20, dan 45 biji.

Dapat disimpulkan, langkah-langkah menyelesaikan masalah

yang berkaitan dengan SPLTV secara umum adalah sebagai berikut.

Langkah 1: Buat model matematika (SPLTV) dari masalah

Langkah 2: Selesaikan model matematika (SPLTV) yang didapat

Langkah 3: Cek kembali jawaban (jika kurang yakin)

Langkah 4: Tafsirkan hasil penyelesaian ke dalam konteks permasalahan

dan buat kesimpulan.

Catatan:Seperti yang kamu lihat, langkah penyelesaian yang diuraikan di

atas sedikit berbeda dari langkah-langkah yang kita pelajari di

Kegiatan

Belajar

2. Pada

beberapa

kasus,

kita

perlu

menyesuaikan langkah yang dilakukan agar lebih mudah dalam

menyelesaikan SPLTV. Namun intinya tetap sama, yaitu

bagaimana sistem persamaan dengan tiga variabel, kita

manipulasi sehingga diperoleh persamaan dengan variabel yang

lebih sedikit agar kita bisa menentukan nilai masing-masing

variabel yang memenuhi SPLTV tersebut.

Agar

pemahaman

kamu

lebih

mendalam

mengenai

cara

menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan SPLTV, kita bahas

satu lagi contoh permasalahan berikut.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

40

Di daerah Gambut, terdapat warung makan yang sangat

terkenal yang menjual nasi itik khas Gambut. Nasi itik tersebut berupa

nasi putih dengan lauk itik yang dimasak dengan bumbu habang khas

Banjar dan dibungkus dengan daun pisang, seperti terlihat pada

Gambar 3.4 berikut.

Selain nasi itik, juga tersedia pilihan lauk lain seperti haruan dan

ayam yang juga dimasak habang. Sebungkus nasi itik dijual dengan

harga Rp20.000, sementara sebungkus nasi haruan dan nasi ayam

masing-masing dijual dengan harga Rp18.000 dan Rp15.000. Dalam

sehari, warung tersebut berhasil menjual total 500 bungkus nasi itik,

haruan, dan ayam dengan pemasukan sebesar Rp9.300.000. Nasi itik

merupakan favorit pelanggan, sehingga pemasukan dari nasi itik sama

dengan 4 kali lipat pemasukan dari nasi ayam. Tentukan banyak

masing-masing nasi itik, haruan, dan ayam yang dijual warung

tersebut dalam sehari.

Penyelesaian:

Misalkan:

𝑥 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑛𝑎𝑠𝑖 𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑗𝑢𝑎𝑙 (𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑢𝑛𝑔𝑘𝑢𝑠)
𝑦 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑛𝑎𝑠𝑖 ℎ𝑎𝑟𝑢𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑗𝑢𝑎𝑙 (𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑢𝑛𝑔𝑘𝑢𝑠)
𝑧 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑛𝑎𝑠𝑖 𝑎𝑦𝑎𝑚 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑗𝑢𝑎𝑙 (𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑢𝑛𝑔𝑘𝑢𝑠)

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

41

Diketahui:

▪Jumlah semua nasi bungkus adalah 500 bungkus, artinya 𝑥 + 𝑦 +

𝑧 = 500.

▪Harga nasi itik Rp20.000, harga nasi haruan Rp18.000, harga

nasi ayam Rp15.000. Total pemasukan dari nasi itik, haruan, dan

ayam adalah Rp9.300.000, artinya 20𝑥 + 18𝑦 + 15𝑧 = 9300.

▪Pemasukan dari nasi itik sama dengan 4 kali lipat pemasukan

nasi ayam, artinya 20𝑥 = 4 ⋅ 15𝑧 ⇔ 𝑥 = 3𝑧.

Maka model matematika dari masalah tersebut adalah:

{

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 500

(1)

20𝑥 + 18𝑦 + 15𝑧 = 9300

(2)

𝑥 = 3𝑧

(3)

Substitusi 𝑥 = 3𝑧 ke persamaan (1) dan (2).

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 500 → 3𝑧 + 𝑦 + 𝑧 = 500 ⇔ 𝑦 + 4𝑧 = 500 ...(4)

20𝑥 + 18𝑦 + 15𝑧 = 9300 → 60𝑧 + 18𝑦 + 15𝑧 = 9300

20𝑥 + 18𝑦 + 15𝑧 = 9300 → ⇔ 18𝑦 + 75𝑧 = 9300

20𝑥 + 18𝑦 + 15𝑧 = 9300 → ⇔ 6𝑦 + 25𝑧 = 3100 ...(5)

Eliminasi 𝑦 dari persamaan (4) dan (5).

𝑦 + 4𝑧 = 500× 66𝑦 + 24𝑧= 3000

6𝑦 + 25𝑧 = 3100× 16𝑦 + 25𝑧= 3100

−

𝑦= 𝟏𝟎𝟎

Substitusi 𝑦 = 100 ke persamaan (4).

𝑦 + 4𝑧 = 500 → 100 + 4𝑧 = 500 ⇔ 4𝑧 = 400

𝑦 + 4𝑧 = 500 → 100 + 4𝑧 = 500 ⇔ 𝑧 = 𝟏𝟎𝟎

Substitusi 𝑧 = 100 ke persamaan (3).

𝑥 = 3𝑧 → 𝑥 = 3(100) = 𝟑𝟎𝟎

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

42

Rangkuman

Latihan 3

Jawablah semua soal berikut dengan menyertakan langkah-langkah

penyelesaiannya!

1.Pisang merupakan salah satu buah yang sering dijadikan berbagai olahan

kue di Indonesia, termasuk di daerah Kalimantan Selatan. Salah satu

jenis pisang yang sering digunakan masyarakat suku Banjar di

Kalimantan Selatan untuk membuat berbagai jenis kue adalah pisang

Didapat penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah (𝟑𝟎𝟎, 𝟏𝟎𝟎, 𝟏𝟎𝟎).

