Materi 1 Sistem Bilangan Riil

SISTEM BILANGAN RIIL

ANIS SITI NURROHKAYATI,

S.T.,

M

.

T

.

http://www.free-powerpoint-templates-design.com

Apa yang akan dipelajari?

Pertidaksamaan

Nilai Mutlak

Akar Kuadrat dan Kuadrat

Garis Bilangan

Istilah Bilangan Riil

Hukum Trikotomi Bilangan Riil

Selang atau Interval

Polinom (Suku Banyak)

Bidang dan Grafik dari Satu Variabel

Grafik Pertidaksamaan

Garis Bilangan

Himpunan bilangan riil terdiri dari
himpunan bilangan rasional dan irrasional.

Bilangan Rasional

Bilangan Irrasional

Terdiri dari bilangan rasional negative dan positif

Contoh: e, sin π/4,

2

Bilangan positif terdiri dari himpunan bilangan cacah dan bilangan pecah
an positif

Decimal dinyatakan dalam keadaan tidak berulang

Himpunan bilangan cacah terdiri dari himpunan bilangan asli ditambah d
engan bilangan nol
Merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai suatu decimal atau
bilangan pembagian dua bilangan bulat (p/q atau p, q, dengan bilangan b
ulat dan q ≠ 0

Desimal dinyatakan dalam keadaan berulang

Example

Bilangan rasional:

0.25 = 0.2500000 = 1

4

0.191919 … = 19

99

Bilangan irrasional:

1.414214 … =

2

3.141592 … = 𝜋

Example

Diketahui bentuk decimal: 0.191919…
Maka:
𝑛 = 0.191919 …
Karena bilangan berulang setiap dua digit, maka n dikalikan
dengan 100, sehingga 100𝑛 = 19.191919 …

Cari hasil selisih antara 100n dengan n:

n

= 0.191919

100n

= 19.191919 -

99n

= 19

n

=

!"

""

Sehingga, 0.191919… dapat dinyatakan dalam bentuk
Pecahan

!"

""

Istilah Bilangan Riil

Tidak Mengandung Variabel x

Mengandung Variabel x

Kesamaan (=)

•5 =

!"

#

•5 − 3 = 2 − 1

Persamaan (=)

•5 − 𝑥 =

!"

#+ 3𝑥

•

!

$%&=

$'#

$!%!

Ketidaksamaan (<, ≤, >, ≥)

•7 > 2

•

5 + 3 > (4 + 1)

Peridaksamaan (<, ≤, >, ≥)

•7 − 𝑥 < 8 + 3𝑥

•

(%$

$%&>

$'!

)

Identited

•

𝑥#− 1 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

•𝑥#− 𝑥 − 2 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

Hukum Trikotomi Bilangan Riil

01

02

03

04

𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑏 − 𝑎 = 𝑛𝑜𝑙

𝑎 > 𝑏 ⇒ 𝑏 − 𝑎 = 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓

𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑏 − 𝑎 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓

Selang atau Interval

Jika a dan b merupakan bilangan riil (𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅), maka terdapat beberapa selang
atau interval seperti Pada Tabel berikut.

Jenis Selang
Notasi

Peridaksamaan

Selang

Selang terbuka

𝑎 < 𝑥 < 𝑏

(a, b)

Selang tertutup

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

[a, b]

Selang ½ terbuka
𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏

(a, b]

𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏

[a, b)

Selang dengan panjang tak
hingga

𝑥 > 𝑎

(𝑎, ∞)

𝑥 ≥ 𝑎

[𝑎, ∞)

𝑥 < 𝑏

(−∞, 𝑏)

𝑥 ≤ 𝑏

(−∞, 𝑏]

−∞ < 𝑥 < ∞

(−∞, ∞)

Polinom
(Suku Banyak)

Penulisan polinom atau suku banyak adalah sebagai
berikut:

𝑃 𝑥 = 𝑎# + 𝑎!. 𝑥!+ 𝑎$. 𝑥$+ ⋯ + 𝑎%. 𝑥%

Dengan:
𝑎#, 𝑎!, … , 𝑎%

: Koefisien polinom (bilangan riil)

x

: Variabel

n

: Derajat polinom atau pangkat tertinggi

dari polinom (bilangan asli)

Contoh:
𝑃 𝑥 = 3𝑥$+ 2𝑥 + 5

à Maka derajat polinom P(x)

adalah 2.

Pertidaksamaan

Langkah-langkah penyelesaian

Gambar garis bilangan dengan titik-titik
pembuat nilai nol

Uji setiap selang dan beri tanda: +, -, +

Selang yang sesuai dengan persamaan
merupakan selang HP

01

02

03

Pada proses pembagian, penyelesaiannya
sama seperti pada proses perkalian, tetapi
bagian penyebutnya ≠ 0.
04
𝑨(𝒙)
𝑩(𝒙) < 𝑪(𝒙)

𝑫(𝒙)

Himpunan penyelesaian (HP) adalah semua
nilai - nilai x (bilangan riil) yang memenuhi

pertidaksamaan.

