Induksi Matematika

Sumber: www.shutterstock.com

Induksi Matematika

• Menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa

barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika.

• Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk

menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan,
keterbagian.

Kompetensi Dasar

• Mengamati dan mengidentifi kasi fakta pada notasi sigma serta

masalah yang terkait.

• Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan notasi

sigma.

• Mengamati dan mengidentifi kasi fakta pada metode pembuktian

pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian
dengan induksi matematika.

• Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk

menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, dan
keterbagian.

Pengalaman Belajar

Abu Bakar bin Muhammad bin Al
Husain al-Karajī atau yang lebih
dikenal sebagai al-Karkhī merupakan
ilmuwan Muslim Persia yang hidup di
awal abad 10 M.

Karyanya pada aljabar dan polinomial
memberikan aturan pada operasi
aritmetika dalam memanipulasi
polinomial.

Al-Karaji juga berhasil membuktikan
kebenaran rumus jumlah integral
kubus, yang sangat penting hasilnya
dalam integral kalkulus.

1.1.1 Pengertian Notasi Sigma

Salah satu cara menuliskan jumlah dari suatu bilangan adalah dengan
menggunakan simbol ∑ (baca sigma), yaitu salah satu huruf kapital Yunani, yang
artinya jumlah.

1.1 NOTASI SIGMA

Misalnya:

1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36

Dapat ditulis sebagai berikut:

12+ 22+ 32+ 42+ 52+ 62

Tiap suku di atas dapat dinyatakan sebagai k2untuk k disubstitusikan dengan 1, 2,
3, 4, 5, dan 6.

Sehingga dapat dinyatakan:

1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 =

2

6

1
k

k



= 12+ 22+ 32+ 42+ 52+ 62= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91

Dengan demikian,

Notasi

dibaca jumlah k2untuk k = 1 sampai dengan k = 6.

dimana 1 adalah batas bawah dan 6 adalah batas atas.

2

6

1
k

k



2

6

1
k

k



Secara umum,

a1 + a2 + a3 + . . . + an-1 + an =
i

n

i

a


1

Contoh 1
1. Tulislah dengan notasi sigma dari 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15.

Jawab:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
= [2(1) – 1] + [2(2) – 1] + [2(3) – 1] + . . . + [2(8) – 1]

=

dari k = 1 sampai k = 8

2. Tulislah dengan notasi sigma dari: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64.

Jawab:

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 21+ 22+ 23+ 24+ 25+ 26=



1

2

8

1






k

k

j

j

2

6

1


Jawab:

= 1(1+1) + 2(2+1) + 3(3+1) + 4(4+1) + 5(5+1) + 6(6+1) + 7(7+1)
= 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56

Contoh 2
1. Nyatakanlah dalam penjumlahan lengkap dari

.)1

(

7

1






kk

k

)1

(

7

1






kk

k

2. Hitunglah

.
)1

(

7

1






kk

k

Jawab:

)1

(

7

1






kk

k

= 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 = 168

Contoh 3
1. Buktikan bahwa

.
a

n

i
1

Bukti:

na

a

a

a

a

a

n

i
















...

1

n suku

2. Buktikan bahwa

.

2

1

2

1

5

5

k

k

n

k

n

k










Bukti:

2

2

2

2

2

2

1

)(5

)1

(5

...

)3(5

)2(5

)1(5

5

n

n

k

n

k



















2

1

2

2

2

2

2

5))(

)1

(

...

3

2

1(5

k

n

n

n

k



















1.1.2 Sifat-Sifat Notasi Sigma

Kamu bisa menguji pemahaman

tentang NOTASI SIGMA DAN

SIFAT-SIFATNYA

dengan mengerjakan soal
Latihan 1 pada halaman 8

1.2.1 Prinsip Induksi Matematika

Prinsip induksi matematika untuk pembuktian dijelaskan sebagai
berikut.

1.2 INDUKSI MATEMATIKA

Salah satu cara pembuktian yang penting dalam matematika ialah
“induksi matematika” atau “induksi lengkap”.

Induksi matematika digunakan untuk mengecek hasil dari suatu
proses secara langsung sesuai pola/ aturan.

Misalkan P(n) adalah pernyataan yang memuat semua bilangan asli
n dan misalkan a adalah bilangan asli yang tetap, maka cara
pembuktian dengan induksi matematika sebagai berikut.