Jadi, warung tersebut menjual nasi itik sebanyak 𝟑𝟎𝟎 bungkus,

serta nasi haruan dan ayam masing-masing sebanyak 100

bungkus.

❖ Langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan SPLTV adalah sebagai berikut.

(1) Analisis masalah dan buat model matematikanya. (Lihat lagi

Kegiatan Belajar 1)

(2) Cari penyelesaian dari model SPLTV yang didapat. Gunakan

metode yang paling memudahkan.

(3) Cek lagi penyelesaian yang didapat dengan melakukan

substitusi pada setiap persamaan jika kurang yakin dengan

hasil yang didapat.

(4) Perhatikan kembali permasalahan dan tafsirkan penyelesaian

yang didapat sesuai konteks masalah dan apa yang ditanyakan.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

43

talas, yang ditunjukkan pada Gambar 3.5. Pisang talas dapat diolah

menjadi berbagai kue khas Banjar, seperti amparan tatak, pais pisang,

dan lempeng pisang, seperti pada Gambar 3.6, 3.7, dan 3.8 berikut.

Untuk membuat 1 loyang amparan tatak, 10 pais pisang, dan 5 lempeng

pisang diperlukan 17 buah pisang talas. Adapun untuk membuat 1 loyang

amparan tatak, 15 pais pisang, dan 8 buah lempeng pisang diperlukan 22

buah pisang talas. Sementara untuk membuat 2 loyang amparan tatak,

25 pais pisang, dan 10 lempeng pisang diperlukan 36 buah pisang talas.

Tentukan banyak pisang masing-masing yang diperlukan untuk

membuat 1 loyang amparan tatak, 1 pais pisang, dan 1 lempeng pisang.

2.Pak Herman sehari-hari bekerja sebagai pembuat kalalapon (klepon).

Kalalapon merupakan penganan khas Martapura yang berbahan dasar

ketan yang diberi isian gula merah dan ditaburi parutan kelapa.

Kalalapon biasanya berbentuk bulat-bulat kecil berwarna hijau, seperti

terlihat pada Gambar 3.9 berikut.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

44

Pak Herman memasarkan kalalapon buatannya dalam kemasan kotak

dengan tiga ukuran berbeda. Hari ini ia membuat 500 buah kalalapon,

yang dikemas menjadi 15 kotak ukuran kecil, 10 kotak ukuran sedang,

dan 8 kotak ukuran besar. Banyak kalalapon dalam 1 kotak ukuran kecil,

1 kotak ukuran sedang, dan 1 kotak ukuran besar berjumlah 50 buah.

Sementara jumlah kalalapon dalam 4 kotak ukuran kecil sama dengan

jumlah kalalapon dalam 1 kotak ukuran sedang dan 1 kotak ukuran

besar. Tentukan banyaknya kalalapon dalam masing-masing kemasan.

3.Rumah makan “Kaganangan” menyediakan berbagai menu ikan bakar

khas Banjar. Menu andalan rumah makan ini adalah patin bakar, haruan

bakar, serta papuyu bakar, seperti pada Gambar 3.10, 3.11, dan 3.12

berikut.

Suatu hari terdapat beberapa keluarga yang mengunjungi rumah makan

tersebut. Keluarga pertama memesan 2 porsi patin bakar, 2 porsi haruan

bakar, serta 1 porsi papuyu bakar, dan harus membayar sebesar

Rp125.000. keluarga kedua memesan 1 porsi patin bakar, 3 porsi haruan

bakar, serta 2 porsi papuyu bakar, dan harus membayar sebesar

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

45

Rp160.000. Keluarga ketiga memesan 3 porsi patin bakar, 1 porsi haruan

bakar, serta 1 porsi papuyu bakar, dan harus membayar sebesar

Rp115.000. Keluarga keempat memesan masing-masing 1 porsi patin

bakar, haruan bakar, dan papuyu bakar. Berapakah keluarga tersebut

harus membayar?

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

46

Tes Formatif 3

Berilah tanda silang pada pilihan jawaban yang menurutmu paling

tepat!

1.Iwak haruan (ikan gabus) adalah jenis ikan yang sangat digemari oleh

masyarakat Banjar. Banyak olahan makanan khas Banjar yang

menggunakan iwak haruan, salah satunya adalah rabuk (abon) haruan,

seperti pada Gambar 3.13 berikut.

Salah satu produsen rabuk haruan di Banjarmasin adalah Acil Aluh.

Dalam sekali produksi, ia dapat membuat 5 kg rabuk haruan, yang

kemudian dikemas menjadi 30 buah kemasan kecil, 15 buah kemasan

sedang, dan 10 buah kemasan besar. Diketahui total berat bersih dari 1

buah kemasan kecil, 1 buah kemasan sedang, dan 1 buah kemasan besar

adalah 350 g. Adapun berat bersih dari 2 buah kemasan kecil dan 1 buah

kemasan sedang sama dengan berat bersih dari 1 buah kemasan besar.

Jika kamu membeli 3 kemasan kecil, 2 kemasan sedang, dan 1 kemasan

besar rabuk haruan Acil Aluh, total berat bersih yang kamu dapat adalah

....

A.400 g

B.450 g

C.500 g

D.550 g

E.600 g

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

47

2.Bu Ipah sehari-hari bekerja sebagai penjual kue-kue khas Banjar. Salah

satu jenis kue yang ia jual adalah kue lapis. Ia menjual kue lapis dengan

tiga varian, yaitu lapis cokelat, lapis hijau, dan lapis merah, seperti

terlihat pada Gambar 3.14 dan 3.15 berikut.

Suatu hari, ia berhasil menjual total 80 potong kue lapis. Jumlah lapis

cokelat dan lapis hijau yang terjual sama dengan tiga kali lipat banyak

lapis merah yang terjual. Adapun banyak lapis merah yang terjual 5

potong lebih sedikit dari lapis hijau yang terjual. Keesokan harinya,

penjualan lapis cokelat meningkat 20% dari kemarin, tetapi penjualan

lapis hijau turun 20% dan lapis merah turun 10% dari kemarin. Total

penjualan kue lapis pada hari itu adalah ....

