NIVELES DE ALGEBRIZACIÓN

NIVEL 2

(NIVEL INTERMEDIO DE ALGEBRIZACIÓN)

Ejemplo: Una caja mágica duplica el número de monedas que metas en ella, pero
después que se usa cada vez se deben pagar 4 monedas. Juan probó e introdujo sus
monedas en la caja y, efectivamente se duplicaron. Pagó 4 monedas y volvió a
intentarlo. De nuevo se duplicaron, pero al pagar las 4 monedas se quedó sin dinero.
¿Cuántas monedas tenía Juan al principio?

Solución 1: Si Juan tuviera 2 monedas podría jugar; al meterlas en la máquina
obtendría 4, pagaría 4 y se quedaría con 0, por lo que no podría volver a jugar. Si
Juan tuviera 3 moneda, al meterlas en la máquina obtendría 6, al pagar 4 se queda
con 2. Vuelve a meterlas, obtiene 4; al pagar 4 se queda sin dinero. Luego Juan
tenía al principio 3 monedas.

La actividad matemática desarrollada en esta resolución no pone en juego ningún
nivel de algebrización. El sujeto trabaja con valores particulares de las variables de
la tarea y opera aritméticamente con ellos.

Solución 2: Juan comienza con n monedas (cantidad desconocida); al ponerlas en la
máquina obtiene 2n; paga 4 y se queda con 2n-4. Introduce en la máquina y obtiene el
doble, o sea, 2(2n-4). Al pagar 4 se queda sin dinero, o sea:

La solución 2 es claramente de nivel 2. La cantidad desconocida de monedas (incógnita) se
representa simbólicamente mediante una ecuación de la forma Ax + B = C.

NIVEL 3

(NIVEL CONSOLIDADO DE ALGEBRIZACIÓN)

Un profesor propone a sus estudiantes el siguiente problema:

Hay seis asientos entre sillas y taburetes. Las sillas tienen cuatro patas y los taburetes tienen
tres. En total hay 20 patas. ¿Cuántas sillas y cuántos taburetes hay?

ESTUDIANTE A

ESTUDIANTE B

Supongamos que hay el mismo número de sillas y de
taburetes: .Como el resultado sobrepasa el total de
20 patas, excediéndose en 1 pata, se cambia una
silla (de 4 patas) por un taburete (de 3 patas).
Finalmente se obtiene 4 taburetes y 2 sillas: ,
teniendo un total de 20 patas.

Sea T el número de taburetes y S el número de sillas.
Como el total de taburetes y sillas deben sumar 6,
entonces, T+S=6 . Por otro lado, se debe tener un
total de 20 patas entre los taburetes y las sillas, esto
es, 3T+4S=20 . Como de T+S=6 se obtiene que
T=6-S ; por tanto, 3(6-S)+4S=20 , de donde
18+S=20 , obteniéndose finalmente que S=2 . Si
S=2, entonces T=4. Se deben tener 4 taburetes y 2
sillas para tener una total de 20 patas.

NIVELES DE ALGEBRIZACIÓN

Juan D. Godino, Lilia P. Aké, M.
Gonzato

ESTADIOS EN LA COMPRENSIÓN DE
LAS VARIABLES

Los alumnos progresan en su comprensión del uso de letras y el
dominio de las variables según ciertos estadios o niveles.

ESTADIO 1:

LETRA

EVALUADA

El niño asigna un valor numérico a las letras desde el
principio. Si se pregunta al niño,

"Si 5 +2x =13, ¿cuánto vale x?", dirá que 4, sin que
seguramente haga ninguna manipulación escrita, le
bastará un simple cálculo mental. Un ejercicio tal como
11 - y = 6 se resuelve simplemente recordando la
tabla de sumar, 6 +5 = 11.

NIVEL 0

(AUSENCIA DE RAZONAMIENTO ALGEBRAICO)

Ejemplo 2. En un libro de primaria encontramos el siguiente ejercicio.

Realiza estas sumas y compara los resultados:

Si un alumno se limita a realizar las operaciones pedidas y comprobar que los
resultados son iguales dos a dos, la actividad matemática realizada no implica ningún
nivel de razonamiento algebraico.

ESTADIO 2:

LETRA

IGNORADA

El niño ignora la presencia de la letra, o no le da
ningún significado. Si se le pregunta el valor de a + b
+2 cuando se sabe que a+b es igual a 27, el niño
puede responder 29 sin pensar en ningún momento
sobre la a, la b o la suma a+b.