1. Periksa apakah pernyataan tersebut benar

untuk bilangan asli n = a = 1.
∴ P(a) benar.

basis

2. Misalkan pernyataan benar untuk n = k,

maka harus dibuktikan bahwa n = k + 1
benar.
Jika P(k) benar, maka P(k + 1) benar
untuk semua bilangan asli n.

Pernyataan (1) dan (2) benar untuk semua bilangan asli n
∴ P(n) benar untuk semua 𝑛 ≥ 𝑎.

langkah
induksi

1.2.2 Metode Pembuktian Induksi Matematika

Contoh 4
Buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n2untuk bilangan asli
n ≥ 1. .

A. Pernyataan matematis berupa barisan

Bukti:
Misalkan P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n2.
Untuk membuktikan dengan induksi matematika, maka harus
dibuktikan dua hal sebagai berikut.

Sebagai basis, diambil n = 1 karena akan dibuktikan kebenaran
pernyataan untuk n ≥ 1 (n terkecil = 1), sehingga:

P(n) = n2⇔ 2n – 1 = n2

Untuk n = 1

⇒ 2 · 1 – 1 = 12
⇔

1 = 1

Ruas kiri = Ruas kanan

Jadi, pernyataan benar untuk n = 1.
Terbukti P(1) benar.

... (1)

Langkah 1: Basis
Harus dibuktikan bahwa P(1) benar, yaitu bahwa pernyataan benar
untuk n = 1.

Contoh 5
Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan n

positif: 1 + 2 + 3 + ... + n =

𝑛 𝑛+1

2

Langkah 2: Langkah induksi
Akan dibuktikan implikasi: P(k) benar ⇒ P(k + 1) benar

Bukti:
Langkah 1: Basis

Rumus adalah benar untuk n = 1, karena =

1 1+1

2
= 1

Langkah 2: Langkah induksi
Andaikan bahwa rumus adalah benar untuk n = k. Tambahkan kedua
ruas dengan suku ke (k + 1).

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) =

𝑘 𝑘+1

2
+ (k + 1)

=

𝑘 𝑘+1 +2 𝑘+1

2

=

𝑘+1

𝑘+2

2

Bentuk

𝑘+1

𝑘+2

2
merupakan nilai dari

𝑛 𝑛+1

2
apabila n diganti

dengan (k + 1).

Kesimpulan:

Rumus

𝑛 𝑛+1

2
adalah benar untuk n = 1, n = k, dan terbukti bahwa

rumus benar untuk n = k + 1. Berdasarkan hal tersebut, rumus
tersebut berlaku juga untuk n = 1 + 1 = 2, dan seterusnya. Jadi,
rumus tersebut benar untuk setiap bilangan positif n

Contoh 6
Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan
asli n berlaku:

1
1.2+

1
2.3+

1
3.4+ . . . +

1

𝑛 𝑛+1=

𝑛

𝑛+1

Contoh 7
Buktikan: a + (a + b) + (a + 2b) + ... + [a + (n – 1)b] =

𝑛
2[2a + (n – 1)b]

Bukti:
Langkah 1: Basis
Untuk n = 1, maka a =

1
22a + (1 – 1)b] = a; sehingga rumus berlaku

untuk n = 1.

Langkah 2: Langkah induksi
Misalkan rumus berlaku untuk n = k, maka a + (a + b) + (a + 2b) + ...
+ [a + (k – 1)b] =

𝑘
2[2a + (k – 1)b]

Untuk n = k + 1 (tambahkan kedua ruas dengan suku ke (k + 1), yaitu
(a + kb), maka
a + (a + b) + (a + 2b) + ... + [a + (k – 1)b] + (a + kb)

=

𝑘
2[2a + (k – 1)b] + (a + kb)

=

𝑘2𝑏+𝑘𝑏+2𝑘𝑎+2𝑎

2

=

𝑘𝑏 𝑘+1 +2𝑎(𝑘+1)

2

=

𝑘+1

2(2a + kb)

Bentuk

𝑘+1

2(2a + kb) merupakan nilai dari

𝑛
2(2a + (n – 1)b) apabila n

diganti dengan (k + 1).

Kesimpulan:
Rumus

𝑛
2(2a + (n – 1)b) berlaku untuk n = 1, n = k, dan terbukti

bahwa rumus tersebut berlaku untuk n = k + 1. Jadi, rumus tersebut
berlaku untuk setiap bilangan asli n.