A.82

B.81

C.80

D.79

E.78

3.Ketupat Kandangan adalah salah satu makanan khas Kalsel yang sangat

terkenal. Salah satu warung makan yang menyediakan ketupat

Kandangan adalah warung H. Udin. Satu porsi ketupat Kandangan

terdiri dari ketupat dengan lauk ikan haruan yang diberi kuah santan

dengan bumbu khas. Di sana juga disediakan telur asin serta sate telur

ikan sebagai pelengkap ketupat Kandangan, seperti terlihat pada

Gambar 3.16 berikut.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

48

Pagi ini warung H. Udin ramai dikunjungi pembeli yang ingin sarapan.

Rian dan keluarganya memesan 4 porsi ketupat Kandangan ditambah 2

butir telur asin serta 5 tusuk sate telur ikan dan harus membayar sebesar

Rp80.000. Adapun Rahma bersama ibu dan ayahnya memesan 3 porsi

ketupat Kandangan ditambah 3 butir telur asin serta 5 tusuk sate telur

ikan dan harus membayar sebesar Rp70.000. Ada juga Rais dan adiknya

yang memesan 2 porsi ketupat Kandangan ditambah 1 butir telur asin

serta 3 tusuk sate telur ikan dan harus membayar sebesar Rp41.000. Jika

Rudi memesan 1 porsi ketupat Kandangan ditambah 1 butir telur asin

dan 2 tusuk sate telur ikan, maka ia harus membayar sebesar ....

A.Rp22.000

B.Rp24.000

C.Rp26.000

D.Rp28.000

E.Rp30.000

4.Acil Saudah adalah seorang pembuat wadai-wadai khas Banjar. Suatu

hari ia mendapat pesanan tiga jenis wadai, yaitu apam gula habang, pais

waluh, dan dadar gulung, seperti pada Gambar 3.17, 3.18, dan 3.19

berikut.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

49

Total kue yang dipesan sebanyak 100 buah. Banyak apam yang dipesan

lebih banyak 5 buah dari pais. Sementara banyak pais yang dipesan lebih

banyak 10 buah dari dadar gulung. Jika harga jual apam, pais, dan dadar

gulung per buahnya berturut-turut adalah Rp2.000, Rp1.500, dan

Rp1.000, maka pendapatan Acil Saudah dari pesanan tersebut adalah ....

A.Rp143.500

B.Rp147.000

C.Rp150.500

D.Rp153.000

E.Rp157.500

5.Selain terkenal dengan ketupatnya, Kandangan juga terkenal dengan

dodol asli Kandangan, seperti pada Gambar 3.20 berikut.

Pak Bahri sedang berkunjung ke Kandangan dan ia ingin membeli dodol

Kandangan sebagai oleh-oleh. Ia membeli 30 bungkus dodol dengan tiga

varian, yaitu original, kelapa muda, dan durian. Diketahui jumlah dodol

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

50

original dan kelapa muda sama dengan dua kali banyak dodol durian.

Banyak dodol original yang dibeli 4 bungkus lebih banyak dari dodol

kelapa muda. Jika harga dodol original Rp2.000/bungkus sementara

harga dodol kelapa muda dan durian masing-masing Rp2.500/bungkus,

maka biaya yang dikeluarkan Pak Bahri untuk membeli dodol adalah ....

A.Rp69.000

B.Rp67.000

C.Rp65.000

D.Rp63.000

E.Rp61.000

Cocokkan jawaban kamu dengan kunci jawaban Tes Formatif 3 yang

terdapat pada bagian akhir modul ini. Hitunglah tingkat penguasaan

kamu berdasarkan rumus berikut.

Tingkat Penguasaan =banyak jawaban benar

5
× 100%

Jika tingkat penguasaan kamu mencapai 80% atau lebih, artinya kamu

telah menguasai kompetensi utama yang diajarkan. Selanjutnya kamu

dapat mempelajari kegiatan Pengayaan. Namun jika tingkat

penguasaan kamu di bawah 80%, kamu harus mempelajari kembali

materi Kegiatan Belajar 3.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

51

Pengayaan

Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Determinan

Kamu telah menguasai cara menyelesaikan sistem persamaan linear

tiga variabel (SPLTV) dengan metode eliminasi, substitusi, serta gabungan

eliminasi-substitusi. Selain ketiga metode tersebut, ada cara lain untuk

menyelesaikan SPLTV.

Pada kegiatan pengayaan ini, kita akan menemukan metode lain

untuk menyelesaikan SPLTV. Metode tersebut sebenarnya bermula dari

bentuk umum SPLTV. Kamu tentu masih ingat bentuk umum SPLTV yang

telah kita pelajari pada Kegiatan Belajar 1, yaitu:

{

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1
(1)

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2
(2)

𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3
(3)

Kita akan menentukan penyelesaian dari bentuk umum SPLTV di

atas menggunakan metode eliminasi.

▪Pertama, kita eliminasi variabel 𝑧 dari persamaan (1) dan (2).

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1× 𝑐2𝑎1𝑐2𝑥 + 𝑏1𝑐2𝑦 + 𝑐1𝑐2𝑧= 𝑐2𝑑1

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2× 𝑐1𝑎2𝑐1𝑥 + 𝑏2𝑐1𝑦 + 𝑐1𝑐2𝑧= 𝑐1𝑑2−

(𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1)𝑥 + (𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1)𝑦 = 𝑐2𝑑1 − 𝑐1𝑑2...(4)

▪Lalu kita eliminasi variabel 𝑧 dari persamaan (1) dan (3).

