BILANGAN

​Ujian Akhir Semester (UAS)

Teknologi Informasi dan Komunikasi (TIK)

"BILANGAN"

Yang dibimbing oleh dosen : Vina Vijaya Kusuma,M.Pd

Disusun oleh :

Tri Utari (211247)

PROGRAM STUDY PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PRIMAGRAHA

2023-2024

BILANGAN

​Pengertian Bilangan

Bilangan merupakan kumpulan angka yang menempati urutan dari  kanan sebagai nilai satuan, puluhan, ratusan, ribuan dan seterusnya. Pengertian lain, bilangan merupakan konsep matematika yang dipakai untuk pencacahan dan pengukuran.

MACAM-MACAM BILANGAN

1. Bilangan Nol

Bilangan nol adalah bilangan yang tidak memiliki nilai apapun. Ini artinya tidak bilangan nol adalah bilangan yang kosong.

Bilangan nol ditulis dengan angka 0. Contoh bilangan nol adalah angka 0 itu sendiri.

2. Bilangan Bulat

Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan nol, bilangan positif, dan bilangan negatif.

Bilangan positif adalah bilangan dengan angka yang bermuatan positif. Contohnya 1, 2, 3, 4, 4, 6, 7, 8, 9, dan seterusnya.

Bilangan positif adalah bilangan dengan angka yang bermuatan positif. Contohnya 1, 2, 3, 4, 4, 6, 7, 8, 9, dan seterusnya.

​Jenis-jenis Bilangan Bulat :

• Bilangan Bulat Positif

  Bilangan bulat positif adalah bilangan yang dimulai dari angka satu dan seterusnya. Contohnya adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, dan seterusnya. Jika diteruskan, nilainya semakin besar.

• Bilangan Bulat Negatif

  Bilangan bulat negatif adalah bilangan yang dimulai dari angka negatif satu (-1) dan seterusnya. Contohnya adalah -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, …, dan seterunya. Jika diteruskan, nilainya semakin kecil.

• Bilangan Bulat Nol

  Bilangan bulat nol adalah bilangan yang hanya terdiri dari angka 0.

  Dari ketiga poin di atas, dapat disimpulkan bahwa bil. bulat terdiri

dari beberapa jenis bilangan, yaitu bilangan cacah (0, 1, 2, 3, …, dst), bilangan asli (1, 2, 3, 4, …, dst), bilangan prima (2, 3, 5, 7, 11, …, dst), bilangan ganjil (1, 3, 5, 7, 9, …, dst), dan bilangan genap (2, 4, 6, 8, …, dst).

Operasi Hitung

Secara umum, operasi hitung bilangan ini ada empat, yaitu sebagai berikut.

1. Operasi Hitung Penjumlahan

   Pada penjumlahan, berlaku beberapa sifat berikut.

   1.  Sifat asosiatif, yaitu (a + b) + c = a + (b + c)

   2. Sifat komutatif, yaitu a + b = b + a

   3. Unsur identitas, yaitu a + 0 = 0 + a

​Contoh bil. bulat penjumlahan adalah sebagai berikut.

a. (2 + 5) + 4 = 2 + (5 + 4) = 11

b. 6 + 7 = 7 + 6 = 13

c. 8 + 0 = 0 + 8 = 8

2. Operasi Hitung Pengurangan

   Pada pengurangan tidak berlaku sejumlah sifat seperti halnya penjumlahan. Adapun sifat pengurangan adalah sebagai berikut.

   a – b = a + (-b)

   a – (-b) = a + b

   Contoh bil. bulat pengurangan adalah sebagai berikut.

   12 – 20 = 12 + (-20) = -8, dengan nilai -8 tersebut adalah bilangan bulat negatif.

   1 – (-2) = 1 + 2 = 3

3. Operasi Hitung Perkalian

   Pada perkalian, berlaku sejumlah sifat seperti berikut.

   1. Hasil perkalian antara dua bilangan bulat atau lebih harus mengikuti ketentuan berikut.

      • Perkalian antarbilangan bulat positif = positif. Contoh perkaliannya 2 x 3 = 6.

      • Perkalian antarbilangan bulat negatif = positif. Contoh perkaliannya (-2) x (-3) = 6.

      • Perkalian antara bilangan bulat positif dan negatif = negatif. Contoh perkaliannya (-2) x 3 = -6.
        

• ​Sifat asosiatif, yaitu (a x b) x c = a x (b x c)

• Sifat komutatif, yaitu (a x b) x c = a x (b x c)

• Sifat distributif, yaitu a x (b +c) = (a x b)  (a x c)

  4. Operasi Hitung Pembagian

  1. Hasil pembagian antara dua bilangan bulat atau lebih, harus mengikuti ketentuan berikut.

  a. Pembagian antarbilangan bulat positif menghasilkan bilangan positif. Contoh pembagiannya adalah 6 : 3 = 2.

  b. Pembagian antarbilangan bulat negatif menghasilkan bilangan positif. Contoh pembagiannya adalah (-6) : (-2) = 3.

