Gravitasi Newton

HUKUM NEWTON

 Dinamika adalah ilmu yang mempelajari gaya sebagai penyebab

gerak

 Hukum Newton menyatakan hubungan antara gaya, massa dan

gerak benda

 Gaya adalah kekuatan dari luar berupa dorongan atau tarikan

1 Pendahuluan

2 Hukum Newton

Isaac Newton (1643-1727) mempublikasikan hukum geraknya dan
merumuskan hukum grafitasi universal

5.1

2.1 Hukum Newton I

Setiap benda akan tetap dalam keadaan diam (kecepatan = 0) atau bergerak
sepanjang garis lurus dengan kecepatan konstan (bergerak lurus beraturan) kecuali
bila ia dipengaruhi gaya untuk mengubah keadaannya.

 F = 0

Untuk benda diam atau bergerak lurus beraturan

2.2 Hukum Newton II

Percepatan yang dihasilkan oleh resultan gaya yang bekerja pada suatu benda
berbanding lurus dengan resultan gayanya, searah dengan gaya dan berbanding
terbalik dengan massa benda

m
F
a



ma

F 



5.2

2.3 Hukum Newton III

Jika dua buah benda berinteraksi maka gaya pada benda satu sama dan berlawanan

arah dengan gaya benda lainnya

Faksi = - Freaksi

3 Satuan Gaya

Dimana

: F

= gaya

m

= massa

a

= percepatan

F = m a

Dalam satuan SI

Newton
m
Kg

F




2

det
.

m

Freaksi

Faksi

5.3

HUKUM

GRAVITASI NEWTON

Indikator

•Menganalisis hubungan antara gaya gravitasi
dengan massa benda dan jaraknya

•Menghitung resultan gaya gravitasi pada benda
titik dalam suatu sistem

•Membandingkan percepatan gravitasi dan kuat
medan gravitasi pada kedudukan yang berbeda

•Menganalisis gerak planet dalam tata surya
berdasarkan hukum Keppler

Pendahuluan

Tata Surya merupakan salah satu contoh keselarasan gerak yang indah.
Keteraturan dan keseimbangan antara gerak planet pada orbitnya dan gaya
gravitasi matahari merupakan salah satu fenomena alam yang sangat menarik.
Bagaimana terjadinya peristiwa itu? Uraian berikut akan menjelaskan fenomena
tersebut berdasarkan hukum-hukum Newton

Gaya Gravitasi

Pada saat mengamati buah apel jatuh, Newton
menyadari bahwa terdapat gaya yang bekerja pada
apel dan disebutnya gaya gravitasi. Newton juga
menduga bahwa gaya gravitasi pulalah yang
menyebabkan Bulan tetap berada pada orbitnya.

HK. GRAVITASI UMUM
NEWTON

Newton (1687) : gerak planet mengitari matahari

dipengaruhi gaya interaksi massa antara planet dan
matahari►gaya gravitasi►gaya sentral

Hipotesis Newton bersifat universal
► teori/hukum Gravitasi Umum Newton
“Interaksi massa antara dua partikel yang terpisah adalah

tarik-menarik dengan gaya yang besarnya berbanding
lurus dengan massa masing-masing partikel dan
berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara
keduanya”

Hukum Gravitasi Newton
Sebuah benda yang jatuh bebas di Bumi akan
mengalami percepatan yang besarnya 9,81 m/s2
dan percepatan sentripetal bulan terhadap bumi
0,00272 m/s2.

Menurut Newton, gaya gravitasi berbanding
terbalik dengan kuadrat.