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1× 𝑐3𝑎1𝑐3𝑥 + 𝑏1𝑐3𝑦 + 𝑐1𝑐3𝑧= 𝑐3𝑑1

𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3× 𝑐1𝑎3𝑐1𝑥 + 𝑏3𝑐1𝑦 + 𝑐1𝑐3𝑧= 𝑐1𝑑3−

(𝑎1𝑐3 − 𝑎3𝑐1)𝑥 + (𝑏1𝑐3 − 𝑏3𝑐1)𝑦 = 𝑐3𝑑1 − 𝑐1𝑑3...(5)

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

52

▪Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi variabel 𝑦 dari persamaan (4)

dan (5).

(𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1)𝑥 + (𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1)𝑦 = 𝑐2𝑑1 − 𝑐1𝑑2× (𝑏1𝑐3 − 𝑏3𝑐1)

(𝑎1𝑐3 − 𝑎3𝑐1)𝑥 + (𝑏1𝑐3 − 𝑏3𝑐1)𝑦 = 𝑐3𝑑1 − 𝑐1𝑑3× (𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1)

(𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1)(𝑏1𝑐3 − 𝑏3𝑐1)𝑥 + (𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1)(𝑏1𝑐3 − 𝑏3𝑐1)𝑦 = (𝑐2𝑑1 − 𝑐1𝑑2)(𝑏1𝑐3 − 𝑏3𝑐1)

(𝑎1𝑐3 − 𝑎3𝑐1)(𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1)𝑥 + (𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1)(𝑏1𝑐3 − 𝑏3𝑐1)𝑦 = (𝑐3𝑑1 − 𝑐1𝑑3)(𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1)

▪Dengan mengurangkan kedua persamaan di atas, diperoleh persamaan

[(𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1)(𝑏1𝑐3 − 𝑏3𝑐1) − (𝑎1𝑐3 − 𝑎3𝑐1)(𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1)]𝑥

= (𝑐2𝑑1 − 𝑐1𝑑2)(𝑏1𝑐3 − 𝑏3𝑐1) − (𝑐3𝑑1 − 𝑐1𝑑3)(𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1).

▪Dari persamaan ini, kita peroleh rumus untuk menentukan nilai variabel

𝑥, yaitu:

𝑥 =

(𝑐2𝑑1 − 𝑐1𝑑2)(𝑏1𝑐3 − 𝑏3𝑐1) − (𝑐3𝑑1 − 𝑐1𝑑3)(𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1)
(𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1)(𝑏1𝑐3 − 𝑏3𝑐1) − (𝑎1𝑐3 − 𝑎3𝑐1)(𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1)

𝑥 = 𝑏1𝑐2𝑐3𝑑1 − 𝑏3𝑐1𝑐2𝑑1 − 𝑏1𝑐1𝑐3𝑑2 + 𝑏3𝑐1𝑐1𝑑2 − 𝑏1𝑐2𝑐3𝑑1 + 𝑏2𝑐1𝑐3𝑑1 + 𝑏1𝑐1𝑐2𝑑3 − 𝑏2𝑐1𝑐1𝑑3

𝑎1𝑏1𝑐2𝑐3 − 𝑎1𝑏3𝑐1𝑐2 − 𝑎2𝑏1𝑐1𝑐3 + 𝑎2𝑏3𝑐1𝑐1 − 𝑎1𝑏1𝑐2𝑐3 + 𝑎1𝑏2𝑐1𝑐3 + 𝑎3𝑏1𝑐1𝑐2 − 𝑎3𝑏2𝑐1𝑐1

𝑥 = −𝑏3𝑐1𝑐2𝑑1 − 𝑏1𝑐1𝑐3𝑑2 + 𝑏3𝑐1𝑐1𝑑2 + 𝑏2𝑐1𝑐3𝑑1 + 𝑏1𝑐1𝑐2𝑑3 − 𝑏2𝑐1𝑐1𝑑3

−𝑎1𝑏3𝑐1𝑐2 − 𝑎2𝑏1𝑐1𝑐3 + 𝑎2𝑏3𝑐1𝑐1 + 𝑎1𝑏2𝑐1𝑐3 + 𝑎3𝑏1𝑐1𝑐2 − 𝑎3𝑏2𝑐1𝑐1

𝑥 = 𝑐1(−𝑏3𝑐2𝑑1 − 𝑏1𝑐3𝑑2 + 𝑏3𝑐1𝑑2 + 𝑏2𝑐3𝑑1 + 𝑏1𝑐2𝑑3 − 𝑏2𝑐1𝑑3)

𝑐1(−𝑎1𝑏3𝑐2 − 𝑎2𝑏1𝑐3 + 𝑎2𝑏3𝑐1 + 𝑎1𝑏2𝑐3 + 𝑎3𝑏1𝑐2 − 𝑎3𝑏2𝑐1)

𝑥 = −𝑏3𝑐2𝑑1 − 𝑏1𝑐3𝑑2 + 𝑏3𝑐1𝑑2 + 𝑏2𝑐3𝑑1 + 𝑏1𝑐2𝑑3 − 𝑏2𝑐1𝑑3

−𝑎1𝑏3𝑐2 − 𝑎2𝑏1𝑐3 + 𝑎2𝑏3𝑐1 + 𝑎1𝑏2𝑐3 + 𝑎3𝑏1𝑐2 − 𝑎3𝑏2𝑐1

𝑥 = (𝑏3𝑐1𝑑2 + 𝑏2𝑐3𝑑1 + 𝑏1𝑐2𝑑3) − (𝑏3𝑐2𝑑1 + 𝑏1𝑐3𝑑2 + 𝑏2𝑐1𝑑3)

(𝑎2𝑏3𝑐1 + 𝑎1𝑏2𝑐3 + 𝑎3𝑏1𝑐2) − (𝑎1𝑏3𝑐2 + 𝑎2𝑏1𝑐3 + 𝑎3𝑏2𝑐1)

𝑥 = (𝑑1𝑏2𝑐3 + 𝑏1𝑐2𝑑3 + 𝑐1𝑑2𝑏3) − (𝑑3𝑏2𝑐1 + 𝑏3𝑐2𝑑1 + 𝑐3𝑑2𝑏1)

