PROGRESIONES 3º ESO

Sucesiones. Progresiones
aritméticas y geométricas

• ​El tema de sucesiones se presenta de manera digital, tú serás el guía de tu propio aprendizaje. A continuación verás unas diapositivas con teoría, y otras de práctica. Unas y otras las puedes copiar en el cuaderno, hazlo comprendiéndolas, no solo por copiar, en clase resolveremos las dudas.

• También hay diapositivas al viejo estilo de Quizizz, que se me envían y me dan información de cómo va tu aprendizaje.

• Y hay ejercicios que se hacen en el cuaderno. Estas hojas también están disponibles en nuestro equipo de Teams en el canal de Sucesiones.

• Para empezar hoy, haz hasta la diapositiva 7.

• En clase comentaremos cómo vas y haremos por grupos (los de estadística) las dos siguientes diapositivas.

​ANTES DE EMPEZAR

Un sueldo de 1 céntimo el primer día; 2 céntimos el siguiente día; 4 céntimso el siguiente y así, hasta terminar el mes, duplicando el sueldo del día anterior.

​Contrato GEO

Un sueldo de 2000 € el primer día incrementando en 1000 € cada día de rodaje.

​Contrato ARI

¿Qué contrato elijo?: La mejor propuesta

​DÍA 1	​DÍA 2	DÍA 3​	DÍA 4​	...
​2000€	3000€​	4000€​	5000€	...​

​El rodaje de la próxima superproducción de Hollywood, en la que interviene la actriz mejor pagada del planeta, durará un mes. Los produtores ofrecen a la estrella dos tipos de contrato para esos 30 días.

​DÍA 1	DÍA 2​	DÍA 3	DÍA 4​	...​
​0,01 €	0,02 €​	0,04 €​	0,08 €​	​...

​¿Cuál de los dos contratos será más beneficioso al cabo de los 30 días?

Poll

¿Qué tipo de contrato elegirías tú?

• Contrato ARI

• Contrato GEO

​Haz, por grupos, hasta la diapositiva 16.

La diapositiva 16 son ejercicios que se corregirán en clase. Hazlos en el cuaderno.

• Una sucesión es un conjunto ordenado de números u objetos, llamados términos. Cada término de la sucesión se representa con una letra minúscula con un subíndice:

  De forma general, una sucesión se escribe de la siguiente forma:

• a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, ....

Ejemplo

►En la sucesión 2, 7, 12, 17, 22, …

• a₁ = 2 indica que el primer término de la sucesión es el 2
  a₂ = 7 indica que el segundo término de la sucesión es 7
  a₃ = 12 indica que el tercer término es el 12
  a₄ = 17 es el cuarto término, etc.

Sucesiones

• Las sucesiones pueden ser: gráficas o numéricas.​

• Haz clic en el link para ver algunas sucesiones gráficas.​

• Rellena la hoja. No olvides escribir tu nombre y curso.

https://es.liveworksheets.com/c?a=s&s=MATEM%C3%81TICAS&t=0gczh3f2f0&m=d&sr=y&is=y&ia=y&ms=uz&l=kh&i=ucsxodf&r=tf&db=0&f=dzdtzcdn&cd=p2bkgw0e5e2niiicwxkpmjneze2ngnzgknlxg

• Una sucesión es finita cuando tiene primer y último término.

  
  

• Una sucesión es infinita si tiene primer término pero no tiene último término.

Ejemplo

►La sucesión 5, 10, 15, 20, 25 es finita. Su primer término es a₁ = 5 y el último a₅ = 25.

►La sucesión 2, 7, 12, 17, 22, … es infinita. Su primer término es a₁ = 2 y no tiene último.

Sucesiones numéricas

​https://marielmatesblog.wordpress.com/

​Dibuja la tabla en tu cuaderno. (También se puede fotocopiar).

1. ​Dibuja el contenido de la cuarta columna.

2. Expresa cómo se obtiene cada modelo a partir del anterior. Expresa cómo se obtiene el número de puntos de cada modelo a partir del número de columnas.

