Vektorgeometrie I Repetition

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​Vektor

•Wie ist ein Koordinatensystem aufgebaut und wie benenne ich Punkte darin?

•Wie ist ein Vektor definiert? Welche Eigenschaften hat er?

•Wie addiere ich Vektoren graphisch und rechnerisch oder multipliziere sie mit einem Skalar?

•Wann sind Vektoren kollinear und was ist eine Linearkombination?

•Wie schreibe ich Vektoren korrekt auf? Was ist eine Basis?

•Wie berechne ich die Länge eines Vektors, den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten und den Winkel zwischen zwei Vektoren?

Repetition der Vektorgeometrie I

Vektorgeometrie I Repetition

​Das Koordinatensystem

​Beispiel: A( 1 | 1 | 1 )

Es besteht aus den aufeinander senkrecht stehenden x-, y- und z-Achse und dem Ursprung, O(0|0|0).

Die einzelnen Einträge von den Punkten nennen wir x-, y- und z-Koordinate.

​

Multiple Choice

Welche Aussage stimmt für B, wenn A(1|1|1)?

• B(1|0|0)

• B(0|-1|0)

• B(0|0|-1)

• B(1|-1|0)

Multiple Choice

Welche Aussage stimmt für C, wenn A(1|1|1)?

• C(1|0|-1)

• C(|-1|-1)

• C(1|1|-1)

• C(1|-1|0)

Multiple Choice

Welche Aussage stimmt für D, wenn A(1|1|1)?

• D(-1|-1|-1)

• D(1|1|0)

• D(-1|1|-1)

• D(1|-1|1)

Multiple Choice

Welche Aussage stimmt für E, wenn A(1|1|1)?

• E(-0.5|-0.5|-0.5)

• E(0.5|1|1)

• E(1|-1|-1)

• E(-0.5|1|0.5)

​Das Koordinatensystem

​Beispiel: A( 1 | 1 | 1 )

Für die eingezeichneten Punkte gilt

A(1|1|1),

B(0|0|-1),

C(0|-1|-1),

D(-1|1|-1),

E(-0.5|1|0.5)

​

​Was ist ein Vektor?

Ein Vektor fasst alle gleich langen Pfeile gleicher Richtung zusammen.

Er hat zwei Eigenschaften: Länge und Richtung.

Ein gezeichneter Pfeil repräsentiert diesen Vektor.

​

​Dies sind 8 Repräsentanten eines einzelnen Vektors.

Multiple Choice

Wie viele Vektoren sind hier abgebildet?

• 35

• 4

• 3

• 30

Es sind 4 Vektoren mit jeweils 6, 10, 10 und 9 Repräsentanten.

​Wie viele Vektoren sind abgebildet?

​Graphische Addition & Skalarmultiplikation

​Ortsvektor und Vektor zwischen Punkten

​O

​O

​​Punkte sind Grossbuchstaben, Vektoren Kleinbuchstaben oder Verbindungsvektoren zwischen zwei Punkten wie hier.

Multiple Choice

Bestimmen Sie zwei kollineare Vektoren.

• AH und BC

  sowie

  OB und FA

• OG und BD

  sowie

  OA und OB

• BA und FA

  sowie

  DH und OD

• BG und DH

  sowie

  AG und AC

​Kollineare Vektoren

Für die eingezeichneten Punkte gilt die folgenden Vektoren sind kollinear:

OG und BD sind sogar Gegenvektoren.

​

Multiple Choice

Finden Sie eine Bezeichnung für $$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{HG}$$ .

• Vektor OG

• Vektor OH

• Vektor OF

• Vektor OC

Multiple Choice

Wie bestimmt man einen Verbindungsvektor $$\overrightarrow{AB}$$ zwischen zwei Punkten A und B?

• Endpunkt minus Anfangspunkt

• Anfangspunkt minus Endpunkt

• $$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$$

• $$\left(\frac{a_1+b_1}{2}\left|\frac{a_2+b_2}{2}\right|\frac{a_3+b_3}{2}\right)$$

​Linearkombination

​Rechnerische Addition & Skalarmultiplikation

Die Vektoraddition funktioniert rechnerisch in dem man alle Komponenten miteinander addiert.

Skalarmultiplikation funktioniert in dem man alle Komponenten mit dem selben Skalar (=Zahl) multipliziert.

​

Länge von Vektoren

​Bestimmen Sie die Längen dieser Vektoren und gehen Sie erst dann zur nächsten Folie!

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Multiple Choice

Wozu bestimmt man das Skalarprodukt von zwei Vektoren? Um ...

• die Richtung eines Vektors zu bestimmen.

• zu bestimmen ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen.

• die Länge eines Vektors zu bestimmen.

• zu bestimmen, ob zwei Vektoren komplanar zueinander liegen.

Skalarprodukt von Vektoren

Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren dient dem Bestimmen des Winkels zwischen diesen beiden. Man multipliziert zwei Vektoren und erhält eine Zahl.

 

 

​

​Das Skalarprodukt ist definiert als die Summe zwischen den Produkten der einzelnen Komponenten. Die zweite Gleichung lässt sich mit dem Kosinussatz beweisen.

Multiple Choice

Welche Aussage stimmt?

• Ja, sie sind senkrecht zueinander, da das Skalarprodukt 90° ergibt.

• Ja, sie sind senkrecht aufeinander, da das Skalarprodukt Null ergibt.

• Nein, sie sind nicht senkrecht zueinander, da das Skalarprodukt nicht 90° ergibt.

• Diese zwei Vektoren können nicht senkrecht zueinander sein.

Skalarprodukt von Vektoren

Skalarprodukt von Vektoren

​Bestimmen Sie den Winkel, den diese beiden Vektoren einschliessen.

Tun Sie dies bevor Sie zur nächsten Folie weiterklicken.

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Multiple Select

Wozu bestimmt man das Vektorprodukt von zwei Vektoren? Um ...

• den Winkel zwischen den beiden Vektoren zu bestimmen.

• zu bestimmen, ob die beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen.

• einen dritten, zu den beiden anderen senkrechten Vektor, zu bestimmen.

• die Parallelogramfläche, die von den beiden Vektoren aufgespannt wird, zu bestimmen.

Vektorprodukt von Vektoren

Das Vektorprodukt zwischen zwei Vektoren dient dem Bestimmen eines zu zwei Vektoren senkrechten Vektors.

 

 

​

​Dieser Vektor steht senkrecht auf den gegebenen Vektoren und seine Länge entspricht der Parallelogramfläche, die von den beiden Vektoren aufgespannt wird.

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