(𝑎1𝑏2𝑐3 + 𝑏1𝑐2𝑎3 + 𝑐1𝑎2𝑏3) − (𝑎3𝑏2𝑐1 + 𝑏3𝑐2𝑎1 + 𝑐3𝑎2𝑏1)

Mengapa rumus untuk nilai 𝑥 kita susun sedemikian rupa seperti di

atas? Coba kamu perhatikan kembali bentuk umum SPLTV. Misalkan kita

ambil koefisien-koefisien dari 𝑥, 𝑦, dan 𝑧, lalu kita susun seperti berikut.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

53

|
𝑎1
𝑏1
𝑐1
𝑎1
𝑏1

𝑎2
𝑏2
𝑐2
𝑎2
𝑏2

𝑎3
𝑏3
𝑐3
𝑎3
𝑏3

|

Selanjutnya kita buat garis-garis diagonal pada susunan bilangan di

atas seperti berikut.

Sekarang coba kalikan bilangan-bilangan yang segaris. Lalu

jumlahkan hasil perkalian bilangan-bilangan pada garis biru dan hasilnya

dikurangi dengan jumlah hasil perkalian bilangan-bilangan pada garis

hitam. Maka kita dapatkan hasilnya sebagai berikut.

(𝑎1𝑏2𝑐3 + 𝑏1𝑐2𝑎3 + 𝑐1𝑎2𝑏3) − (𝑎3𝑏2𝑐1 + 𝑏3𝑐2𝑎1 + 𝑐3𝑎2𝑏1)

Ya, hasilnya sama persis dengan penyebut pada rumus nilai 𝑥.

Kemudian, seperti yang mungkin telah kamu sadari, jika kita ganti setiap

koefisien 𝑥, yakni 𝑎1, 𝑎2, dan 𝑎3, dengan konstanta 𝑑1. 𝑑2, dan 𝑑3, seperti

berikut.

Maka kita dapatkan hasilnya sebagai berikut.

(𝑑1𝑏2𝑐3 + 𝑏1𝑐2𝑑3 + 𝑐1𝑑2𝑏3) − (𝑑3𝑏2𝑐1 + 𝑏3𝑐2𝑑1 + 𝑐3𝑑2𝑏1)

Hasilnya sama persis dengan pembilang pada rumus nilai 𝑥. Dengan

ini, kita menemukan cara mudah untuk menghafal rumus nilai 𝑥. Rumus

nilai 𝒙 dapat kita tuliskan sebagai berikut.

|
𝑎1
𝑏1
𝑐1
𝑎1
𝑏1

𝑎2
𝑏2
𝑐2
𝑎2
𝑏2

𝑎3
𝑏3
𝑐3
𝑎3
𝑏3

|

|
𝑑1
𝑏1
𝑐1
𝑑1
𝑏1

𝑑2
𝑏2
𝑐2
𝑑2
𝑏2

𝑑3
𝑏3
𝑐3
𝑑3
𝑏3

|

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

54

Dengan cara yang sama seperti menemukan rumus nilai 𝑥, kita dapat

menemukan rumus untuk nilai 𝒚 dan 𝒛. Hasilnya adalah sebagai berikut.

Jadi, dengan menggunakan rumus untuk nilai 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 di atas, kita

dapat menentukan penyelesaian dari suatu SPLTV hanya dengan

memasukkan koefisien-koefisien dan konstanta-konstanta pada SPLTV ke

dalam rumus.

Metode yang kita temukan di atas disebut metode determinan.

Determinan merupakan suatu bilangan yang berkaitan dengan suatu

matriks. Operasi hitung yang kita lakukan di atas sesungguhnya merupakan

salah satu cara menghitung determinan dari suatu matriks berukuran 3 × 3.

Matriks sendiri adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris

dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang,

susunan bilangan itu biasanya diletakkan dalam kurung biasa “( )” atau

kurung siku “[ ]”. Adapun tanda mutlak “| |” menandakan determinan

matriks. Konsep matriks baru akan kalian pelajari di kelas XI nanti. Namun,

metode

ini tetap

dapat

kamu

gunakan

dengan

mengikuti

pola

pengerjaannya.

𝑥 =

|
𝑑1
𝑏1
𝑐1
𝑑1
𝑏1

𝑑2
𝑏2
𝑐2
𝑑2
𝑏2

𝑑3
𝑏3
𝑐3
𝑑3
𝑏3

|

|
𝑎1
𝑏1
𝑐1
𝑎1
𝑏1

𝑎2
𝑏2
𝑐2
𝑎2
𝑏2

𝑎3
𝑏3
𝑐3
𝑎3
𝑏3

|

𝑧 =

|
𝑎1
𝑏1
𝑑1
𝑎1
𝑏1

𝑎2
𝑏2
𝑑2
𝑎2
𝑏2

𝑎3
𝑏3
𝑑3
𝑎3
𝑏3

|

|
𝑎1
𝑏1
𝑐1
𝑎1
𝑏1

𝑎2
𝑏2
𝑐2
𝑎2
𝑏2

𝑎3
𝑏3
𝑐3
𝑎3
𝑏3

|

𝑦 =

|
𝑎1
𝑑1
𝑐1
𝑎1
𝑑1

𝑎2
𝑑2
𝑐2
𝑎2
𝑑2

𝑎3
𝑑3
𝑐3
𝑎3
𝑑3

|

|
𝑎1
𝑏1
𝑐1
𝑎1
𝑏1

𝑎2
𝑏2
𝑐2
𝑎2
𝑏2

𝑎3
𝑏3
𝑐3
𝑎3
𝑏3

|

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

55

Sekarang

mari

kita

terapkan

metode

determinan

untuk

menyelesaikan SPLTV yang diperoleh dari Masalah 3.1 pada Kegiatan

Belajar 3. Sistem persamaannya sebagai berikut.