B. Pernyataan matematis berupa ketidaksaman

Contoh 8
Buktikan n < 3nuntuk setiap bilangan asli n

Bukti:
Langkah 1: Basis
Untuk n = 1, maka 1 < 31, sehingga rumus berlaku untuk n = 1.

Langkah 2: Langkah induksi
Misalkan rumus berlaku benar untuk n = k, maka k < 3k. Untuk n = k
+ 1 akan dibuktikan k + 1 < 3k + 1.

k < 3k

k + 1 < 3k+ 1

< 3k+ 6
< 3k + 3 + 3
< 3k+ 3k+ 3k
< 3 · 3k
< 3k+ 1

∴ Rumus terbukti benar untuk n = k + 1.

Jadi, n < 3n untuk setiap bilangan asli n.

Contoh 9
Buktikan

1
1+

1
2+

1
3+ . . . +

1
𝑛≥ 𝑛 untuk setiap bilangan asli n.

Bukti:
Langkah 1: Basis

Misalkan P(n) =

1
1+

1
2+

1
3+ . . . +

1
𝑛≥ 𝑛

Untuk P(1), maka

1
1≥ 1; sehingga rumus berlaku untuk P(1).

∴ P(1) benar.

C. Pernyataan matematis berupa keterbagian

Contoh 10
Buktikan a2n– b2nhabis dibagi oleh (a + b).

Bukti:
Alternatif 1:
Langkah 1:
Untuk n = 1, maka a2– b2= (a + b)(a – b).
Karena (a + b)(a – b) habis dibagi oleh (a + b), maka pernyataan
tersebut benar untuk n = 1.

Langkah 2:
Andaikan untuk n = k pernyataan tersebut benar, maka untuk
n = k + 1
a2k+ 2 – b2k+ 2 = a2(a2k– b2k) + b2k(a2– b2)

... (*)

a2k+ 2 – b2k+ 2 habis dibagi oleh (a + b), karena (a2k– b2k) dan
(a2– b2) juga habis dibagi oleh (a + b).
Karena berlaku untuk n = 1, n = k, dan n = k + 1, maka terbukti
bahwa a2n– b2nhabis dibagi oleh (a + b)

Alternatif 2:
Akan dibuktikan dengan induksi matematika. Misalkan
S(n) = a2n– b2n, maka S(1) = a2– b2dan S(k) = a2k– b2k

Langkah 1: Basis

Untuk n = 1,

maka S(1) = a2– b2

= (a – b)(a + b)

∴ S(n) benar untuk n = 1.

Langkah 2: Langkah induksi
Untuk n = k, maka S(k) = a2k– b2khabis dibagi (a + b) sehingga
S(k) = (a + b)p dengan p ∈ bilangan bulat

= a2k– b2k

Untuk n = k + 1, maka
S(k + 1) = a2k+ 2 – b2k+ 2

= a2a2k– b2b2k

= a2a2k– a2b2k+ a2b2k– b2b2k
= a2(a2k– b2k) + (a2– b2)b2k
= a2(a + b)p + (a + b)(a – b)b2k
= (a + b)(a2p + (a – b)b2k) [(a + b) faktor dari S(k + 1)]

∴S(n) benar untuk n = k + 1.

Jadi, a2n– b2nhabis dibagi oleh (a + b).

Contoh 11
Buktikan 4n + 1– 4 habis dibagi oleh 12.

Bukti:
Akan dibuktikan dengan induksi matematika.
Langkah 1: Basis

Untuk n = 1, maka

S(1) = 41 + 1– 4

= 16 – 4 = 12

∴ S(n) benar untuk n = 1

Langkah 2: Langkah induksi
Andaikan untuk n = k pernyataan tersebut benar, maka S(k) = 4k + 1– 4
habis dibagi 12 sehingga:

S(k) = 12p = 4k + 1 – 4
Untuk n = k + 1, maka

S(k + 1) = 4(k + 1) + 1– 4

= 4 · 4k + 1– 4
= 4 · 4k + 1– 16 + 16 – 4
= 4(4k + 1– 4) + 12
= 4(12p) + 12
= 12(4p + 1) (12 faktor dari S(k + 1))

∴ S(k + 1) benar

Jadi, 4n + 1– 4 habis dibagi 12.

Kamu bisa menguji pemahaman
tentang INDUKSI MATEMATIKA

dengan mengerjakan soal
Latihan 2 pada halaman 17