NIVEL 1

(NIVEL INCIPIENTE DE ALGEBRIZACIÓN)

En el caso de prácticas matemáticas que ponen en juego incógnitas y relaciones
(ecuaciones) el uso de materializaciones simbólicas (__, ..., [ ], ) para las cantidades
desconocidas marca un primer nivel de algebrización si la determinación del valor
desconocido no se hace mediante la mera asignación del resultado de operaciones
sobre objetos particulares.

ESTADIO 3:

LETRA USADA
COMO OBJETO

La letra es considerada como un objeto concreto. La
frase matemática 3m + 7m y la frase "tres manzanas
y siete manzanas" se consideran como equivalentes.
La letra m se ve como la abreviatura del nombre de
un objeto particular. Esto ocurre especialmente en
problemas donde se involucran objetos concretos
como lápices, mesas, etc., y es esencial distinguir entre
los objetos y las cantidades de los mismos.

NIVEL 1

Ejemplo: Continúa la siguiente secuencia: rojo, azul, azul, rojo, azul, azul, ...

Un alumno razona de la siguiente manera: Después de un rojo, siempre siguen dos azules y
después de dos azules sigue un rojo.

El alumno que razona de esta manera reconoce una regla general compatible con el conjunto
finito de elementos dados que le permite ir generando sucesivamente los términos de la
secuencia. Consideramos esta actividad de nivel 1 de algebrización. Si el alumno se limita a
escribir los términos que siguen en algunos casos, sin expresar alguna regla general la
actividad sería de nivel 0.

ESTADIO 4:

LETRA USADA

COMO

INCÓGNITA
ESPECÍFICA

Los niños consideran las letras como un número
desconocido, pero específico y pueden operar sobre
él directamente. "¿Cuál es el resultado de añadir 4 a
3n?" La respuesta esperada, 4+3n, requiere
considerar n como incógnita genuina, pero los niños en
este estadio pueden dar como solución 3n y 4, 7n, o
7, en las que los elementos que intervienen son
combinados sin tener en cuenta la presencia de la
letra.

NIVEL 2

(NIVEL INTERMEDIO DE ALGEBRIZACIÓN)

Ejemplo: Una caja mágica duplica el número de monedas que metas en ella, pero
después que se usa cada vez se deben pagar 4 monedas. Juan probó e introdujo sus
monedas en la caja y, efectivamente se duplicaron. Pagó 4 monedas y volvió a
intentarlo. De nuevo se duplicaron, pero al pagar las 4 monedas se quedó sin dinero.
¿Cuántas monedas tenía Juan al principio?

Solución 1: Si Juan tuviera 2 monedas podría jugar; al meterlas en la máquina
obtendría 4, pagaría 4 y se quedaría con 0, por lo que no podría volver a jugar. Si
Juan tuviera 3 moneda, al meterlas en la máquina obtendría 6, al pagar 4 se queda
con 2. Vuelve a meterlas, obtiene 4; al pagar 4 se queda sin dinero. Luego Juan
tenía al principio 3 monedas.

La actividad matemática desarrollada en esta resolución no pone en juego ningún
nivel de algebrización. El sujeto trabaja con valores particulares de las variables de
la tarea y opera aritméticamente con ellos.

ESTADIO 5:

LETRA USADA

COMO UN
NÚMERO

GENERALIZADO

Una letra se ve como representando varios valores
diferentes en lugar de uno solo. Si se pregunta a los
niños que enlisten todos los valores de A cuando A +
B = 10 podemos encontrar que ofrecen uno o varios
números que cumplen la condición, pero no reconocen
la necesidad de enlistar todos los valores.

Solución 2: Juan comienza con n monedas (cantidad desconocida); al ponerlas en la
máquina obtiene 2n; paga 4 y se queda con 2n-4. Introduce en la máquina y obtiene el
doble, o sea, 2(2n-4). Al pagar 4 se queda sin dinero, o sea:

La solución 2 es claramente de nivel 2. La cantidad desconocida de monedas (incógnita) se
representa simbólicamente mediante una ecuación de la forma Ax + B = C.

ESTADIO 6:

LETRA USADA

COMO VARIABLE

La letra se ve como representando un rango de
valores no especificados.

Si se pregunta, ¿qué es mayor 3n o n+3?

La letra n tiene que representar en cada caso un
conjunto de valores no especificados y usarse como
herramienta para hacer la comparación sistemática
entre tales conjuntos. Si los niños prueban con un solo
número, por ejemplo 4, o con tres o cuatro números
particulares, decimos que están considerando la letra
como número generalizado (estadio 5). Pero si
consideran la relación en términos de todos los
números, aunque pueden usar algunos ejemplos
específicos para ayudarse en la decisión, entonces
decimos que están en el estadio 6 y tratan la letra
como variable.