{

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 95

(1)

2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 165

(2)

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5

(3)

Dari SPLTV di atas, pastinya kamu sudah dapat menentukan bahwa:

𝑎1 = 1

𝑏1 = 1

𝑐1 = 1

𝑑1 = 95

𝑎2 = 2

𝑏2 = 3

𝑐2 = 1

𝑑2 = 165

𝑎3 = 1

𝑏3 = 1

𝑐3 = −1𝑑3 = 5

Sehingga, nilai 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 ditentukan sebagai berikut.

𝑥 =

|

9511951

165

31165

3

51−151

|

|
11111

23123

11−111

|

𝑥 =

(95 ⋅ 3 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 1 ⋅ 5 + 1 ⋅ 165 ⋅ 1) − (5 ⋅ 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ 95 + (−1) ⋅ 165 ⋅ 1)

(1 ⋅ 3 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 ⋅ 1) − (1 ⋅ 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ 2 ⋅ 1)

𝑥 =

(−285 + 5 + 165) − (15 + 95 − 165)

(−3 + 1 + 2) − (3 + 1 − 2)
= −115 + 55

0 − 2
= −60

−2 = 𝟑𝟎.

𝑦 =

|
195

1195

2165

12165

15−115

|

|
11111

23123

11−111

|

𝑦 =

(1 ⋅ 165 ⋅ (−1) + 95 ⋅ 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 ⋅ 5) − (1 ⋅ 165 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ 2 ⋅ 95)

−2

𝑦 =

(−165 + 95 + 10) − (165 + 5 − 190)

−2
= −60 + 20

−2
= −40

−2 = 𝟐𝟎.

𝑧 =

|
119511

23165

23

11511

|

|
11111

23123

11−111

|

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

56

𝑧 = (1 ⋅ 3 ⋅ 5 + 1 ⋅ 165 ⋅ 1 + 95 ⋅ 2 ⋅ 1) − (1 ⋅ 3 ⋅ 95 + 1 ⋅ 165 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 ⋅ 1)

−2

𝑍 =

(15 + 165 + 190) − (285 + 165 + 10)

−2
= −90

−2 = 𝟒𝟓.

Jadi, penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah (𝟑𝟎, 𝟐𝟎, 𝟒𝟓). Hasil ini

sama dengan hasil yang didapat menggunakan metode eliminasi-substitusi.

Langkah-langkah yang harus kamu lakukan untuk menyelesaikan

SPLTVdengan metode determinanadalah sebagai berikut.

(1)Buat susunan bilangan dari koefisien-koefisien pada SPLTV membentuk

baris dan kolom. Kolom pertama untuk koefisien 𝑥, kolom kedua untuk

koefisien 𝑦, kolom ketiga untuk koefisien 𝑧, kolom keempat untuk

koefisien 𝑥 lagi, dan kolom kelima untuk koefisien 𝑦 lagi. Adapun susunan

barisnya berdasarkan urutan persamaan pada SPLTV.

(2)Rumus untuk nilai 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 hanya berupa pembagian dua unsur, yakni

pembilang dan penyebut. Susunan bilangan yang didapat pada langkah

(1) kita tempatkan sebagai penyebut bagi rumus nilai 𝑥, 𝑦, dan 𝑧.

(3)Pembilang untuk rumus nilai 𝑥 didapat dari susunan bilangan pada

langkah (1) dengan mengganti koefisien 𝑥 dengan konstanta, sesuai

dengan urutan persamaannya.

(4)Pembilang untuk rumus nilai 𝑦 didapat dari susunan bilangan pada

langkah (1) dengan mengganti koefisien 𝑦 dengan konstanta, sesuai

dengan urutan persamaannya.

(5)Pembilang untuk rumus nilai 𝑧 didapat dari susunan bilangan pada

langkah (1) dengan mengganti koefisien 𝑧 dengan konstanta, sesuai

dengan urutan persamaannya.

(6)Operasikan setiap susunan bilangan mengikuti pola berikut.

▪Kalikan bilangan-bilangan yang segaris.







Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

57

▪Jumlahkan hasil perkalian bilangan pada garis biru, kurangkan

hasilnya dengan jumlah hasil perkalian bilangan pada garis hitam.

(7)Selesaikan operasi perhitungan pada setiap variabel, maka didapat

penyelesaian dari SPLTV yang dikerjakan.

Metode determinan ini dapat pula kamu kombinasikan dengan metode

eliminasi ataupun substitusi.

Untuk menguji pemahaman kamu mengenai cara menyelesaikan SPLTV

dengan metode determinan, coba kerjakan soal-soal latihan berikut,

Latihan

Jawablah semua soal berikut dengan menyertakan langkah-langkah

penyelesaiannya!

1.Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut menggunakan metode

determinan.

{

𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 9

(1)

2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 8

(2)

3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 7

(3)

2.Sari membeli 3 wadai untuk, 2 wadai cincin, 1 wadai cucur seharga

Rp8500 di sebuah warung. Di warung yang sama, Desi membeli 2 wadai

untuk, 2 wadai cincin, dan 1 wadai cucur seharga Rp7.000. Di situ juga

ada Doni yang membeli 1 wadai untuk, 2 wadai cincin, dan 1 wadai cucur

seharga Rp6.500. Tentukan harga wadai untuk, cincin, dan cucur per

buah dengan menggunakan metode determinan.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

58

Glosarium

Acil

: Saudara perempuan dari ayah/ibu; bibi.

Amparan tatak

: Kue khas Banjar berwarna putih yang terbuat dari

adonan tepung beras dan santan dengan potongan pisang
di tengahnya yang dimasak dengan cara dikukus di
dalam loyang. Kue ini kadang juga dibuat dari tepung
terigu dan pisang juga dapat diganti dengan nangka.

Apam

: Kue tradisional yang terbuat dari adonan tepung beras

atau tepung terigu dengan campuran santan dan gula
merah atau gula putih yang dimasak dengan cara
dikukus. Apam dikenal di banyak daerah di Indonesia
dan setiap daerah memiliki kekhasan tersendiri. Di
Kalimantan Selatan, apam yang terkenal adalah apam
Barabai.