3. Halla una expresión algebraica que dé el número de modelo a partir de su columna n.

4. Hace una tabla que dé el número de puntos para las cinco primeras columnas.

https://marielmatesblog.wordpress.com/

​Fila	​1	​2	​3	​4	​5
​Nº de puntos	​	​	​	​	​

Multiple Select

$$a_1$$  representa:

• El número de términos

• El último término

• El primer términno

• El término general

Multiple Choice

¿Cuál es el término siguiente de esta serie?
1, 4, 9, 16, 25, 36,...

• 47

• 49

• 72

• 54

Ejercicios para hacer en el cuaderno. Copia el enunciado.

1.Dada la sucesión: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …, escribe sus

10 primeros términos.

a1 =

a2 =

a3 =

a4 =

a5 =

a6 =

a7 =

a8 =

a9 =

a10 =

2.Escribe, para la sucesión 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …, los

términos a1, a4, a7, a8 y a10.

a1 =

a4 =

a7 =

a8 =

a10 =

3.Dada la sucesión: 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, …, ¿cómo son

todos los términos que ocupan las posiciones pares? ¿Y los

términos que ocupan las posiciones impares?

Escribe los términos:

a2= a4= a6=

a28 =

a1= a3= a5=

a33 =

4.Escribe los 3 términos que siguen en la sucesión: 5, 8, 11,

14, 17, 20, 23, 26,…

5.Escribe los 4 términos que siguen en la sucesión: 6, 12, 24,

48, 96, 192, 384,…

​Hacer en el cuaderno.También se puede fotocopiar.

​Haz hasta la diapositiva 24.

La diapositiva 21 son ejercicios que se corregirán en clase, hazlos en el cuaderno.

Sucesiones

• Existen sucesiones que siguen una regla definida en su formación, es decir, un orden lógico que nos ayuda a obtener el siguiente término. Por ejemplo: 2, 4, 6, 8, 10, ... ¿cómo se consigue cada término?

• Cuando esto ocurre se puede determinar una fórmula que permite calcular cualquier término a partir del lugar que ocupa en la sucesión. A esta fórmula se le llama término general y se designa como a_n. El término general ocupa una posición cualquiera, n, y permite calcular cualquier término de la sucesión a partir del lugar que ocupa.

• Ejemplo La sucesión 2, 4, 6, 8, 10, … es la formada por los números pares. El término general de esta sucesión es a_n= 2 · n.

• a₁ = 2 · 1 = 2,

• a₂ = 2 · 2 = 4,

• a₃ = 2 · 3 = 6, …, a_n= 2 · n ¿Cuánto vale el término que ocupa la posición 20?

Sucesiones

Sucesiones

Las dos reglas fundamentales para formar una sucesión son:

1. Sumar una misma cantidad.

   Por ejemplo: En la sucesión 2, 7, 12, 17, 22, 27 … cada término es el anterior más 5.

2. Multiplicar por una misma cantidad.

   Por ejemplo: En la sucesión 3, 9, 27, 81, 243, 729… cada término es el anterior por 3.

Ejercicio:

Escribe en el cuaderno los 5 primeros términos de dos sucesiones infinitas cuya reglas de formación sean: (respuesta libre).

• -Sumar una mima cantidad

• -Multiplicar una misma cantidad

EJERCICIOS PARA HACER EN EL CUADERNO

1.Para la siguiente sucesión 2, 4, 6, 8, 10, …, calcula los términos que

ocupan la posición 12, 18 y 21.

a12 =

a18 =

a21 =

2.Sea an = 4n + 1 el término general de una sucesión. Calcula el

término a25.

3.Escribe los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones:

a)an = 6n

a1 =

a2 =

a3 =

a4 =

a5 =

b)an = 4 + 7n

a1 =

a2 =

a3 =

a4 =

a5 =

c)an = 5n

a1 =

a2 =

a3 =

a4 =

a5 =

Multiple Choice

¿Cuál es la sucesión infinita que cumple con estos requisitos?

Los 5 primeros términos cuyos términos se obtienen sumando una mima cantidad (5) y donde a₁ vale 3

• 5, 8, 11, 14, 17,...

• 3, 8, 13, 18, 23, ...

• 3, 8, 13, 18, 23, 28, ...

• 3, 8, 13, 18, 23.