Example

(x-a)(x-b)≤0 , Maka persamaan menjadi:

(x-a)(x-b)≤0, syarat (x-b)≠0

[

)
-

+

+

a

b

Garis bilangan

Selang: [a, b)

Nilai

Mutlak

Nilai mutlak merupakan jarak pada garis bilangan dari
arah manapun. Nilai mutlak selalu bernilai positif.

1. |x| merupakan bilangan non-negative

2.

x =

x$= A

x, jika x > 0
−x, jika x < 0
0, jika x = 0

Definisi Nilai Mutlak

Nilai

Mutlak

Dalil nilai mutlak adalah sebagai berikut:
•𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −𝑎, 𝑥 > 0

•𝑥 > 𝑎, 𝑥 > 𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 < −𝑎, 𝑥 > 0

•𝑥 ≥ 𝑎, 𝑥 ≥ 𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≤ −𝑎, 𝑥 > 0

•𝑥 < 𝑎, −𝑎 < 𝑥 < 𝑎, 𝑥 > 0

•𝑥 ≤ 𝑎, −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎, 𝑥 > 0

Sifat-sifat nilai mutlak adalah sebagai berikut:
•𝑎. 𝑏 = 𝑎 . |𝑏|

•

&

'=

|&|

|'|

•𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + |𝑏|

•|𝑎 − 𝑏| ≥ | 𝑎 − 𝑏 |

•|𝑥|$= 𝑥$= 𝑥$

Akar Kuadrat dan Kuadrat

01

02

03

Dua akar kuadrat dari 7 adalah ±

7

Penulisan akar yang benar adalah

16 = 4 bukan

16 ≠ ±4.

Setiap bilangan positif memiliki dua akar kuadrat.
Misalkan, dua akar kuadrat dari 9 adalah -3 dan 3.
Untuk a ≥ 0, lambang

𝑎 disebut dengan akar kuadrat utama

dari a, yang menunjukkan akar kuadrat tak negative dari a.

Bidang

dan

Grafik

dari Satu
Variabel

Grafik atau kurva dari persamaan R2 merupakan himpuna
n titik-titik (x, y) di R2 di mana koordinatnya memenuhi
suatu persamaan.

Langkah - langkah menggambar grafik
•Tentukan titik-titik potongnya dengan sumbu-sumbu
koordinat (jika ada).

•Selidiki kesimetriannya terhaddap sumbu-sumbu koor-
dinat dan titik asal (titik 0).

•Sifat khusus (bila ada): asimtor, titik puncak, letak kua-
dran, titik balik, niai max dan min, dan lain-lain.

•Tentukan beberapa titik bantu pada kurva tersebut bila
perlu.

•Gambar grafiknya.

Bidang

dan

Grafik

dari Satu
Variabel

Aturan kesimetrian:
•Dua titik P dan P’ dikatakan simetri terhadap garis L apabila L
adalah sumbu ruas garis (P, P’).

•Sebuah grafik atau kurva simetri terhadap garis L apabila
pencerminan tiap titik pada kurva terhadap garis L terletak
juga pada kurva tersebut.

•Sebuah grafik simetri terhadap titik Q, apabila untuk tiap titik P
pada grafik terdapat titik P’ yang lain. Sehingga Q pada grafik
merupakan titik tengah ruas garis (P, P’).

•Kesimetrian suatu grafik dikelompokkan menjadi 3 jenis, yaitu:

•Simetri terhadap sumbu x, jika sembarang titik (x, y) memenu-
hi persamaan à titik (x, -y) juga memenuhi persamaan.

•Simetri terhadap sumbu y, jika sembarang titik (x, y) memenu-
hi persamaan à titik (-x, y) juga memenuhi persamaan.

•Simetri terhadap titik O (0, 0), jika sembarang titik (x, y)
memenuhi persamaan à titik (-x, -y) juga memenuhi persama
an.

Grafik Pertidaksamaan

Insert the title of your subtitle Here

Jika diketahui suatu persamaan:
𝑎. 𝑥 − 𝑦 + 𝑏 = 0 → 𝑦 = 𝑎. 𝑥 + 𝑏

Titik Q adalah titik yang
terletak pada kurva persamaan
(𝑦 = 𝑎. 𝑥 + 𝑏).

Jika diambil sembarang titik yan
g terletak diatas kurva yaitu titik
Q1(𝑦! > 𝑎𝑥 + 𝑏) dan sembaran
g titik yang terletak di bawah
kurva (𝑦$ < 𝑎𝑥 + 𝑏).

Latihan

Soal

Nyatakan bilangan rasional berikut kedalam bentuk decimal

a. 5

8
b. 1

50
c. 21

13

Bilangan-bilangan manakah dibawah ini yang merupakan
bilangan rasional:
a.

3

b.

16

c.2.385

d. 2 +

3

e.(2 +

3)$

f.log 100

Tentukan apakah bilangan
0.12345678910111213141516…
merupakan bilangan rasional atau irrasional?

01

02

03

Latihan

Soal

04

05

Carilah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di bawah
ini dan berikan juga garis bilangan dan notasi selangnya:
a.2 + 3x < 5x + 8

b. 4 < 3x − 2 ≤ 10

c.
x + 1
2 − x ≤
x

3 + x

Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan berikut
ini:
a.

3x + 2 = 5

b. |6 − 2x| ≥ 7

Thank You