Bingka

: Kue khas Banjar dengan cita rasa manis dan bertekstur

lembut yang terbuat dari campuran tepung terigu,
santan, telur, dan gula. Bingka biasanya dimasak dengan
cara dipanggang dalam cetakan berbentuk bunga, namun
ada pula yang berbentuk bulat. Ada berbagai macam
varian bingka yang biasa dibuat, seperti bingka kentang,
tapai, labu, pandan, dan gula merah.

Bumbu Habang

: Bumbu masak khas Banjar yang berwarna merah

(habang) karena terbuat dari cabai merah kering yang
sudah dihaluskan dicampur bumbu-bumbu lain seperti
bawang merah, bawang putih, kayu manis, gula merah,
dan sebagainya. Meskipun terbuat dari cabai, umumnya
bumbu habang bercita rasa agak manis.

Cincin (kue)

: Kue khas Banjar yang berbentuk bundar dan gepeng

serta memiliki empat lubang seperti kancing baju. Kue
ini terbuat dari adonan tepung beras, pisang, serta gula
merah yang dimasak dengan cara digoreng.

Cucur

: Kue tradisional yang juga dikenal di berbagai daerah di

Indonesia yang berbentuk bundar dan agak pipih dengan
bagian pinggirnya agak melengkung. Kue ini terbuat dari
campuran tepung terigu, tepung beras, serta gula merah
dan dimasak dengan cara digoreng serta memiliki tekstur
agak berminyak dan berserat.

Dadar gulung

: Kue tradisional yang dikenal di Indonesia dan Malaysia

berupa panekuk yang digulung dengan isian kelapa yang
dicampur gula merah. Di Kalsel, isian tersebut disebut

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

59

inti. Adapun kulit dadar gulung terbuat dari adonan
tepung terigu serta garam dan dapat pula diberi pewarna
makanan kemudian dimasak di atas wajan.

Dodol kandangan

: Dodol yang berasal dari daerah Kandangan, Kabupaten

Hulu Sungai Selatan. Bahan utama dodol ini adalah
beras ketan dan gula merah, namun ada juga varian rasa
lain seperti kacang, durian, nangka, kelapa muda, wajik,
dan kasirat (parutan kelapa muda).

Gambut

: Salah satu kecamatan di Kabupaten Banjar, Provinsi

Kalimantan Selatan.

Gula Habang

: Gula merah; gula aren.

Haruan

: Salah satu jenis ikan air tawar yang memiliki kepala

besar agak gepeng mirip kepala ular dan tubuh yang
bulat memanjang. Di Indonesia lebih dikenal dengan
nama ikan gabus. Nama ilmiahnya adalah Channa
striata.

Kai

: Ayah dari orang tua kita; kakek.

Kalalapon

: Kue khas Banjar berbentuk bulat-bulat kecil berwarna

hijau yang terbuat dari ketan dengan isian gula merah
dan biasanya disajikan dengan taburan kelapa parut;
klepon

Kandangan

: Ibu kota kabupaten Hulu Sungai Selatan, Provinsi

Kalimantan Selatan.

Kapul

: Sejenis buah lokal Kalimantan yang berbentuk bulat

mirip manggis namun dengan warna kulit buah kuning
kecokelatan hingga jingga kemerahan. Daging buahnya
berwarna putih dan ada juga yang kuning dengan rasa
campuran manis dan asam. Nama ilmiahnya adalah
Baccaurea borneensis.

Kasturi

: Sejenis

mangga

lokal

Kalimantan

Selatan

yang

berukuran kecil. Kulitnya berwarna hijau kemerahan
dengan bintik-bintik cokelat gelap. Daging buahnya
berserat dan beraroma harum. Nama ilmiahnya adalah
Mangifera casturi.

Ketupat Kandangan : Makanan khas Kandangan berupa ketupat yang

disajikan dengan kuah santan yang dimasak dengan
bumbu khas dilengkapi lauk ikan gabus yang diasap
kemudian dimasak bersama kuah santan.

Kuini

: Sejenis mangga yang memiliki rasa dan aroma harum

yang khas. Kulit buahnya berwarna hijau tua dengan
bintik-bintik cokelat. Sementara daging buahnya yang

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

60

sudah matang berwarna kuning cerah, cukup tebal
dengan rasa asam manis dan agak berserat. Nama
ilmiahnya Mangifera odorata; kweni.

Lapat

: Makanan khas Banjar yang terbuat dari beras yang

dimasak dengan santan dan dibungkus menggunakan
daun pisang. Lapat biasanya dimakan dengan sambal
kacang khas Banjar.

Lapis (kue)

: Kue tradisional yang memiliki warna berlapis-lapis yang

terbuat dari adonan tepung beras atau terigu. Warna
yang umumnya digunakan yaitu cokelat, hijau, putih,
serta merah.

Lempeng

: Kue khas Banjar berupa panekuk yang terbuat dari

campuran tepung terigu, pisang, serta parutan kelapa.

Lok Baintan

: Sebuah desa di kecamatan Sungai Tabuk, Kabupaten

Banjar. Desa ini terkenal dengan pasar terapung Lok
Baintan.

Maritam

: Sejenis buah khas Kalimantan yang masih kerabat buah

rambutan. Bentuk dan ukuran buahnya sangat mirip
dengan rambutan. Bedanya kulit buah maritam tidak
memiliki rambut, tetapi memiliki tonjolan seperti duri
tumpul, dan berwarna merah kehitaman. Daging
buahnya juga mirip rambutan dengan rasa yang beragam
mulai dari manis hingga asam. Nama ilmiahnya adalah
Nephelium mutabile.

Mundar

: Sejenis buah khas Kalimantan yang masih kerabat buah

manggis. Buahnya berbentuk bulat dengan kulit
berwarna merah cerah dan berukuran lebih kecil dari
manggis. Daging buahnya berwarna putih dengan rasa
campuran asam dan manis. Nama ilmiahnya Garcinia
forbesii.