Multiple Choice

¿Cuál es el octavo elemento para la sucesión: n² +1

• 56

• 9

• 17

• 65

Multiple Choice

¿Cuál es la sucesión infinita que cumple con estos requisitos?

Los 5 primeros términos cuyos términos se obtienen multiplicando una misma cantidad (-2) y a₁ vale 7

• 7, 5, 3, 1, -1, ...

• 7, -14, -28,-35,-42, ...

• 7, -14, 28, -35, 42, ...

• 7, 9, 11, 13, 15, ...

​Haz hasta la diapositiva 39.

La diapositiva 39 son ejercicios que se corregirán en clase.

¿Cómo se obtiene la fórmula del término general?

Se parte de a₁; el siguiente término es a₂, que se obtiene sumando d a a_1, siendo a₂ = a₁ +2d. Y así sucesivamente, sacando una fórmula general.

Multiple Choice

Calcula el término general de la sucesión: $$\left\{-3,\ 1,\ 5,\ 9,\ 13,...\right\}$$  

• $$a_n=-3+4n$$  

• $$a_n=-7+4n$$  

• $$a_n=-4+4n$$  

• $$a_n=3+4n$$  

Multiple Select

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada elemento siguiente se obtine al sumar o restar al anterior una cantidad fija llamada diferencia.

• Verdadero

• Falso

Multiple Choice

Cuál es la diferencia de la siguiente progresión aritmética:

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, …  

• -4

• No es una sucesión

• 5

• 4

Multiple Choice

La fórmula $$a_{n\ }=\ a_{1\ }+\left(n\ -\ 1\right)\ d$$ es:

• El término gereral de una sucesión

• El término general de una sucesión aritmética

• El término general de la sucesión geométrica

Multiple Choice

Se le llama así a toda sucesión en la cual cada término después del primero se obtiene sumándole al anterior una cantidad constante llamada diferencia.

• Sucesiones

• Progresiones

• Progresión Geométrica

• Progresión Aritmética

Multiple Choice

¿Qué significa  $$a_n$$  ?

• Razón o Diferecencia 

• Primer Término

• Suma de Términos

• Último Término

Multiple Choice

¿Qué significa d ?

• Suma de Términos

• Primer Término

• Diferencia 

• Último Término

Multiple Choice

si dos progresiones tienen la misma diferencia, ¿son la misma progresión?

• Falso

• Verdadero

Multiple Choice

Halla el término general de una sucesión que tiene: $$a_1=6\ y\ d=-3$$  

• $$a_n=3-3n$$  

• $$a_n=3+3n$$  

• $$a_n=9+3n$$  

• $$a_n=-3n+9$$  

Multiple Choice

De una progresión aritmética se conoce que a₃ = -7 y d = 5. Calcula a₁₀.

• a₁₀ = 20

• a₁₀ = 28

• a₁₀ = 25

• a₁₀ = -17

​Realiza los siguientes ejercicios en el cuaderno y envía foto a la tarea de Teams.

​​Haz hasta la diapositiva 43.

La diapositiva 43 son ejercicios que se corregirán en clase.

​​Realiza los siguientes ejercicios en el cuaderno y envía foto a la tarea de Teams.

​​​Haz hasta la diapositiva 61.

La diapositiva 61 son ejercicios que se corregirán en clase.

​a₅ = 5 · 3 ^{(5 – 1)} = 5 · 3 ⁴ = 5 · 81 = 405

​¿Cómo se obtiene la fórmula del término general?

Se parte de a₁; el siguiente término es a₂, que se obtiene multiplicando a₁ por r siendo a₂ = a₁·r. Y así sucesivamente, sacando una fórmula general.

Multiple Select

Una Progresión Geométrica hace uso de:

• Sumas y restas

• Multiplicaciones y divisiones

• Potencias y raices

• Operaciones combinadas

Multiple Select

La imagen que observas representa una progresión geométrica, ¿Cuál es la razón?

• 1

• 2

• 3

• 4

Multiple Select

En una progresión geométrica, se sabe que: el primer término es 4 y la razón es 3 ¿ cuál será el valor del sexto término?