NIVEL 3

(NIVEL CONSOLIDADO DE ALGEBRIZACIÓN)

Un profesor propone a sus estudiantes el siguiente problema:

Hay seis asientos entre sillas y taburetes. Las sillas tienen cuatro patas y los taburetes tienen
tres. En total hay 20 patas. ¿Cuántas sillas y cuántos taburetes hay?

ESTUDIANTE A

ESTUDIANTE B

Supongamos que hay el mismo número de sillas y de
taburetes: .Como el resultado sobrepasa el total de
20 patas, excediéndose en 1 pata, se cambia una
silla (de 4 patas) por un taburete (de 3 patas).
Finalmente se obtiene 4 taburetes y 2 sillas: ,
teniendo un total de 20 patas.

Sea T el número de taburetes y S el número de sillas.
Como el total de taburetes y sillas deben sumar 6,
entonces, T+S=6 . Por otro lado, se debe tener un
total de 20 patas entre los taburetes y las sillas, esto
es, 3T+4S=20 . Como de T+S=6 se obtiene que
T=6-S ; por tanto, 3(6-S)+4S=20 , de donde
18+S=20 , obteniéndose finalmente que S=2 . Si
S=2, entonces T=4. Se deben tener 4 taburetes y 2
sillas para tener una total de 20 patas.

ESTADIOS EN LA COMPRENSIÓN DE
LAS VARIABLES

Los alumnos progresan en su comprensión del uso de letras y el
dominio de las variables según ciertos estadios o niveles.

ESTADIO 1:

LETRA

EVALUADA

El niño asigna un valor numérico a las letras desde el
principio. Si se pregunta al niño,

"Si 5 +2x =13, ¿cuánto vale x?", dirá que 4, sin que
seguramente haga ninguna manipulación escrita, le
bastará un simple cálculo mental. Un ejercicio tal como
11 - y = 6 se resuelve simplemente recordando la
tabla de sumar, 6 +5 = 11.

ESTADIO 2:

LETRA

IGNORADA

El niño ignora la presencia de la letra, o no le da
ningún significado. Si se le pregunta el valor de a + b
+2 cuando se sabe que a+b es igual a 27, el niño
puede responder 29 sin pensar en ningún momento
sobre la a, la b o la suma a+b.

ESTADIO 3:

LETRA USADA
COMO OBJETO

La letra es considerada como un objeto concreto. La
frase matemática 3m + 7m y la frase "tres manzanas
y siete manzanas" se consideran como equivalentes.
La letra m se ve como la abreviatura del nombre de
un objeto particular. Esto ocurre especialmente en
problemas donde se involucran objetos concretos
como lápices, mesas, etc., y es esencial distinguir entre
los objetos y las cantidades de los mismos.

ESTADIO 4:

LETRA USADA

COMO

INCÓGNITA
ESPECÍFICA

Los niños consideran las letras como un número
desconocido, pero específico y pueden operar sobre
él directamente. "¿Cuál es el resultado de añadir 4 a
3n?" La respuesta esperada, 4+3n, requiere
considerar n como incógnita genuina, pero los niños en
este estadio pueden dar como solución 3n y 4, 7n, o
7, en las que los elementos que intervienen son
combinados sin tener en cuenta la presencia de la
letra.

ESTADIO 5:

LETRA USADA

COMO UN
NÚMERO

GENERALIZADO

Una letra se ve como representando varios valores
diferentes en lugar de uno solo. Si se pregunta a los
niños que enlisten todos los valores de A cuando A +
B = 10 podemos encontrar que ofrecen uno o varios
números que cumplen la condición, pero no reconocen
la necesidad de enlistar todos los valores.

ESTADIO 6:

LETRA USADA

COMO VARIABLE

La letra se ve como representando un rango de
valores no especificados.

Si se pregunta, ¿qué es mayor 3n o n+3?

La letra n tiene que representar en cada caso un
conjunto de valores no especificados y usarse como
herramienta para hacer la comparación sistemática
entre tales conjuntos. Si los niños prueban con un solo
número, por ejemplo 4, o con tres o cuatro números
particulares, decimos que están considerando la letra
como número generalizado (estadio 5). Pero si
consideran la relación en términos de todos los
números, aunque pueden usar algunos ejemplos
específicos para ayudarse en la decisión, entonces
decimos que están en el estadio 6 y tratan la letra
como variable.