Apabila hukum gravitasi umum newton dituliskan
dalam bentuk persamaan, maka

2
1
r
F 
2

21
r
mm
F 

2

21
r
mm
G

F 

F = gaya tarik-menarik antara benda yang
berinteraksi (N)
m1, m2 = massa benda yang berinteraksi (kg)
r = jarak kedua benda yang berinteraksi (m)
G = tetapan gravitasi umum (6,67 x 10-11 Nm2/kg2

Medan Gravitasi
Medan gravitasi terdapat pada sebuah benda yang
mempunyai massa sehingga medan gravitasi dapat
didefinisikan sebagai ruang di sekitar benda bermassa.
Suatu benda akan saling tarik satu sama lain jika berada
dalam medan gravitasi.
Vektor medan untuk medan gravitasi: perbandingan antara
gaya yang bekerja pada suatu benda dengan massa benda
tersebut


Arah vektor medan gravitasi (g) sama dengan arah gaya F.
Menurut hukum gravitasi Newton, gaya yang bekerja antara
Bumi dengan suatu benda yang berada di permukaannya

m
F
g 

2r
m

M
G

F

B



F = gaya tarik-menarik antara Bumi dg benda (N)
mB = massa Bumi (5,97 x 1024 kg
m2 = massa benda (kg)
r = jari-jari Bumi (6,38 x 106 m)
G = tetapan gravitasi umum (6,67 x 10-11 Nm2/kg2

Jika gaya yang ditimbulkan oleh massa benda
dan gaya gravitasi digabung, diperoleh


Medan gravitasi (percepatan gravitasi) pada
sebah titik yang dipengaruhi oleh benda-benda
bermassa


Resultan medan gravitasi
di titik P adalah


Secara vektor

2r

M
G

g

B


g = kuat medan gravitasi (m/s2)

2

1

1

1
r
M
G

g 
2

2

2

2
r
M
G

g 

cos

2
21

2

2

2

1
gg

g

g

gP






...
3

2

1








g

g

g

g

P

g1
g2

gP

M1

M2



Percepatan gravitasi Bumi
Besar percepatan gravitasi bumi tergantung pada
letak geografis dan ketinggian tempat tersebut di
atas permukaan Bumi.
Jika benda berada pada ketinggian h di atas
permukaan Bumi




Untuk benda-benda di angkasa

2
'
d
m
G

g

B



2)

(
'
h

r

m
G

g

B




2
planet

planet

R

m
G

g 

h

hE

d=rE+h

Hukum Kepler

• Johannes Keppler: Hukum I Keppler, Hukum

II Keppler, dan Hukum III Keppler

• Membahas tentang gerak planet dalam tata

surya

• Johanes Kepler (1571 - 1630), telah berhasil

menjelaskan secara rinci mengenai gerak
planet di sekitar Matahari. Kepler
mengemukakan tiga hukum yang
berhubungan dengan peredaran planet
terhadap Matahari

Hukum I Kepler
“Setiap planet bergerak mengitari Matahari
dengan lintasan berbentuk elips, Matahari
berada pada salah satu titik fokusnya.”


P

F2
F1

Matahari

planet

titik
aphelium
titik
perihelium

Hukum II Kepler:
“Suatu garis khayal yang menghubungkan
Matahari dengan planet menyapu daerah yang
luasnya sama dalam waktu yang sama.”

Hukum III Kepler
“Perbandingan kuadrat periode planet mengitari
Matahari terhadap pangkat tiga jarak rata-rata
planet ke Matahari adalah sama untuk semua
planet.”

3

2

1

2

2

1




















r
r

T
T

Hubungan Hukum KEPLER & Hukum NEWTON

 Akan ditunjukkan bahwa dengan menggunakan gaya

gravitasi = gaya sentral, dapat ditelusur kebenaran Hk.
Kepler

 Kepler (1618) dan Newton (1687)

TENAGA POTENSIAL, POTENSIAL DAN MEDAN GRAVITASI

 Diawali dengan memilih sistem koordinat di mana M

sebagai titik asal (pusat gaya bagi m), gaya gravitasi
yang dialami oleh partikel m adalah