• a7 = 652

• a7 = 297

• a₇ = 727

• a7 = 972

Multiple Select

En la siguiente siguiente progresión geométrica: 1,3,9,27,... ¿Cuál es la razón?

• r = 2

• r = 3

• r = 8

• r = r

Multiple Select

Dada la siguiente progresión geométrica: 1; 3; 9; 27; ... ¿La fórmula del termino general es?

• a_n=3_n-3

• a_n=3ⁿ⁺³

• a_n=3^n-1

• a_n=3ⁿ⁺¹

Multiple Choice

 La siguiente progresión es geométrica?

 12, 9, 6, 3, ... 

• SI

• NO

Multiple Choice

En una progresión geométrica el sexto término es 27 y el tercero 1. Halla la razón.

• 27

• 3

• 9

• 6

Multiple Choice

El lunes Jaime cuenta un secreto a 5 amigos. Al día siguiente, estos 5 amigos cuentan el secreto a otros 5 amigos. Al día siguiente, las nuevas personas que saben el secreto también lo cuentan a otras 5 personas. Y, así, sucesivamente. Suponiendo que cada persona sólo ha contado el secreto a otras 5, ¿cuántas personas saben el secreto el domingo?

• 126 589

• 2 032

• 20 789

• 19 531

Multiple Select

Las progresiones aritmeticas... (elige todas las correctas)

• Aumentan o disminuyen siempre lo mismo en cada paso

• Se multiplican por el mismo numero en cada paso

• Tienen una diferencia entre términos (d)

• Tienen una razón entre términos (r)

Multiple Choice

¿Cuál es la razón de la siguiente progresión geométrica?

5, 10, 20, 40, ...

• r=5

• r=2

• r=10

• r=1

​Recomendaciones para calcular el término general:

1. Comprobar si es una progresión aritmética.

2. Comprobar si es una progresión geométrica.

3. Comprobar si los términos son cuadrados perfectos.

4. Comprobar si los térmnos se obtienen por la suma de los dos términos anteriores.

Multiple Choice

El termino general de una progresión geométrica se define por la ecución

Multiple Choice

Cual de las siguientes series son progresiones aritmeticas

I) 45, 55, 65,...

II) 11, 22, 33,...

III) 87, 76, 65,...

• Todas

• Sólo I

• Sólo II

• Sólo III

​Suma de los términos de una progresión geométrica

​​​Haz hasta la diapositiva 66.

La diapositiva 66 son ejercicios que se corregirán en clase.

​Seguimos con nuestra pregunta inicial: ¿Qué contrato elegiríamos?. Para ellos resuelve las propuestas en el cuaderno por equipos.

1. ​A una actriz de Hollywood le ofrecen el contrato mensual ARI: un sueldo de 2000 euros el primer día, incrementando en 1000 euros cada día que pase durante un mes. ¿Qué salario recibirá la actriz el día 30?

2. ¿Qué cantidad de dinero ganó la actriz en total en el mes que duró el contrato ARI?

1. A la actriz de Hollywood también le ofrecen el contrato mensual GEO: un sueldo de 1 céntimo de euro el primer día, 2 céntimos el segundo, 4 céntimos el tercer día, y así sucesivamente hasta que pase un mes. ¿Qué salario recibirá la actriz el día 30?

2. ¿Qué cantidad de dinero ganó la actriz en total en el mes que duró el contrato GEO?

1. ¿Qué conclusión habéis sacado?

2. ¿Coincide con tu primera opinión?

3. La solución está un PDF, pídeselo al profesor.

• ​​Haz una mapa mental o un esquema y súbelo al padlet

• Voluntario: Practica con estos links:

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/sucesiones/ejercicios-interactivos-de-sucesiones-2.html

• https://www.matesfacil.com/ESO/progresiones/test1/test-online-preguntas-sucesion-progresion-arimetica-geometrica-basico.html

• https://www.matematicasonline.es/progresiones/aritmeticas.htm

​De repaso. En el cuaderno, por grupos. Se corrigen en clase.

​​De repaso. En el cuaderno, por grupos. Se corrigen en clase.

u n i d a d
3

Aplicación de las progresiones aritméticas y geométricas

• Las progresiones geométricas están muy presentes en los cálculos bancarios. Cuando se deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo este nos ofrece un porcentaje anual de interés, llamado interés simple. En ese momento existe la posibilidad de reinvertir el capital junto con sus intereses.