​c. Pembagian antara bilangan bulat positif dan negatif menghasilkan bilangan negatif. Contoh pembagiannya adalah 6 : (-2) = -3. Perlu diingat bahwa hasil bagi antara dua bil. bulat tidak selalu bil. bulat, contohnya 6 : 4 = 1,5 (angka 1,5 tidak termasuk bilangan bulat).

2. Tidak berlaku sifat komutatif, contohnya 6 : 3 ≠ 3 : 6.

3. Tidak berlaku sifat asosiatif, contohnya (6 : 1) : 3 ≠ 6 : (1 : 3).

4. Jika dibagi dengan nol atau nol sebagai nilai yang dibagi, menghasilkan nilai tak berhingga dan tidak terdefinisi. Contohnya adalah sebagai berikut.

   • 2 : 0 = ~ dan  3 : 0 = ~ , sementara 2 ≠ 3

   • 0 : 2 = 0 dan 0 : 3 = 0, sementara 2 ≠ 3.

3. Bilangan Asli

Bilangan asli diartikan sebagai bilangan bulat positif yang dimulai dari angka 1 hingga seterusnya. Ini artinya bilangan nol (0) tidak termasuk dalam bilangan asli.

Contoh bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, dan seterusnya.

Contoh soal bilangan asli

Jika A adalah himpunan bilangan asli antara 10 dan 16, tentukan himpunan B jika elemen B merupakan kuadrat dari elemen A.

Pembahasan:

A = {11, 12, 13, 14, 15},

B = {11², 12², 13², 14², 15²},

Maka B = {121, 144, 169, 196, 225}

4. Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan bulat positif jumlahnya lebih besar dari satu dan hanya habis dibagi satu atau bilangannya sendiri.

Seperti angka 2 yang hanya bisa dibagi oleh angka 1 dan angka 2 itu sendiri. Begitu juga dengan angka 3.

Namun, angka 4 bukanlah bilangan prima karena selain angka 1 dan 4, angka ini juga bisa dibagi dengan angka 2.

Contoh bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, dan seterusnya selama bilangannya hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri.

​Contoh soal bilangan prima

Manakah diantara 11, 15, 27, 29, 35 yang merupakan bilangan prima?

Pembahasan :

Yang merupakan bilangan prima adalah 11 dan 29
15 bisa dibagi 3 dan 5
27 bisa dibagi 3 dan 9
35 bisa dibagi 5 dan 7

5. Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah bilangan yang terdiri dari bilangan positif dan bilangan nol (0).

Contoh bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, dan seterusnya.

6. Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang terdiri dari angka pembilang dan angka penyebut. Keduanya dipisahkan oleh garis pecahan.

Angka yang berada di atas garis pecahan disebut sebagai pembilang dan angka di bawah garis pecahan disebut dengan penyebut.

Pembilang dalam bilangan pecahan merupakan bilangan bulat, sedangkan penyebut dalam bilangan pecahan adalah bilangan asli.

Itu artinya penyebut dalam pecahan tidak bisa menggunakan angka 0.

7. Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang bisa bisa ditulis dalam bentuk pecahan. 

Atau bisa juga bentuk pecahan yang apabila pembilang dan penyebutnya dibagi menghasilkan suatu bilangan tertentu atau desimal yang berulang.

Contohnya pecahan 1/5 jika ditulis dalam desimal adalah 0,2. Atau 1/9 jika ditulis dalam desimal adalah 0,1111...

Contoh bilangan rasional adalah 0,5 bisa ditulis dalam pecahan 1/2. Lalu angka 2 bisa juga ditulis dengan 10/5 atau 12/6 atau 30/15.

Contoh lainnya 1/3 dalam desimal adalah 0,3333...

8. Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah kebalikan dari bilangan rasional. Artinya jika bilangan dibagi hasilnya tidak akan berhenti dan tidak memiliki pengulangan.

Contohnya adalah nilai Phi, yaitu 22/7 dan dalam desimal 3,14. Sebenarnya nilai Phi ini kurang tepat.

Karena 22/7 sebenarnya dalam desimal adalah 3,142857142857143...

Bilangan seperti itulah yang disebut sebagai bilangan irasional.

Sifat-sifat bilangan irasional

Sifat-sifat bilangan irasional dapat membantu kita menemukan bilangan irasional dari sekumpulan bilangan riil. Di bawah ini merupakan beberapa sifat bilangan irasional, seperti dikutip dari laman Cuemath:

• Bilangan irasional terdiri dari desimal tak berujung dan tak berulang

• Bila suatu bilangan irasional dan bilangan rasional dijumlahkan, maka hasil atau penjumlahannya adalah bilangan irasional saja. Untuk bilangan irasional x, dan bilangan rasional y, hasilnya, x+y = bilangan irasional.
  
  

• ​Bila sembarang bilangan irasional dikalikan dengan bilangan rasional yang bukan nol, hasilnya adalah bilangan irasional. Untuk bilangan irasional x dan bilangan rasional y, hasil kali mereka xy = irasional.

• Untuk dua bilangan irasional apapun, kelipatan persekutuan terkecil (KPK) mereka mungkin ada atau tidak ada.

• Penambahan , pengurangan , perkalian , dan pembagian dua bilangan irasional mungkin atau mungkin bukan bilangan rasional.