 Tenaga potensial gravitasi partikel m (juga partikel M

atau sistem dua partikel)

tanda negatif memberikan pengertian saling

mengikat/ tarik-menarik

r
r
Mm
G

Fg
ˆ
2




r

Mm
G

U g


TENAGA POTENSIAL, POTENSIAL DAN MEDAN GRAVITASI

 Potensial gravitasi (tenaga potensial gravitasi per satuan

massa) di setiap titik yang berjarak r darinya

 Medan gaya gravitasi di suatu titik didefinisikan sebagai

gaya persatuan massa yang dialami oleh setiap benda di
titik tersebut, dirumuskan sebagai

r
M
G
m

U
V

g

gM




r
r
M
G
m

F
g

f

ˆ
2








Contoh soal

1.

Dengan

mengingat

keberhasilan

Newton

membuktikan hk Kepler, tentukan massa bumi dari
periode T dan jari-jari r dari lintasan bulan
mengelilingi bumi, dengan T = 27,3 hari dan r = 3,85 .
10 5 km !

2. Jarak rata-rata antara mars dan matahari adalah 1,52

kali jarak rata-rata antara bumi dan matahari.
Hitunglah berapa tahun yang diperlukan oleh mars
untuk membuat satu putaran mengelilingi matahari !

3. Jika diketahui G = 6,67.10-11 Nm2/kg2, massa bumi =

5,97.1024 kg dan jari-jari bumi = 6,37.106 m, hitunglah
kecepatan minimal yang dibutuhkan oleh sebuah
partikel bermassa m di permukaan bumi untuk
melepaskan diri dari gaya gravitasi bumi !

GAYA SENTRAL

 Gaya sentral isotrop


merupakan gaya konservatif
► tenaga mekanik partikel konstan
► momentum sudut partikel konstan dan partikel

bergerak pada bidang datar (arah momentum sudut
tetap).

rrf

rf

ˆ)(

)(





konstanta

0

2













mh

mr

L

F

r
dt
Ld








)(r

r


 

 Persamaan gerak partikel yang hanya mengalami gaya

sentral dapat dinyatakan sebagai

atau dalam komponen-komponen koordinat polarnya

dan

rrf

rm

ˆ)(






)(

2

rf

r

r

m



 





0

2



 






r

r

m

GAYA SENTRAL

 Dari dua persamaan diferensial simultan tsb dapat

dicari bentuk persamaan sebagai
persamaan lintasan / orbit partikel, tanpa
memperhatikan ketergantungan terhadap waktu.

 Jika

)(r

r 

2

hu





d
du
h
d
du

u
u
u
r
u
r















2

2

1

1

1

2

2

22

2

2







d

ud
uh
d

ud
h
d
du

dt
d
h

r
















GAYA SENTRAL

 Dengan mensubstitusikan persamaan di atas,

diperoleh suatu persamaan diferensial dalam u
sebagai

 Persamaan tsb merupakan persamaan diferensial

lintasan/orbit partikel dengan penyelesaian u atau r
sebagai fungsi , apabila sudah diketahui bentuk
eksplisit dari

)

(
1
1

22

2

2







uf
u

mh
u
d

ud


)(

)

(

1

rf

uf





GAYA SENTRAL

Contoh soal :

1.

Suatu partikel bergerak di bawah medan gaya sentral
dalam orbit spiral

dengan r0 dan k adalah tetapan positif. Tentukan gaya

sentral dan  fungsi waktu-nya !

0

k

r

r e





2. Diketahui sebuah partikel bermassa m bergerak dalam

orbit spiral dengan r = a  (a = tetapan). Jika  linear
terhadap waktu maka cek-lah apakah gaya yang
diderita m merupakan gaya sentral ! Jika tidak, maka
bagaimanakah  sebagai fungsi t sehingga gaya
tersebut merupakan gaya sentral !

3. Suatu partikel bergerak di bawah medan gaya sentral

dengan c adalah konstanta positif. Tentukan gaya sentral

dan  fungsi waktunya

2c

r 