Puncte de inflexiune

Rezumat

Punctul de inflexiune al unei curbe este punctul în care se modifică concavitatea curbei. Pentru o funcție f(x), concavitatea sa poate fi măsurată prin derivata sa de ordinul al doilea f"(x). Când f"<0, ceea ce înseamnă că rata de schimbare a funcției este în scădere, funcția este concavă. În schimb, atunci când rata de schimbare a funcției este în creștere, adică. f">0, funcția este convexă.

În problemele tipice, găsim punctul de inflexiune al unei funcții prin utilizarea f"=0 (cu condiția ca f și f′ să fie ambele derivabile în acel punct) și verificarea semnului lui f" în jurul acestui punct. Aveți grijă să nu uitați că f"=0 nu înseamnă neapărat că punctul este un punct de inflexiune, deoarece semnul lui f" s-ar putea să nu se schimbe înainte și după acel punct.

În figura alăturată, aria roșie descrie aria în care funcția este concavă, iar aria albastră indică convexitatea.

Exemple

Soluție

Fie y=f(x), atunci

f′(x)=4x³−12x²−36x

f"(x)​=12x²−24x−36=12(x+1)(x−3).​

Verificarea semnelor lui f"(x) împrejurul lui x=−1 și x=3, obținem tabelul de mai jos:

Acest tabel ne spune că f(x) este convexă pentru x<−1, concavă pentru −1<x<3, și convexă pentru x>3. Prin urmare, cele două puncte de inflexiune ale curbei y=f(x) sunt (− 1,f(−1)) și (3,f(3)), sau echivalent,

(−1,2),  (3,−174). □​

x​	​...	​-1	​...	​3	​...
​f"(x)	​+	​0	​-	​0	​+

Soluție

Fie y=f(x), atunci

f′(x)=3x²−12x+12=3(x−2)²

f"(x)​=6x−12=6(x−2).​

Valorile lui f′(x) și f"(x) sunt ambele 0 în x=2. Verificarea semnelor lui f′(x) și f"(x) împrejurul lui x=2, obținem tabelul de mai jos:

​

Semnele care se schimbă pentru f"(x) în tabel ne spun că f(x) este concavă pentru x<2 și convexă pentru x>2, ceea ce implică faptul că punctul (2,f(2))=(2,1) este punctul de inflexiune al graficului lui y=f(x). Din moment ce tabelul, de asemenea, ne spune că f′(2)=0, panta tangentei lui f(x) în punctul său de inflexiune (2,1) e 0. □​

x​	​...	​2	​...
​f'(x)	​+	​0	​-
​f"(x)	​-	​0	​+

Soluție

Soluție

x​	​...	​1	​...	​3	​...
​f"(x)	​-	​0	​+	​0	​+

Bibliografie

Puncte de inflexiune. Brilliant.org. 12:06, 5 mai 2023, de la https://brilliant.org/wiki/inflection-points/