Pais (kue)

: Kue khas Banjar yang terbuat dari tepung terigu atau

tepung beras, santan, serta pisang yang dibungkus daun
pisang dan dimasak dengan cara dikukus. Selain pais
pisang, ada pula pais waluh yang terbuat dari tepung
terigu, santan, labu, serta gula merah.

Papuyu

: Salah satu jenis ikan air tawar berukuran relatif kecil

dengan ciri terdapat garis-garis gelap agak samar pada
bagian sampingnya. Bagian atas tubuhnya berwarna
gelap

kehitaman

sementara

bagian

bawah

agak

kekuningan. Ikan ini umumnya hidup di rawa-rawa,
sawah, sungai kecil, ataupun kolam-kolam bekas banjir.
Dikenal juga dengan nama ikan betok dengan nama
ilmiah Anabas testudineus.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

61

Pundut nasi

: Makanan khas Banjar yang terbuat dari beras yang

dimasak dengan santan dan dibungkus daun pisang
kemudian

dikukus,

namun

cara

membungkusnya

berbeda dengan lapat. Ciri khas lainnya yaitu sebelum
dibungkus, bagian atas nasi disiram dengan santan.
Pundut nasi biasanya dimakan dengan sambal habang
khas Banjar.

Rabuk

: Abon khas Banjar, biasanya terbuat dari ikan haruan

dengan tambahan santan serta rempah-rempah.

Ramania

: Sejenis buah berbentuk bulat kecil berwarna hijau saat

muda dan kuning saat sudah matang serta bijinya
berwarna ungu. Dikenal juga dengan nama gandaria
atau jatake dengan nama ilmiah Bouea macrophylla.

Soto Banjar

: Soto ayam khas Banjar yang dimasak dengan tambahan

rempah-rempah serta berwarna agak keruh karena
ditambah

susu

atau

kentang

rebus

yang

telah

dilumatkan.

Biasanya

disajikan

dengan

potongan

ketupat, irisan telur rebus, suwiran ayam, irisan wortel,
potongan perkedel, bihun, irisan daun seledri, bawang
goreng, serta irisan jeruk nipis/jeruk purut.

Tapai/Tape

: Makanan hasil fermentasi beras ketan atau singkong

yang telah diberi ragi. Tapai beras biasanya diberi
pewarna hijau dari daun katuk dan dibentuk bulat-bulat
kecil. Di Kalsel, tapai beras sering menjadi campuran kue
seperti bingka.

Untuk (kue)

: Kue khas Banjar berbentuk bulat yang terbuat dari

tepung terigu yang diuleni serta diberi ragi dan dimasak
dengan cara digoreng. Umumnya diberi isian berupa inti
(campuran kelapa parut dan gula merah), kacang hijau,
kacang tanah, ataupun pisang.

Wadai

: Penganan atau makanan ringan yang bukan makanan

utama, biasanya berbahan dasar tepung dengan cita rasa
manis, gurih, ataupun asin; kue.

Waluh

: Istilah Banjar untuk labu, merujuk pada labu kuning

yang biasa dijadikan sayur serta campuran makanan
seperti kolak dan berbagai jenis kue.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

62

Kunci Jawaban Latihan

Latihan 1

1.Poin (a) dan (c) dapat membentuk SPLTV, poin (b) dan (d) tidak.

2.{

𝑥 + 10𝑦 + 5𝑧 = 17
𝑥 + 15𝑦 + 8𝑧 = 22

2𝑥 + 25𝑦 + 10𝑧 = 36

3.{

15𝑥 + 10𝑦 + 8𝑧 = 500

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 50
4𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0

Latihan 2

1.(a) 3𝑥 + 𝑦 =

1

2

(b) 7𝑥 −

3

2𝑦 = 5

(c) 𝑥 =

1

2

(d) (

1

2, −1, 0)

2.(a) 𝑧 = 2𝑥 + 3𝑦

(b) Persamaan (4): 3𝑥 + 𝑦 = −5; Persamaan (5): −3𝑥 − 2𝑦 = 1
(c) 𝑦 = −3𝑥 − 5; 𝑥 = −3
(d) (−3, 4, 6)

3.(8, 6, 5)
Latihan 3

1.1 loyang amparan tatak memerlukan 8 buah pisang, 1 buah pais pisang

memerlukan

2

5 buah pisang, dan 1 buah lempeng pisang memerlukan 1

buah pisang.

2.1 kotak kecil berisi 10 buah kalalapon, 1 kotak sedang berisi 15 buah

kalalapon, dan 1 kotak besar berisi 25 buah kalalapon.

3.Keluarga keempat harus membayar sebesar Rp75.000.
Latihan Pengayaan

1.(4, −1, −2)
2.Harga wadai untuk Rp1.000, harga wadai cincin Rp2.000, harga wadai

cucur Rp1.500.

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

63

Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1

1.D

2.C

3.D

4.E

5.C

Tes Formatif 2

1.B

2.D

3.A

4.C

5.C

Tes Formatif 3

1.D

2.C

3.B

4.E

5.A

Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

64

Daftar Pustaka

Tim Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. (2016). Matematika Untuk

SMP/MTs Kelas VII Semester 1 Edisi Revisi. Jakarta: Kementerian
Pendidikan dan Kebudayaan.

Tim Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. (2017). Matematika Untuk

SMA/MA/SMK/MAK Kelas X Edisi Revisi. Jakarta: Kementerian
Pendidikan dan Kebudayaan.

Tim Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. (2017). Matematika Untuk

SMA/MA/SMK/MAK Kelas X Edisi Revisi: Buku Guru. Jakarta:
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.

Tim Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. (2017). Matematika Untuk

SMP/MTs Kelas VIII Semester 1 Edisi Revisi. Jakarta: Kementerian
Pendidikan dan Kebudayaan.