• En este último caso se trata de interés compuesto.

​

Ejercicio

Hazlo en tu cuaderno:

• Mari Carmen ingresa 18.000 € en un banco que le ofrece un tipo de interés anual del 3% durante 5 años. ¿Qué le interesa más. el simple o el compuesto?

​BIBLIOGRAFÍA

• Libro SM

• Libro Santillana y
  MATEMÁTICAS 3.° ESO
  MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

• Blog: https://mariainmaculadaturina.es/blogs/

• Progresiones 3º ESO © Raúl G.M

• MACMILLAN Education

• ¿qué contrato elijo? Joaquín Hernández

• http://www.intergranada.com/

• https://marielmatesblog.wordpress.com/

Encuesta satisfacción (google forms) y quizizz

¿QUÉ CONTRATO ELIJO?: LA MEJOR PROPUESTA

CONTRATO ARI

A una actriz de Hollywood le ofrecen el contrato

mensual ARI: un sueldo de 2000 euros el primer día,

incrementando en 1000 euros cada día que pase durante

un mes. ¿Qué salario recibirá la actriz el día 30?

Preguntas que me tengo que hacer:

1.¿Es una progresión?

2.¿Cómo es la progresión?

3.¿Qué están preguntando?

4.¿Qué datos tengo?

Veamos los datos: a1= 2000; a2= 3000; a3=3000…

Cada día cobra la cantidad anterior más una cantidad fija de 1000 €, por lo tanto, es una

progresión aritmética y quiero saber cuánto cobrará el último día, es decir, a30. Para ello,

tengo:

a1 = 2000, la diferencia d = 1000 y también n=30. Por lo tanto, aplico la fórmula:

an = a1 + (n-1)·d

CONTRATO ARI

¿Qué cantidad de dinero ganó la actriz en total en el mes
que duró el contrato ARI?

Preguntas que me tengo que hacer:

1.¿Qué me están preguntando?

2.¿Si es una progresión aritmética, qué fórmula utilizo?

3.¿Qué datos tengo?

Es una progresión aritmética y quiero saber cuánto cobrará en total, es decir, la suma de los 30

primeros términos, S30. Para ello, tengo:

a1 = 2000, la diferencia d = 1000, n=30 y a30. Por lo tanto, aplico la fórmula:

𝑺 = (𝐚𝟏 + 𝐚𝐧) · 𝒏

𝟐

CONTRATO GEO

A la actriz de Hollywood también le ofrecen el contrato

mensual GEO: un sueldo de 1 céntimo de euro el primer

día, 2 céntimos el segundo, 4 céntimos el tercer día, y así

sucesivamente hasta que pase un mes. ¿Qué salario

recibirá la actriz el día 30?

Preguntas que me tengo que hacer:

1.¿Es una progresión?

2.¿Cómo es la progresión?

3.¿Qué están preguntando?

4.¿Qué datos tengo?

Veamos los datos: a1= 0,01; a2= 0,02; a3=0,04 …

Cada día cobra la cantidad anterior multiplicada por una cantidad fija, por 2, por lo tanto, es

una progresión geométrica y quiero saber cuánto cobrará el último día, es decir, a30. Para ello,

tengo:

a1 = 0,01, la razón r = 2 y también n=30. Por lo tanto, aplico la fórmula:

CONTRATO GEO

¿Qué cantidad de dinero ganó la actriz en total en el mes

que duró el contrato GEO?

Preguntas que me tengo que hacer:

1.¿Qué me están preguntando?

2.¿Si es una progresión geométrica, qué fórmula utilizo?

3.¿Qué datos tengo?

Veamos los datos: a1= 0,01; a2= 0,02; a3=0,04 …

Cada día cobra la cantidad anterior multiplicada por 2, es una progresión geométrica y quiero

saber cuánto cobrará en total, es decir, la suma de los 30 primeros términos, S30. Para ello,

tengo:

a1 = 0,01, la razón r = 2, n=30 y a30. Por lo tanto, aplico la fórmula: